CP110 Probabilità: esame del 20 giugno 2017

Transcript

1 Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 6-7, II semestre giugno, 7 CP Probabilità: esame del giugno 7 Cognome Nome Matricola Firma Nota:. L unica cosa che si puo usare durante l esame è una penna o una matita. Tutto il resto (calcolatrice, libri, appunti, altri fogli di carta,... ) deve essere messo da parte.. Risposte implicite sotto forma di coefficienti binomiali, potenze, esponenziali ecc. sono benvenute. Mostrate in dettaglio il vostro lavoro. 3. Non parlate durante l esame. Copiare o far copiare non è tollerabile. 4. Scrivete il vostro nome su ogni pagina. In caso di utilizzo di piu pagine per un singolo esercizio indicare chiaramente l ordine. 5. Il punteggio massimo per ogni esercizio è indicato nel testo. Notare che già con cinque esercizi risolti correttamente si arriva al trenta. Buon lavoro! esercizio totale punti su

2 . Per un dato n N, le variabili aleatorie discrete X, Y hanno densità di probabilità congiunta { x ) p(x, y) n( x y se x {,..., n} e y {,..., x} altrimenti Calcolare: (a) il valore atteso E[X]; (b) il valore atteso E[Y ]; (c) la probabilità dell evento X Y. Soluzione: Notiamo che si tratta di una probabilità: p(x, y) x,y x n x y ( ) x y n. Per E[X] abbiamo E[X] x,y xp(x, y) x x n x y ( ) x y x n n +. Per E[Y ] abbiamo E[Y ] x,y yp(x, y) x n x ( ) x y y y x n n +. 4 Per l evento X Y abbiamo P (X Y ) P (X Y k) k p(k, k) k k k n n ( n ).

3 . Al tempo zero un urna contiene pallina rossa e pallina nera. A ogni unità di tempo, una pallina viene estratta a caso, e viene rimessa nell urna, insieme a una nuova pallina dello stesso colore di quella estratta. Sia X k il numero di palline nere al tempo k (di modo che X, X {, }, X {,, 3},...). (a) Calcolare la probabilità dell evento X k m + sapendo che X k m, per ogni m, k,,... (b) Calcolare il valore atteso di X k sapendo che che X k m, per ogni m, k,,... (c) Osservare che per simmetria si deve avere E[X k ] k+ per ogni k,,,..., e dimostrare questa formula usando il punto (b) e l induzione su k. Soluzione: (a). Notiamo che al tempo k ci sono in totale k + palline poiché a ogni unità di tempo viene aggiunta una pallina e al tempo zero si hanno palline. Se al tempo k ci sono m palline nere allora la probabilità di aggiungere una pallina nera è la probabilità di estrarre una pallina nera, che vale m/(k + ), ossia (b). Passando al complementare si ha P (X k m + X k m) P (X k m X k m) Allora il valore atteso di X k, sapendo che X k m è ( m E[X k X k m] (m + ) k + + m m ) k + m k +. m k +. ( m + ) m k + k + k +. (c). Notiamo che E[X k ] k+ è la formula che ci aspettiamo per simmetria. Infatti se Y k è il numero di palline rosse, allora sappiamo che X k + Y k k + e per simmetria E[X k ] E[Y k ] E[X k + Y k ] k+. Per la dimostrazione richiesta osserviamo che E[X k ] k+ m k+ m P (X k m)e[x k X k m] P (X k m)m k + k + E[X k ] k + k +. Poiché X, la forumla E[X j ] j+ vale certamente per j. Fissiamo k N. Supponiamo che sia valida per ogni j k, e mostriamo che deve valere anche per j k. Allora che completa la dimostrazione. E[X k ] E[X k ] k + k + k + k + k + k +,

4 3. Sia Q un punto del piano scelto uniformemente a caso nel disco unitario U {(x, y) R : x + y }. (a) Calcolare il valore atteso e la varianza della distanza di Q dall origine. (b) Cosa cambia se passiamo dal piano allo spazio tridimensionale (con U sostituito dalla sfera di raggio uno)? Soluzione: Sia D la distanza di Q dall origine. Calcoliamo la funzione di distribuzione di D: F (t) P (D t) Area({(x, y) R : x + y t}) Area({(x, y) R : x + y }) πt π t, t [, ]. Derivando si vede che D ha densità di probabilità f(t) t [,]. Allora il valor medio vale Inoltre E[D] E[D ] t dt 3. t 3 dt. Allora Var(D) Se siamo in tre dimensioni l area è sostituita dal volume e abbiamo F (t) P (D t) Derivando si ha f(t) 3t [,] e dunque E[D] 3t 3 dt 3 4, E[D ] 4 3 πt3 4 3 π t3, t [, ]. 3t 4 dt 3 5, Var(D)

5 4. Sia X la variabile aleatoria continua con densità di probabilità f(x) c x [,] (x) Calcolare: (a) Il valore di c. (b) La media e la varianza di X. (c) La densità di probabilità della variabile Y X 3. Soluzione: Per il calcolo di c osserviamo che f(x)dx c x dx c 8 3 c 3 8 La media e la varianza valgono E[X] 3 8 Var[X] 3 8 La variabile Y X 3 ha funzione di distribuzione Se t [, 8] si ha x 3 dx 3, x 4 dx F Y (t) P (X 3 t) P (X t /3 ). F Y (t) 3 8 t /3 x dx t 8. Se t > 8 si ha F Y (t) essendo X [, ]. Inoltre se t < si ha F Y (t). Allora, la densità di probabilità della variabile Y X 3 è ossia Y è uniforme in [, 8]. f Y (y) 8 [,8](y),

6 5. Una moneta viene lanciata ripetutamente. Consideriamo gli eventi E {almeno 55 teste nei primi lanci} E {almeno teste nei primi 4 lanci} E 3 {almeno 83 teste nei primi 6 lanci} Utilizzando l approssiamzione normale, ordinare gli eventi precedenti secondo le loro probabilità. Soluzione: Sia X k il numero di teste nei primi k lanci. Allora X k è una binomiale di parametri k,. Per l approssimazione normale sappiamo che la variabile Z k X k k k/4 soddisfa (per k grande) P (Z k t) Φ(t), t R. D altra parte, se k, 4, 6, si ha E {Z }, E {Z 4 } E 3 {Z 6.5} Essendo Φ monotona crescente si ha Φ() < Φ( 3 ) < Φ() e dunque P (E ) > P (E 3 ) > P (E )

7 6. In una chat di gruppo i messaggi arrivano seguendo la distribuzione di un processo di Poisson con una media di 9 messaggi all ora. I messaggi possono essere di tre tipi indipendentemente l uno dall altro e con uguali probabilità: testo, immagine oppure vocale. Calcolare: (a) Il valore atteso del numero di messaggi vocali ricevuti in due ore. (b) Il valore atteso del numero di immagini ricevute in tre ore. (c) La probabilità che in un intervallo di tempo di minuti non si riceva alcuna immagine. Soluzione: Il numero medio di messaggi in due ore è 8, e poiché ogni messaggio ha probabilità /3 di essere vocale abbiamo che il numero medio di messaggi vocali in due ore è 8/3 6. In maniera simile otteniamo che il numero medio di immagini in tre ore è 7/3 9. Sia X il numero di messaggi ricevuti nell intervallo di minuti in considerazione. Allora X è una variabile di Poisson di parametro µ 9/3 3. Sia Y il numero di immagini nello stesso intervallo di tempo. Poiché ogni messaggio ha indipendentemente dagli altri probabilità /3 di essere un immagine, se condizioniamo all evento X k, allora Y è una binomiale di parametri k, 3. Allora, P (Y ) P (X k)p (Y X k) k k µ k k! e µ ( ) k 3 k k k k! e 3 e e 3 e. µ k k! e µ P (Y X k) Osservazione: ragionando come sopra si può inoltre mostrare che per ogni j Z + : P (Y j) P (X k)p (Y j X k) kj kj ossia che Y è una variabile di Poisson di parametro. 3 k k! e 3 ( k j ) ( 3 ) j ( ) k j e 3 j!,