Esercizi. 2. [Conteggio diretto] Due dadi vengono lanciati in successione. a) Qual è la probabilità che la somma dei due risultati faccia 7?

Transcript

1 1 E. Vitali Matematica (Scienze Naturali) Esercizi 1. [Conteggio diretto] Quattro ragazzi, A, B, C e D, dispongono di due biglietti per il teatro e decidono di tirare a sorte chi ne usufruirà. a) Qual è la probabilità che A abbia il biglietto? b) Qual è la probabilità che a teatro vadano A e B? [a) 1/2; b) 1/6.] 2. [Conteggio diretto] Due dadi vengono lanciati in successione. a) Qual è la probabilità che la somma dei due risultati faccia 7? b) Qual è la probabilità che la somma dei due risultati faccia 7 sapendo che il primo ha dato 2? c) Qual è la probabilità che la somma dei due risultati faccia 7 sapendo che uno dei due dadi ha dato 2? [a) 1/6; b) 1/6; c) 2/11.] 3. [Bayes] Una malattia colpisce il 3% della popolazione. Un test diagnostico è efficiente al 95% tra gli ammalati e all 80% tra i sani. a) Qual è la probabilità che un individuo risulti positivo al test? b) Qual è la probabilità che un individuo che risulti positivo al test sia effettivamente ammalato? c) Qual è la probabilità che un individuo che risulti negativo al test sia invece ammalato? [a) 0,2225; b) 0,128; c) 0,0019.] 4. [Binomiale] Una scatola contiene 3 palline rosse e 3 bianche e da essa se ne estraggono 2 con reimbussolamento (cioè la pallina estratta viene reintrodotta dopo l estrazione). Qual è la probabilità che le due palline abbiano lo stesso colore? 5. Un dado viene lanciato più volte fino a che si ottiene 6. Qual è la probabilità che occorrano esattamente 5 lanci? e k lanci? [Calcolo diretto, schema successo-insuccesso: (5/6) k 1 (1/6)]

2 2 E. Vitali Matematica (Scienze Naturali) 6. Una fabbrica produce componenti elettronici. Questi escono da due linee di produzione, A e B, nelle proporzioni del 30% e del 70% rispettivamente. La linea A ha una percentuale di pezzi difettosi del 10%, mentre la linea B del 17%. a) Qual è la probabilità che un componente, scelto a caso sia difettoso? b) [Binomiale] I componenti vengono venduti in confezioni di 10 pezzi, tutti prodotti dalla stessa linea. Una di queste confezioni viene ispezionata e risulta contenere esattamente un pezzo difettoso. Qual è la probabilità che ciò si verifichi sapendo che i pezzi sono usciti dalla linea A? E dalla linea B? c) [Bayes] Se non è noto da quale linea è uscita la confezione ispezionata (contenente esattamente un pezzo difettoso), qual è la probabilità che essa provenga dalla linea A? Qual è la probabilità che provenga dalla linea B? [a) 0.149; b) linea A: 0.39, linea B: 0.32; c) linea A: , linea B: = 0.657;] 7. [Distribuzione binomiale] Un meteorologo sbaglia le previsioni per il fine settimana una volta su 7. Qual è la probabilità che in un mese le previsioni per il fine settimana siano corrette almeno due volte? [0.99] 8. Calcolare la media e la varianza della variabile aleatoria X che assume i valori 2,3,4,5,6 con legge p(2) = 0.05, p(3) = 0.2, p(4) = 0.35, p(5) = 0.3, p(6) = 0.1. (Svolgere il calcolo della varianza sia mediante la definizione che mediante la formula E(x 2 ) E(X) 2 ). [E(X) = 4.2, var(x) = 1.06.] 9. Calcolare la media e la varianza della variabile aleatoria X che conta il numero totale degli esiti testa nel lancio di due monete equilibrate. Analogamente nel caso del lancio di tre monete. 10. Calcolare la media e la varianza della variabile aleatoria X che conta il numero totale degli variazioni (T/C o C/T ) nel lancio di tre monete. 11. Calcolare la media e la varianza della variabile aleatoria X che somma il punteggio del lancio di due dadi equilibrati. [E(X) = 7, var(x) = 35/ ] 12. Calcolare la media e la varianza di una variabile aleatoria X che ha legge: a) B(1, p) (binomiale di parametri 1 e p; si utilizzi E(X 2 ) E(X) 2 ); b) B(n, p) (si veda X come somma X 1 + X X n di v.a. indipendenti con legge B(1, p)). [a) p, p(1 p); b) np, np(1 p).]

3 3 E. Vitali Matematica (Scienze Naturali) 13. Un urna contiene n b palline bianche e n r palline rosse. Ne vengono estratte N con rimpiazzo. Qual è il numero medio di palline rosse estratte? [Nn r /(n b + n r ).] 14. Un messaggio è composto da una sequenza di bit binari. Si suppone che ognuno di essi possa essere distorto (cioè mutato da 0 a 1 o viceversa) con probabilità p (con 0 < p < 1) e che gli eventi il bit i-esimo è distorto siano tra loro indipendenti. Qual è la probabilità che un messaggio di lunghezza n giunga senza che nessun bit sia distorto? [(1 p) n.] 15. Un test a risposta multipla consta di 30 domande, per ciascuna delle quali le risposte possibili sono 4, di cui una sola quella corretta. Alla risposta corretta viene assegnato 1 punto, mentre si assegna valore 0 per quella sbagliata (si deve rispondere a ogni domanda). a) se uno studente risponde a caso, qual è, in media, il punteggio che otterrà? Qual è la probabilità che riesca a rispondere a esattamente 16 domande? b) Se lo studente riesce ad escludere con sicurezza una delle risposte sbagliate per ciascuna domanda, quale sarà il suo punteggio medio? E la probabilità di rispondere correttamente esattamente a 16 domande? ( ) ( ) [a) 30/4 = 7.5; ( )16 ( 3 4 ) b) 10; ( )16 ( 2 3 ) ]

4 4 E. Vitali Matematica (Scienze Naturali) Soluzioni 1. a) Lo spazio degli eventi elementari è quello dei possibili sottoinsiemi di due elementi dall insieme di quattro elementi costituito dai quattro ragazzi( A, B, C e D. Tutti gli eventi sono equiprobabili e il loro numero è dato da: 4 ) 2 = 6. Gli eventi favorevoli sono i sottoinsiemi contenenti A e possono essere costruiti completando A con una delle tre rimanenti possibilità B, C o D: in totale si tratta di 3 possibilità. Quindi la probabilità richiesta è: 3 ( 4 2) = 3 6 = 0.5 b) Ora vi è un solo caso favorevole: l insieme costituito da A e B. Pertanto la probabilità richiesta è 1/6. Può essere utile inquadrare il problema anche in modo differente. Il sottoinsieme dei due ragazzi che prenderanno il biglietto viene ottenuto mediante due estrazioni successive, senza rimpiazzo. Consideriamo gli eventi: E : alla prima estrazione esce A; F : alla seconda estrazione esce A. Siamo interessati all evento E F ; poiché E e F sono incompatibili, abbiamo P (E F ) = P (E)+P (F ). Chiaramente P (E) = 1/4 (vi è una sola possibilità su quattro che alla prima estrazione esca A). Valutiamo ora P (F ). Se alla prima estrazione non è uscito A (cioè abbiamo E c ), allora la probabilità di ottenere A è uno su tre (rimangono infatti solo tre fra A, B, C, D, e uno di questi è A). Questo significa che P (F E c ) = 1 3. Ma P (F E c ) = P (F E c )/P (E c ) = P (F )/P (E c ): infatti F E c. Allora P (F ) = P (F E c )P (E c ) = 1 3 (1 1/4) = 1 4. Concludiamo che la probabilità richiesta è P (E) + P (F ) = 1/4 + 1/4 = 1/2. Il problema può essere visto in modo naturale anche nel quadro della distribuzione ipergeometrica di probabilità. Consideriamo infatti l insieme {A, B, C, D} ripartito in {A} e {B, C, D}, che interpretiamo come le palline (la pallina) bianche e rosse, rispettivamente, di un urna di quattro. Eseguiamo due estrazioni senza rimpiazzo e siamo interessati alla probabilità di estrarre esattamente una pallina bianca. Cioé: b = 1 palline bianche; r = 3 palline rosse; n = 2 palline estratte (senza rimpiazzo); k = 1 palline bianche richieste nella coppia estratta. Sappiamo che la probabilità richiesta è: ( b r ) k)( n k ) = ( 3 4 = 2) 3 6 = 0.5 ( b+r n

5 5 E. Vitali Matematica (Scienze Naturali) 2. a) Il numero delle possibili uscite dei due dadi è 6 6 = 36, ciascuna con la medesima probabilità. La somma è 7 nei seguenti casi: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2, Pertanto la probabilità che la somma dei due valori sia 7 è 6/36 = 1/6. b) Se l uscita del primo dado è 2, allora si ottiene 7 soltanto se il secondo dà 5: una sola probabilità su 6, cioè 1/6. c) L insieme dei possibili esiti in cui (almeno) uno dei due dadi ha dato 2 ha 11 elementi: le coppie (2, m) con m = 1,..., 6, e le coppie (n, 2) con n = 1,..., 6 ma n 2. Le coppie che danno 7 sono solo due, per cui la probabilità richiesta è 2/11. È utile inquadrare i punti (b) e (c) anche nell ambito della probabilità condizionale. Si considerino i seguenti eventi: A: la somma dei due dadi è 7; B 1 : il valore del primo dado è 2. Allora la probabilità che la somma dei due risultati faccia 7 sapendo che il primo ha dato 2 è data da P (A B 1 ) = P (A B 1) P (B 1 ) Analogamente procediamo con il punto (c). Sia = 1/36 1/6 = 1 6. C : uno dei due dadi ha valore 2. Allora la probabilità che la somma dei due risultati faccia 7 sapendo che uno dei due dadi ha dato 2 è data da P (A C) = P (A C). P (C) Calcoliamo P (A C) e P (C). Gli eventi favorevoli a A C sono solo due (2+5 e 5 + 2), per cui P (A C) = 2/36 = 1/18. L evento C può essere visto come unione dei seguenti eventi: Allora B 1 : il valore del primo dado è 2; B 2 : il valore del secondo dado è 2. P (C) = P (B 1 ) + P (B 2 ) P (B 1 B 2 ) = = Concludiamo che P (A C) = 1/18 11/36 = 2 11.

6 6 E. Vitali Matematica (Scienze Naturali) M (3%) S (97%) + (positivi) 95% + (positivi) 20% Figura 1 - Esercizio 3 3. a) La popolazione è ripartita in due sottoinsiemi: l insieme M degli individui ammalati, che costituisce il 3% del totale e di cui il 95% è positivo al test, e l insieme S degli individui sani, che sono il 97% della popolazione e di cui il 20% risulta positivo al test (infatti l ipotesi afferma che il test è efficiente all 80% tra i sani). Pertanto la percentuale di coloro che risultano positivi al test è: P (+) = = = 22.25% 100 b) Applichiamo la formula di Bayes: P (M +) = P (+ M)P (M) P (+) = (95/100)(3/100) c) Ancora utilizzando la formula di Bayes: P (M ) = P ( M)P (M) P ( ) = (5/100)(3/100) = = 12.8% 445 = = 1.9% La probabilità di ottenere una pallina bianca è 3/6, cioè 1/2, in ogni estrazione, poiché la pallina estratta viene poi reinserita; così pure per quanto riguarda la probabilità di estrazione di una pallina rossa. Allora la probabilità che entrambe le estrazioni diano palline bianche è = 1 4 ; analogamente, la probabilità che entrambe le estrazioni diano palline rosse è = 1 4. Pertanto la probabilità che le due palline abbiano lo stesso colore è = 1 2. Inquadriamo il problema nell ambito delle distribuzioni binomiali. Come detto, ad ogni estrazione la probabilità di uscita di una pallina bianca (il successo ) è p = 1 2. La probabilità di avere k = 2 uscite bianche su n = 2 estrazioni

7 7 E. Vitali Matematica (Scienze Naturali) è ( ) n p k (1 p) n k = k ( 1 2 ) 2 ( ) 0 1 = Il medesimo valore si ha per la probabilità di avere entrambe le uscite rosse. 5. La probabilità che un fissato numero, ad esempio il 6, esca dopo esattamente k lanci è pari alla probabilità che nei primi k 1 lanci non esca il 6 (in ciascuno di tali lanci ciò si verifica in 5 casi su 6) moltiplicata per la probabilità che al k-esimo lancio esca il 6 (una possibilità su 6); pertanto ( ) k Notiamo che questo è il valore della probabilità con cui si verifica la sequenza (0,..., 0, 1) di lunghezza k in cui i primi k 1 elementi sono 0 (insuccesso) e l ultima 1 (successo); il successo corrisponde all uscita del 6 (e si verifica con probabilità 1/6), mentre l insuccesso corrisponde all uscita di un numero diverso da 6 (e si verifica con probabilità 5/6). 6. Lo schema è il medesimo di quello dell Esercizio 3: la popolazione dei componenti elettronici prodotti è ripartita tra le due linee di produzione A e B nella misura del 30% e del 70% rispettivamente, e le percentuali di pezzi difettosi in ciascuna delle linee è assegnata (10% e 17%); queste ultime corrispondono alle percentuali di coloro che risultavano positivi al test, in ciascuna delle due categorie. a) La probabilità che un componente, scelto a caso, sia difettoso (D) è data dalla percentuale di pezzi difettosi totali. Procedendo come nell Esercizio 3 si ha P (D) = = b) Consideriamo le confezioni da 10 pezzi uscenti dalla linea A. Per ciascuno dei pezzi vi è probabilità p = 0.1 che sia difettoso. 1 La probabilità che su n = 10 pezzi ve ne siano esattamente k = 1 difettosi è ( ) n p k (1 p) n k = (0.9) 9 = (0.9) k Possiamo anche inquadrare il problema indicando con X il numero di pezzi difettosi in una confezione di 10 pezzi prodotti dalla linea A: si tratta di una variabile aleatoria con densità binomiale di parametri n = 10 e p = 0.1, cioè B(10, 0.1). Il valore sopra ottenuto è P (X = 1). In modo analogo, la probabilità che in una confezione da 10 pezzi usciti dalla linea B ci sia esattamente un pezzo difettoso è (0.83) c) Dividiamo la totalità delle confezioni da 10 pezzi nel sottoinsieme a delle confezioni prodotte dalla linea A e in quello b relativo alla linea B. Il primo 1 Il contesto indica chiaramente che il numero complessivo di pezzi prodotto è molto grande rispetto al numero di elementi di una confezione, per cui la probabilità che l i-esimo pezzo della confezione sia difettoso non dipende dall esito delle estrazioni precedenti.

8 8 E. Vitali Matematica (Scienze Naturali) rappresenta il 30% del totale, il secondo il 70%. Abbiamo visto che la probabilità di avere un pezzo difettoso in una confezione da 10 pezzi della linea A è P (d a) = 0.387, mentre per la linea B è P (d b) = Pertanto la probabilità che una confezione (estratta a caso) contenga esattamente un pezzo difettoso è P (d) = Allora la probabilità che una confezione contenente esattamente un pezzo difettoso sia uscita dalla linea A è Invece, per la linea B P (a d) = P (b d) = P (d a)p (a) P (d) P (d b)p (b) P (d) Lavoriamo nell ipotesi che in un mese vi siano 4 fine settimana. Ogni volta la probabilità che le previsioni siano corrette è p = 6/7. La probabilità che su n = 4 volte il numero di successi sia almeno 2 è pertanto dato da: 4 k=2 ( 4 k ) ( 6 7 ) k ( ) 4 k 1. 7 Altrimenti detto, se X indica la variabile aleatoria che conta il numero di volte (su n = 4) che la previsione è corretta, il valore sopra scritto non è altro che P (X 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4), con X B(4, 6/7). Risulta: ( ) ( ) 2 ( ) P (X = 2) = ( ) ( ) P (X = 3) = ( ) ( ) P (X = 2) = Quindi P (X 2) = = Applichiamo la definizione: E(X) = = 4.2 var (X) = (2 4.2) (3 4.2) (4 4.2) (5 4.2) (6 4.2) = 1.06

9 9 E. Vitali Matematica (Scienze Naturali) Alternativamente, utilizziamo la formula E(X) = E(X 2 ) E(X) 2. Calcoliamo E(X 2 ) = = 18.7, quindi E(X) = 18.7 (4.2) 2 = = Consideriamo il caso del lancio di due monete. Gli esiti possibili sono quattro, tutti equiprobabili: (T, T ), (T, C), (C, T ), (C, C). Indichiamo con X la variabile aleatoria che conta il numero di `T uscite. Allora la densità di probabilità di X è data da P (X = 0) = 1/4, P (X = 1) = 2/4 = 1/2, P (X = 2) = 1/4. Pertanto la media e la varianza sono: E(X) = = 1, var (X) = (0 1) (1 1) (2 1)2 1 4 = 1 2. Il calcolo della varianza può essere anche svolto mediante la formula var (X) = E(X 2 ) E(X) 2 = ( ) = Consideriamo ora il caso del lancio di tre monete. Il procedimento è il medesimo, a partire dall analisi degli 8 possibili casi (2 3 ): (1) (T, T, T ), (C, T, T ) (T, T, C), (C, T, C) (T, C, T ), (C, C, T ) (T, C, C), (C, C, C). Quindi P (X = 0) = 1/8, P (X = 1) = 3/8, P (X = 2) = 3/8, P (X = 3) = 1/8. Del resto X è una variabile aleatoria binomiale B(3, 1/2), e la sua densità si calcola anche a partire dalla usuale formula; ad esempio P (X = 2) = Per media e varianza abbiamo: ( 3 2 ) ( 1 2 ) 2 ( ) 1 = E(X) = = 3 2 = 1.5, var (X) = E(X 2 ) E(X) 2 = ( ) 9 4 = = 3 4.

10 10 E. Vitali Matematica (Scienze Naturali) 10. Utilizziamo la precedente elencazione (1) per calcolare la densità di probabilità della variabile aleatoria X: P (X = 0) = 2/8 + 1/4, P (X = 1) = 4/8 = 1/2, P (X = 2) = 2/8 = 1/4. Quindi E(X) = = 1, var (X) = E(X 2 ) E(X) 2 = ( ) 1 = 1 2. Notiamo che nel secondo e terzo lancio la probabilità di avere una variazione (rispetto all uscita precedente) è 1/2. Quindi X B(2, 1/2). 11. Se, per ogni possibile punteggio complessivo, scriviamo le varie possibilità che danno origine a tale punteggio (ad esempio X = 5 si verifica nei casi (1 + 4), (2 + 3), (3 + 2), (4 + 1)) otteniamo la seguente densità di probabilità: Allora P (X = 2) = P (X = 12) = 1/36 P (X = 5) = P (X = 9) = 4/36 P (X = 3) = P (X = 11) = 2/36 P (X = 6) = P (X = 8) = 5/36 P (X = 4) = P (X = 10) = 3/36 P (X = 7) = 6/36. 1 E(X) = (2 + 12) 36 + (3 + 11) (4 + 10) (5 + 9) (6 + 8) = 7. In modo analogo calcoliamo E(X 2 ): E(X 2 1 ) = ( ) 36 + ( ) ( ) ( ) ( ) = Quindi var (X) = E(X 2 ) E(X) 2 = = Procedendo in modo differente osserviamo che, se indichiamo con X 1 e X 2 i punteggi del primo e del secondo dado, rispettivamente, allora X = X 1 + X 2. Entrambe le variabili aleatorie hanno la stessa legge, la cui densità è P (X 1 = i) = P (X 2 = i) = 1/6, per ogni i = 1,..., 6. Pertanto, e da cui E(X 1 ) = E(X 2 ) = ( )/6 = 7 2 = 3.5 E(X 2 ) = ( )/6 = var (X 1 ) = var (X 2 ) = 91 6 ( 7) 2 35 = = 91 6

11 11 E. Vitali Matematica (Scienze Naturali) Ricordando l additività del valore atteso, si ha E(X) = E(X 1 ) + E(X 2 ) = = 7. Inoltre, X 1 e X 2 sono indipendenti, per cui anche la varianza risulta additiva: var (X) = var (X 1 ) + var (X 2 ) = = Si tratta di un risultato teorico rilevante. a) Se X B(1, p) allora P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 p (successo con probabilità p e insuccesso con probabilità 1 p). Allora Così pure, E(X 2 ) = p. Allora E(X) = 0 (1 p) + 1 p = p. var (X) = E(X 2 ) E(X) 2 = p p 2 = p(1 p). b) Se X B(n, p) allora X = X 1 + X X n con X i v.a. indipendenti con legge B(1, p). Pertanto E(X) = E(X 1 ) E(X n ) = np, var (X) = var (X 1 ) +... var (X n ) = np(1 p). 13. Indichiamo con X la variabile aleatoria che conta il numero di palline rosse estratte ( successo ). Allora X B(N, p), con p = n r /(n b + n r ). In base al risultato dell Esercizio 12 risulta E(X) = Np = Nn r n b + n r. 14. Come detto, la distorsione di ogni bit è indipendente da quella degli altri, per cui si ottiene subito (1 p) n. 15. Se le risposte vengono date casualmente, la probabilità di rispondere correttamente alla singola domanda è 1/4. Sia X la v.a. che conta il numero di risposte esatte, quindi (in base alle regole) il punteggio complessivo. Allora X B(30, 1/4). a) In base a quanto detto, se lo studente risponde a caso il punteggio medio è E(X), quindi (ricordiamo il valore atteso di una v.a. binomiale, Esercizio 12): E(X) = = 7.5

12 12 E. Vitali Matematica (Scienze Naturali) Inoltre, la probabilità di rispondere correttamente esattamente a 16 domande è P (X = 16) = ( ) ( 1 4 ) 16 ( 1 1 ) = ( ) b) La differenza con il caso precedente è che ora p = 1/3. Quindi E(X) = = 10; ( ) ( 30 1 P (X = 16) = 16 3 ) 16 ( ) = ( )