La funzione di ripartizione caratterizza la v.a. Ad ogni funzione di ripartizione corrisponde una ed una sola distribuzione.

Transcript

1 Funzione di ripartizione X v.a. a valori in IR F X (x) = P (X x), x IR Indice X omesso quando chiaro Proprietà funzione di ripartizione F (i) F X (x) ; x (ii) è non decrescente Sia a < b P (a < X b) = = P (X b) P (X a) = F X (b) F X (a) (iii) è continua almeno a destra: F (x) = lim y x + F (y) (iv) lim x F (x) =, lim x F (x) = La funzione di ripartizione caratterizza la v.a. Ad ogni funzione di ripartizione corrisponde una ed una sola distribuzione. 73

2 X v.a. discreta F X (x) = x i x p i, p i = F (x i ) F (x i ) (F (x i ) = x j <x i p j ) Es.: v.a. di Bernoulli X = { p q F X(x) = x < q x < x q.3333, Es.: lancio di un dado. P (X = ) =... = P (X = 6) = /6 F X (x) = x < i/6 i x < i + i =,..., 5 x 6 74

3 Funzione di densità di probabilità Se x F X (x) = f(u)du X si dice v.a. assolutamente continua e f funzione di densità di probabilità o funzione di densità o densità della v.a. + f(x) quasi ovunque, f(x)dx = viceversa, data una funzione con queste caratteristiche, esiste una v.a. che ha f(x) come funzione di densità N.B. f(x) non è una probabilità Probabilità di un evento qualsiasi B B P (X B) = B f(x)dx P (a < X < b) = P (a X < b) = P (a X b) = P (a < X b) = b a f(x)dx 75

4 Distribuzione uniforme Una v.a. X ha distribuzione uniforme su (a, b) se ha densità f(x) = F X (x) = { b a a < x < b altrimenti x < a a x < b x b x a b a /b a f(x) F(x) a b x a b x Se [x, x 2 ] [a, b] P (X [x, x 2 ]) = P (X B) = B [a,b] x2 x b a dx = x 2 x b a b a dx = L(B [a, b]) b a 76

5 Distribuzione esponenziale Una v.a. X ha distribuzione esponenziale se ha densità { λe f(x) = λx x x < F (x) = λ fattore di scala { e λx x x < X exp(λ) λ > f(x) F(x) x Una v.a. esponenziale può rappresentare la durata di vita di un componente elettronico, di una lampadina, ecc. x Funzione di sopravvivenza: P (X > x) = F (x) = e λx 77

6 P (X = x) = P (X x) P (X < x) = F (x) F (x ) = P (a < X < b) = P (a X b) = P (a < X b) = P (a X < b) = F (b) F (a) = e λa e λb Assenza di memoria: P (X x + z X > x) = e λ(x+z) + e λx e λx P (x < X x + z) P (X > x) = e λx e λ(x+z) e λx = e λz = P (X z) Se la durata di un dispositivo può essere descritta da una variabile esponenziale, il fatto che non si sia verificato un guasto dopo un tempo x non modifica la prob. che il guasto si verifichi entro un (ulteriore) tempo z. L assenza di memoria caratterizza la densità esponenziale nel continuo come nel discreto caratterizza la geometrica. 78

7 Es.: supponiamo che la durata delle conversazioni telefoniche a lunga distanza segua una distribuzione esponenziale con λ = /5. f(x) = { x < 5 e 5 x x Trovare la probabilità che la durata di una conversazione superi i 5 minuti X = durata conversazione X exp(/5) P (X > 5) = 5 5 e 5 x dx = [ e 5 x] = e 5 =.368 sia tra 5 e 6 minuti 6 P (5 < X 6) = 5 5 e 5 x dx = e e 6 5 =.67 sia meno di 3 minuti 3 P (X < 3) = 5 e 5 x dx = e 3 5 =.45 sia meno di 6 minuti dato che è durata più di 3 minuti P (X < 6 X > 3) = P (X < 3) =.45 (per l assenza di memoria) 79

8 Distribuzione gamma La distribuzione esponenziale è un caso particolare della gamma che ha densità f(x) = λν Γ(ν) e λx x ν ; x > ; λ, ν > Γ(ν) = e x x ν dx 2.8 λ=.6 f(x) ν=.5 ν= ν=2 ν= x Per ν = si ottiene l esponenziale. f(x)dx = Γ(ν) = Γ(ν) (y = λx) λν e λx x ν dx yν e y dy = Γ(ν) Γ(ν) = 8

9 Distribuzione normale Una v.a. densità X ha distribuzione normale se ha f(x) = σ 2π e 2 (x µ σ )2, x R, µ R, σ > X N (µ, σ 2 ) µ è la media e σ la deviazione standard Se µ = e σ = si ha la densità normale standard f(x) x P (X x) = x 2π e 2 y2 dy = Φ(x) P (a < X b) = Φ(b) Φ(a) Φ( x) = Φ(x) (per la simmetria) 8

10 Es.: X N (, ) P (X.56) = Φ(.56) P (X >.94) = Φ(.94) P (X.5) = P (X.5) = Φ(.5) P (.48 < X 2.2) = Φ(2.2) Φ(.48) = Φ(2.2) + Φ(.48) N.B. Esistono v.a. che non sono né discrete né assolutamente continue Es.: P (X = ) = /2, P (X x) = e λx /2, x >

11 Es.: Determinare la costante K tale che { Kx 2 x 3 f(x) = altrove sia una funzione di densità. f(x) per K 3 Kx2 dx = K = /9. [ K x3 3 ] 3 = 9K = Es.: Determinare la costante K tale che f(x) = Kx < x 2 x < x 2 altrove sia una funzione di densità. f(x) per K 2 Kx dx + (2 x)dx = K [ K x2 2 ] + [ 2x x2 2 ] 2 = = K = 83

12 Variabili aleatorie multiple X = (X,..., X n ) vettore aleatorio F X (x,..., x n ) = P (X x,..., X n x n ) caso particolare n = 2 (variabile doppia) F X,Y (x, y) = P (X x, Y y) V.a. discreta: (X, Y ) assume un insieme finito o numerabile di valori: S = {(x r, y s ); r =, 2,...; s =, 2,...} p r,s = P (X = x r, Y = y s ) = P ((X = x r ) (Y = y s )) p r,s ; r,s p r,s = P ((X, Y ) B) = (x r,y s ) B p r,s; B B s p r,s = s P (X = x r, Y = y s ) = P ((X = x r ) [ s (Y = y s )]) = P (X = x r ) } {{ } Ω = p r, distrib. marginale della X Analogamente r p r,s = P (Y = y s ) = p,s (distrib. marginale della Y ) 84

13 Es.: si lanciano 2 dadi e si considera il vettore (X, Y ) dove X = n. di 6 che escono ; Y = somma dei punti ottenuti. X {,, 2}; Y {2,..., 2} P ((X, Y ) = (, 2)) = P ({(, )}) = /36 P ((X, Y ) = (, 3)) = P ({(, 2), (2, )}) = 2/36... distribuzione marginale di X: P (X = ) = 2 i=2 P (X =, Y = i) = 25/36 P (X = ) = 2 i=2 P (X =, Y = i) = /36 P (X = 2) = 2 i=2 P (X = 2, Y = i) = /36 distribuzione marginale di Y : P (Y = 2) = 2 i= P (X = i, Y = 2) = /36 P (Y = 3) = 2 i= P (X = i, Y = 3) = 2/36... P (Y = 2) = 2 i= P (X = i, Y = 2) = /36 X e Y v.a. discrete sono indipendenti sse P (X = x r, Y = y s ) = P (X = x r )P (Y = y s ) r, s In generale, n v.a. discrete X, X 2,...,X n sono indipendenti sse P (X = x,..., X n = x n ) = n i= P (X = x i ) 85

14 X\Y /36 2/36 3/36 4/36 5/36 4/36 3/36 2/36 /36 25/36 2/36 2/36 2/36 2/36 2/36 /36 2 /36 /36 /36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 /36 86

15 Funzione di ripartizione: F (x, y) = x r x,y s y p r,s, F X (x) = x r x p r,, F Y (y) = y s y p,s, p r, = s p r,s p,s = r p r,s Valgono le seguenti proprietà: lim x y F (x, y) = ; lim x y F (x, y) = lim x F (x, y) = F Y (y); Es.: nell es. di prima: F (.5, 3.8) = P (X.5, Y 3.8) = i=,;j=2,3 P (X = i, Y = j) = /36 + 2/ = 3/36 lim F (x, y) = F y X (x) Una v.a. aleatoria doppia si dice assolutamente continua se ammette funzione di densità f(u, v), f(u, v)dudv = Funzione di ripartizione: F (x, y) = x y f(u, v)dv du 87

16 Funzione di ripartizione marginale di X: F X (x) = x f(u, v)dv du F X (x) è assolutamente continua con densità f X (x) = f(x, v)dv (densità marginale della X) Funzione di ripartizione marginale di Y F Y (y) = y f(u, v)du dv e funzione densità marginale di Y : f Y (y) = f(y, v)dv Es.: una v.a. doppia (X, Y ) è distribuita uniformemente nel triangolo di vertici (, ), (, ), (, ). Trovare la densità di (X, Y ) e le marginali. f(x, y) è cost. nel triangolo e nulla fuori Deve essere f(x, y)dxdy = Poiché l area del triangolo è /2 f(x, y) = { 2 x >, y >, x + y < altrove 88

17 f X (x) = f(x, y)dy = { x 2dy = 2( x) < x < altrove Analogamente = f Y (y) = f(x, y)dx { y 2dx = 2( y) < y < altrove Due v.a. X e Y sono indipendenti quando vale la relazione F (x, y) = F X (x)f Y (y) x, y IR o analogamente f(x, y) = f X (x)f Y (y) x, y IR In generale, n v.a. assolutamente continue sono indipendenti sse f(x,..., x n ) = n i= f Xi (x i ) x i IR 89