Esercitazione del 16/04/2019 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

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1 Esercitazione del 6/04/09 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato Nozioni di riepilogo con esercizi Distribuzione di una funzione di una variabile aleatoria discreta. Sia X una variabile aletoria discreta, sia f una funzione da R in R, se Y := fx) allora Y è una variabile aleatoria discreta e la sua densità è data da: P Y = y) = P X = x) y ) x fx)=y Esercizio. Sia X una variabile aleatoria uniformente distribuita sull insieme {,, 0, +, +} cioè P X = ) = P X = ) = P X = 0) = P X = ) = P X = ) = 5 ) e sia f la funzione definita da fx) = x per ogni x in R. Calcolare la distribuzione di Y := fx). Soluzione: P Y = 0) = 5, P Y = ) = P Y = 4) = 5 Talvolta la funzione f è definita solo su un sottinsieme di R, se tale supporto include il supporto della variabile aleatoria X allora ha comunque senso definire Y := fx) a patto di escludere al più un insieme di misura nulla) ed è possibile usare l uguaglianza ) per calcolare la distribuzione di X. Esercizio. Sia X una variabile aleatoria geometrica di parametro e sia f la funzione definita da fn) = ) n per ogni n in N. Calcolare la distribuzione di Y := fx). Soluzione: P Y = ) =, P Y = ) = Funzione di ripartizione Sia F X una funzione da R in R. consideriamo le seguenti condizioni: F X è non decrescente lim ) x F X x) = lim x F X x) = 0 F X è continua a destra

2 La funzione F X è una funzione di ripartizione di una variabile aleatoria se e solo se soddisfa le condizioni ). Se F X è una funzione definita a tratti tale che all interno di ciascun intervello di definizione è non decrescente e continua a destra allora affinché sia non decrescente e continua a destra su tutto R sarà sufficiente verificare che per ogni x 0 estremo degli intervalli di definizione valga la relazione: lim x x 0 F X x) F X x 0 ) = lim F X x). x x + 0 Esercizio. Per quali valori di α la funzione F X è la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria. 0 x < F X x) = + αx x < x Soluzione: α [0, ] Esercizio 4. Per quali valori di α la funzione F X è la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria. 0 x < 0 F X x) = x + α sinx)) 0 x < π π x π Sugg: Poiché la funzione F X è derivabile in 0, π) allora si può studiare la monotonia in 0, π) attraverso lo studio del segno della sua derivata prima. Soluzione: α [, +] Variabili aleatorie assolutamente continue. Una variabile aleatoria X è assolutamente continua se esiste una funzione f X da R in R non negativa tale che per ogni intervallo a, b) si abbia: P X a, b)) = b a f X x)dx ) la funzione f X è detta la densità della v.a. X. Dalla ) risulta P a X b) = P a < X < b) = b a f Xx)dx e anche P X = a) = 0, per ogni a e b con

3 a < b. Inoltre se A R, A = i N a i, b i ) con a i, b i ) a j, b j ) = per ogni i j allora P X A) = i bi Infine valgono le seguenti ugualglianze: a i f X x)dx F X a) = a f X x)dx a e f X a) = d da F Xa) per quasi ogni a Valore atteso di variabili aleatorie assolutamente continue. Sia X una variabile aleatoria assolutamente continua e sia f X la sua densità. E[X] = xf X x)dx se x f X x)dx < E[gX)] = R R gx)f X x)dx se R R gx) f X x)dx < Cosa succede se la condizione R x f Xx)dx < oppure la condizione R gx) f Xx)dx < non è verificata? Vediamo il seguente esercizio. Esercizio 5. Sia X una v.a. uniforme sull intervallo 0, ), sia g la funzione definita da { x 0 gx) = x 0 x = 0 Calcolare E[gX)]. Soluzione: E[gX)] = Variabili aleatorie normali. Proposizione. Se X è una v.a. normale, con distribuzione X N µ, σ ) allora anche Y := ax + b è normale e vale Y N aµ + b, a σ ). Proposizione. Se X, X,..., X n sono v.a. normaliindipendenti con distribuzione X i N µ i, σ i ) allora anche Y := a X + a X +..., a n X n sarà normale e vale Y N a µ + a µ +..., a n µ n, a σ + a σ a nσ n). L uguaglianza è vera a meno di un insieme di misura di Lebesque nulla, in particolare se la funzione F è C a tratti allora l uguaglinza sarà vera ovunque all interno di tutti i tratti della F X in cui è C

4 Una variabile aleatoria Z normale con distribuzione Z N 0, ) è detta normale standard, la sua funzione di ripartizione è indicata generalmente con la lettera Φ e si ha: x Φx) = e t dt π Vale Φ x) = Φx) e se X N µ, σ ) allora si ha ) x µ P X x) = Φ σ Approssimazione Normale. Le ragioni del perché molte distribuzioni siano approssivamente normali verranno illustrate quando verrà studiato il teorema del limite centrale. In questa lezione vedremo il come si applica il procedimento di approssiamzione Normale Gaussiana). L ambito di applicazione maggiore è dato dall approssimazione di v.a. X Binn, p) binomiali con il parametro n grande, nel caso della binomiale l approsimazione sarà tanto migliore quanto maggiore è la varianza di X, VARX) = np p) nella maggior parte delle applicazioni una varianza maggiore di 0 sarà considerata sufficiente per poter procedere con l approssiamzione normale. Procedimento di Approssimazione Normale. Sia X la variabile che vogliamo approssimare non necessariamente binomiale). Siano µ = E[X] e σ = V AR[X]. Allora la distribuzione di X verrà approssimata da quella di una v.a. Y normale con la stessa media e la stessa varianza di X: Y N µ, σ ). Correzione di continuità. La correzione di continuità permette di avere stime più precise e si applica quando la variabile da approssimare X è una v.a. binomiale vedere esempio 4f del libro di testo pag 9). La correzione di continuità è cruciale per avere una buona approssimazione quando la varianza non è molto grande. Illustriamo il procedimento con un esempio. Sia X Binn, p), µ = np e σ = np p). Le seguenti probabilità sono uguali P X 60) = P X 60.5) = P X < 6) ) mentre per Y N µ, σ ) si ha P Y 60) P Y 60.5) P Y < 6) La approssimazione migliore per la probabilità ) è data da: ) 60.5 µ P X 60) = P X 60.5) = P X < 6) P Y 60.5) = Φ σ 4

5 Esercizio 6. Una macchina per il confezionamento del latte riempe i cartoni con una quantità di latte casuale, rappresentata da una v.a. X Nµ, σ ). Il valore di riempimento ideale sarebbe 000 ml, ma vi è una certa tolleranza: una confezione è considerata accettabile se contiene tra 975 e 05 ml di latte, e difettosa altrimenti. a) Se µ = 000 e σ = 0. Qualè la probabilità che una confezione sia difettosa. b) Supponiamo ancora che µ = 000, per quali valori di σ la probabilità che una confezione sia difettosa è minore del 5%? Esercizio 7. Calcolo delle Probabilità 8//00 Sia X una variabile aleatoria normale con distribuzion e X N0, 9). Sia Y = max{x, 0}. a) Dimostrare che Y ha funzione di ripartizione: { 0 t < 0 F Y t) = φ t ) t 0 b) Calcolare la derivata: d dt F Y t) per t > 0. c) Calcolare E[Y ]. Solo in Aula. Y è una v.a. mista!) Esercizio 8. Siano X, X e X tre variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo inoltre che X abbia una distribuzione binomiale Bn, p) di parametri p = e n = che X abbia una distribuzione normale N µ, σ ) di parametri µ = e σ = e che X abbia invece una distribuzione di Poisson Pλ) di parametro λ =. Siano infine T = X + X + X, Z = X X X e W = maxx, X, X ). a) Calcolare il valore atteso e varianza di T. b) Calcolare il valore atteso e varianza di Z utilizzare la formula VARZ) = E[Z ] E[Z]) ). c) Calcolare P W < ). d) Calcolare E[X + X ) X + X )]. Esercizio 9. Siano X, X e X tre variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo inoltre che X abbia una distribuzione bernoulliana di parametro p = che X abbia una distribuzione binomiale Bn, p) di parametri p = e n = che X abbia una distribuzione normale N µ, σ ) di parametri µ = e σ =. Siano infine T = X + X + X, Z = maxx, X, X ). a) Calcolare il valore atteso e la varianza di T. b) Calcolare P X < X ). c) Calcolare P Z > ). d) Calcolare E[ +X ]. 5

6 Esercizio 0. Siano X, X e X tre variabili aleatorie indipendenti. Sia X v.a. con distribuzione bernoulliana di parametro p = 4. Sia X v.a. con distribuzione normale N µ, σ ) di parametri µ = 5 e σ =. Sia X una variabile aleatoria discreta a valori in {4, 7} con P X = 4) = e P X = 7) =. Siano infine T = X X X e Z = maxx, X, X ). a) Calcolare media, varianza e momento del secondo ordine di X. b) Calcolare media e varianza di T. c) Calcolare P Z > 6). d) Calcolare E[X X ) X + X )]. Esercizio. Sia X, X e X tre variabili aleatorie indipendenti. Sia X v.a. con distribuzione uniforme su 0, 4). Sia X v.a. normale di media µ = e varianza σ = 4. Sia X v.a. con distribuzione bernoulliana di parametro p =. Siano infine Z = X + X + 7 X e W = maxx, X ). a) Calcolare media e varianza di Z. b) Calcolare E[X ], E[X ]. E[X ]. c) Calcolare E[X X + ) X + X )]. d) Calcolare P X > X ). e) Calcolare F W. Esercizio. Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti e sia Z := min{x, Y }. Supponiamo inoltre che X sia discreta con P X = ) =, P X = ) = e P X = ) = mentre Y sia una variabile aleatoria 6 continua con densità f Y : { cosy)+5 siny) y 0, f Y y) := π) 7 0 y / 0, π) a) Calcolare E[X]. b) Calcolare E[X ]. c) Calcolare V AR[X]. d) Calcolare E[Y ]. e) Calcolare E[Y ]. f) Calcolare V AR[Y ]. 6

7 g) Calcolare F X. Scrivere tutti i passaggi. h) Calcolare F Y. Scrivere tutti i passaggi. i) Calcolare P X < Y ). Scrivere tutti i passaggi. l) Calcolare F Z. Scrivere tutti i passaggi. Esercizio. Siano X, Y e Z tre variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo che X sia Poissoniana di parametro λ =, Y sia Binomiale di parametri n = e p =, mentre Z ha distribuzione normale di media µ = 0 e varianza σ =. a) Calcolare E[X + Y Z]. b) Calcolare E[XY Z]. c) Calcolare E[X + Y + Z ]. d) Calcolare E[X + Y ) ]. e) Calcolare P X + Y = 0). f) Calcolare P X Y = 0). g) Calcolare P Y Z = 0). h) Calcolare P Y Z > 0). i) Calcolare E[Y 6 ]. Scrivere tutti i passaggi. l) Calcolare P [X = Y ]. Scrivere tutti i passaggi. m) Calcolare P Z > Y ). Scrivere tutti i passaggi. Utilizzare φ0) = 0.5, φ) = e φ) = ) Soluzioni Esercizio 8 E[X ] = np = VARX ) = np p) = E[X] = np p) + n p = E[X ] = µ = VARX ) = σ = E[X] = σ + µ = E[X ] = λ = VARX ) = λ = E[X] = λ + λ = 7

8 Dove E[X i ] può essere ottenuto anche come E[X i ] = E[X i ]) + VARX i ). a) E[T ] = E[X + X + X ] = E[X ] + E[X ] + E[X ] = + + = VART ) = VARX + X + X ) = VARX ) + VARX ) + VARX ) = = + + = 5 =.5 b) c) P = P W < E[Z] = E[X X X ] = E[X ] E[X ] E[X ] = = E[Z ] = E[X X X ] = E[X ] E[X ] E[X ] = = 6 ) = P VARZ) = E[Z ] E[Z]) = 6 = 5 maxx, X, X ) < ) = P X <, X <, X < ) = X < ) P X < ) P X < ) = P X = 0) P X < ) P X = 0) Utilizzando le definizioni di densità discreta per variabili binomiali e di Poisson si ha : P X = 0) = p) n = 4 P X = 0) = e λ = e Per calcolare P X < ) bisogna ricondursi ad una normale standard: P X < ) X µ = P < µ ) X µ = P < ) σ σ σ P X < ) = φ ) = dunque P W < ) = e = d) Prima di tutto osserviamo che le variabili X + X ) e X + X ) non sono indipendenti perché hanno entrambe X come addendo). Sviluppando il prodotto si ha: E[X + X ) X + X )] = E[X X + X X + X + X X ] = = E[X X ] + E[X X ] + E[X ] + E[X X ] = = E[X ] E[X ] + E[X ] E[X ] + E[X ] + E[X ] E[X ] = = = 5 8

9 Esercizio 9 a) E[X ] = VARX ) = = 9 E[X ] = = VARX ) = = 4 E[X ] = µ = VARX ) = σ = 4 E[T ] = E[X + X + X ] = E[X ] + E[X ] + E[X ] = = + + = + + = 9 VART ) = VARX +X +X ) = VARX )+4 VARX )+9 VARX ) = b) = = 5 9 P X < X ) = P X < X X = 0)P X = 0)+P X < X X = )P X = ) = = P X < 0 X = 0)P X = 0) + P X < X = )P X = ) = = P X < 0) +P X < ) = P X < ) + P X < ) = = Φ ) + Φ 0) = )) Φ + Φ 0) ) + = 0.76 c) P Z > ) = P Z ) = P X ) P X ) P X ) = X P X = 0) P X = 0) P ) = = ) Φ ) = )) 4 Φ =

10 d) [ ] E = + X k=0 + k P X = k) = = = = = 5 Esercizio 0 E[X ] = p = 4 VARX ) = p p) = 6 E[X ] = p = 4 E[X ] = µ = 5 VARX ) = σ = 9 E[X ] = σ + µ = 4 E[X ] = 6 VARX ) = E[X ] = 8 a) Dove E[X ], E[X ] e VarX ) sono state ottenute tramite calcolo esplicito: E[X ] = k k P X = k) = = 6 E[X ] = k k P X = k) = = 8 VarX ) = E[X ] E[X ] = 8 6 = b) Per l indipendenza delle variabili aleatorie si ha che la speranza del prodotto è uguale al prodotto delle speranze E[T ] = E[ X X X ] = E[X ] E[X ] E[X ] = = = 5 VarT ) = E[T ] E[T ]) E[T ] = E[ X X X ) ] = E[4 X X X ] = = 4 E[X] E[X] E[X] = = 9 4 VarT ) = 9 5 = 067 0

11 c) P Z > 6) = P max{x, X, X } > 6) = P max{x, X, X } 6) = = P X 6, X 6, X 6) = P X 6) P X 6) P X 6) = d) F X 6) = φ 6 µ σ ) = φ ) 0.79 E[X X ) X +X )] = E[X X)] = E[X] E[X ] = 4 =.75 4 Esercizio a) 7, b),, c) 4 d) 8 e) F W w) = 0 w < 0 w 0 w < 8 w w < 4 4 w 4