TECNICHE DI SIMULAZIONE
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1 TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI, RICHIAMI Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1
2 Modelli statistici nella simulazione Nel modellare fenomeni del mondo reale vi sono poche situazioni in cui le azioni delle entità nel sistema oggetto di studio sono perfettamente conosciute in anticipo; TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 2
3 Modelli statistici nella simulazione Nel modellare fenomeni del mondo reale vi sono poche situazioni in cui le azioni delle entità nel sistema oggetto di studio sono perfettamente conosciute in anticipo; Il mondo visto da chi costruisce il modello è probabilistico; TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 2
4 Modelli statistici nella simulazione Nel modellare fenomeni del mondo reale vi sono poche situazioni in cui le azioni delle entità nel sistema oggetto di studio sono perfettamente conosciute in anticipo; Il mondo visto da chi costruisce il modello è probabilistico; Un modello appropriato può essere sviluppato campionando il fenomeno di interesse; TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 2
5 Variabili casuali discrete Sia X una variabile casuale. Se il numero di valori possibili di X è finito, o infinito ma contabile, X è chiamata variabile casuale discreta. I valori possibili di X sono indicati con x 1, x 2,... TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 3
6 Variabili casuali discrete Sia X una variabile casuale. Se il numero di valori possibili di X è finito, o infinito ma contabile, X è chiamata variabile casuale discreta. I valori possibili di X sono indicati con x 1, x 2,... Esempio: Si osserva il numero di lavori che arriva in una officina che lavora su commissione. La variabile casuale di interesse è X dove: X = numero di lavori che arriva in una settimana. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 3
7 Variabili casuali discrete Sia X una variabile casuale. Se il numero di valori possibili di X è finito, o infinito ma contabile, X è chiamata variabile casuale discreta. I valori possibili di X sono indicati con x 1, x 2,... Esempio: Si osserva il numero di lavori che arriva in una officina che lavora su commissione. La variabile casuale di interesse è X dove: X = numero di lavori che arriva in una settimana. I valori possibili di X appartengono allo spazio di definizione di X denotato con R X = {0, 1, 2,...}. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 3
8 Variabili casuali discrete Sia X una variabile casuale. Se il numero di valori possibili di X è finito, o infinito ma contabile, X è chiamata variabile casuale discreta. I valori possibili di X sono indicati con x 1, x 2,... Esempio: Si osserva il numero di lavori che arriva in una officina che lavora su commissione. La variabile casuale di interesse è X dove: X = numero di lavori che arriva in una settimana. I valori possibili di X appartengono allo spazio di definizione di X denotato con R X = {0, 1, 2,...}. X è una variabile casuale discreta. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 3
9 Variabili casuali discrete Sia X una variabile casuale. Se il numero di valori possibili di X è finito, o infinito ma contabile, X è chiamata variabile casuale discreta. I valori possibili di X sono indicati con x 1, x 2,... Esempio: Si osserva il numero di lavori che arriva in una officina che lavora su commissione. La variabile casuale di interesse è X dove: X = numero di lavori che arriva in una settimana. I valori possibili di X appartengono allo spazio di definizione di X denotato con R X = {0, 1, 2,...}. X è una variabile casuale discreta. Il numero p(x i ) = P (x = x i ) dà la probabilità che la variabile abbia il valore uguale a x i. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 3
10 Variabili casuali discrete I numeri p(x i ) devono soddisfare due condizioni: TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 4
11 Variabili casuali discrete I numeri p(x i ) devono soddisfare due condizioni: p(x i ) 0 i. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 4
12 Variabili casuali discrete I numeri p(x i ) devono soddisfare due condizioni: p(x i ) 0 i. i=1 p(x i) = 1. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 4
13 Variabili casuali discrete I numeri p(x i ) devono soddisfare due condizioni: p(x i ) 0 i. i=1 p(x i) = 1. Le coppie (x i, p(x i )), i = 1, 2,... sono chiamate distribuzione di probabilità di x i. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 4
14 Variabili casuali discrete I numeri p(x i ) devono soddisfare due condizioni: p(x i ) 0 i. i=1 p(x i) = 1. Le coppie (x i, p(x i )), i = 1, 2,... sono chiamate distribuzione di probabilità di x i. p(x i ) è chiamata funzione massa di probabilità (pmf). TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 4
15 Variabili casuali discrete Esempio: Lanciamo un solo dado. Definiamo X il numero sulla faccia superiore del dado, allora R X = 1, 2, 3, 4, 5, 6. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 5
16 Variabili casuali discrete Esempio: Lanciamo un solo dado. Definiamo X il numero sulla faccia superiore del dado, allora R X = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Supponiamo che il dado sia pesato in modo tale che la probabilità che una faccia sia su un lato sia proporzionale al numero di punti. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 5
17 Variabili casuali discrete Esempio: Lanciamo un solo dado. Definiamo X il numero sulla faccia superiore del dado, allora R X = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Supponiamo che il dado sia pesato in modo tale che la probabilità che una faccia sia su un lato sia proporzionale al numero di punti. La distribuzione di probabilità discreta per questo esperimento è data da: x i p(x i ) 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 5
18 Variabili casuali discrete Esempio: Lanciamo un solo dado. Definiamo X il numero sulla faccia superiore del dado, allora R X = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Supponiamo che il dado sia pesato in modo tale che la probabilità che una faccia sia su un lato sia proporzionale al numero di punti. La distribuzione di probabilità discreta per questo esperimento è data da: x i p(x i ) 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21 p(x i ) 0, i = 1,...6. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 5
19 Variabili casuali discrete Esempio: Lanciamo un solo dado. Definiamo X il numero sulla faccia superiore del dado, allora R X = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Supponiamo che il dado sia pesato in modo tale che la probabilità che una faccia sia su un lato sia proporzionale al numero di punti. La distribuzione di probabilità discreta per questo esperimento è data da: x i p(x i ) 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21 p(x i ) 0, i = 1,...6. i=0 p(x i) = 1. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 5
20 Variabili casuali continue Se R X della variabile casuale X è un intervallo o un insieme di intervalli, X è chiamata variabile casuale continua. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 6
21 Variabili casuali continue Se R X della variabile casuale X è un intervallo o un insieme di intervalli, X è chiamata variabile casuale continua. La probabilità che X cada nell intervallo [a, b] è data da: P (a X b) = b a f(x)dx f(x) è chiamata funzione densità di probabilità (pdf). TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 6
22 Variabili casuali continue Se R X della variabile casuale X è un intervallo o un insieme di intervalli, X è chiamata variabile casuale continua. La probabilità che X cada nell intervallo [a, b] è data da: P (a X b) = b a f(x)dx f(x) è chiamata funzione densità di probabilità (pdf). La pdf soddisfa le seguenti condizioni: TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 6
23 Variabili casuali continue Se R X della variabile casuale X è un intervallo o un insieme di intervalli, X è chiamata variabile casuale continua. La probabilità che X cada nell intervallo [a, b] è data da: P (a X b) = b a f(x)dx f(x) è chiamata funzione densità di probabilità (pdf). La pdf soddisfa le seguenti condizioni: f(x) 0 per ogni x in R X. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 6
24 Variabili casuali continue Se R X della variabile casuale X è un intervallo o un insieme di intervalli, X è chiamata variabile casuale continua. La probabilità che X cada nell intervallo [a, b] è data da: P (a X b) = b a f(x)dx f(x) è chiamata funzione densità di probabilità (pdf). La pdf soddisfa le seguenti condizioni: f(x) 0 per ogni x in R X. R X f(x)dx = 1. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 6
25 Variabili casuali continue Se R X della variabile casuale X è un intervallo o un insieme di intervalli, X è chiamata variabile casuale continua. La probabilità che X cada nell intervallo [a, b] è data da: P (a X b) = b a f(x)dx f(x) è chiamata funzione densità di probabilità (pdf). La pdf soddisfa le seguenti condizioni: f(x) 0 per ogni x in R X. R X f(x)dx = 1. f(x) = 0 se x non appartiene a R X. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 6
26 Variabili casuali continue Esempio La vita di un dispositivo laser usato per ispezionare le crepe nelle ali di un aereo è data da X, una variabile casuale continua, cha assume valori per x 0, La pdf è data, in anni, da: f(x) = { 12 e x/2, x 0 0 altrimenti TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 7
27 Variabili casuali continue Esempio La vita di un dispositivo laser usato per ispezionare le crepe nelle ali di un aereo è data da X, una variabile casuale continua, cha assume valori per x 0, La pdf è data, in anni, da: f(x) = { 12 e x/2, x 0 0 altrimenti X ha una distribuzione esponenziale con media 2 anni. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 7
28 Variabili casuali continue Esempio La vita di un dispositivo laser usato per ispezionare le crepe nelle ali di un aereo è data da X, una variabile casuale continua, cha assume valori per x 0, La pdf è data, in anni, da: f(x) = { 12 e x/2, x 0 0 altrimenti X ha una distribuzione esponenziale con media 2 anni. P (2 X 3) = 1/2 3 2 e x/2 dx = TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 7
29 Funzione di distribuzione cumulativa La funzione di distribuzione cumulativa (cdf), denotata da F (x), misura la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore minore o uguale a x, cioè F (x) = P (X x). TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 8
30 Funzione di distribuzione cumulativa La funzione di distribuzione cumulativa (cdf), denotata da F (x), misura la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore minore o uguale a x, cioè F (x) = P (X x). Se X è discreta F (x) = x i x p(x i) TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 8
31 Funzione di distribuzione cumulativa La funzione di distribuzione cumulativa (cdf), denotata da F (x), misura la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore minore o uguale a x, cioè F (x) = P (X x). Se X è discreta F (x) = x i x p(x i) Se X è continua F (x) = x f(t)dt TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 8
32 Funzione di distribuzione cumulativa La funzione di distribuzione cumulativa (cdf), denotata da F (x), misura la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore minore o uguale a x, cioè F (x) = P (X x). Se X è discreta F (x) = x i x p(x i) Se X è continua F (x) = x f(t)dt F è una funzione non decrescente. Se a < b, allora F (a) F (b). TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 8
33 Funzione di distribuzione cumulativa La funzione di distribuzione cumulativa (cdf), denotata da F (x), misura la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore minore o uguale a x, cioè F (x) = P (X x). Se X è discreta F (x) = x i x p(x i) Se X è continua F (x) = x f(t)dt F è una funzione non decrescente. Se a < b, allora F (a) F (b). lim x F (x) = 1. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 8
34 Funzione di distribuzione cumulativa La funzione di distribuzione cumulativa (cdf), denotata da F (x), misura la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore minore o uguale a x, cioè F (x) = P (X x). Se X è discreta F (x) = x i x p(x i) Se X è continua F (x) = x f(t)dt F è una funzione non decrescente. Se a < b, allora F (a) F (b). lim x F (x) = 1. lim x F (x) = 0. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 8
35 Funzione di distribuzione cumulativa La funzione di distribuzione cumulativa (cdf), denotata da F (x), misura la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore minore o uguale a x, cioè F (x) = P (X x). Se X è discreta F (x) = x i x p(x i) Se X è continua F (x) = x f(t)dt F è una funzione non decrescente. Se a < b, allora F (a) F (b). lim x F (x) = 1. lim x F (x) = 0. P (a < X b) = F (b) F (a), a < b. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 8
36 Funzione di distribuzione cumulativa Esempio: Nell esperimento del lancio di un dado pesato la cdf è data da: x (, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, ) F (x) 0 1/21 3/21 6/21 10/21 15/21 21/21 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 9
37 Funzione di distribuzione cumulativa Esempio: Nell esperimento del lancio di un dado pesato la cdf è data da: x (, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, ) F (x) 0 1/21 3/21 6/21 10/21 15/21 21/21 Se X è una variabile casuale discreta la cdf è una funzione a gradini. Ogni gradino è di altezza p(x i ). TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 9
38 Funzione di distribuzione cumulativa Esempio: Nell esperimento del dispositivo laser: F (x) = 1 2 x 0 e t/2 dt = 1 e t/2. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 10
39 Funzione di distribuzione cumulativa Esempio: Nell esperimento del dispositivo laser: F (x) = 1 2 x 0 e t/2 dt = 1 e t/2. P (0 x 2) = F (2) F (0) = TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 10
40 Funzione di distribuzione cumulativa Esempio: Nell esperimento del dispositivo laser: F (x) = 1 2 x 0 e t/2 dt = 1 e t/2. P (0 x 2) = F (2) F (0) = P (2 x 3) = F (3) F (2) = TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 10
41 Attesa Un concetto importante è quello di attesa di una variabile aleatoria. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 11
42 Attesa Un concetto importante è quello di attesa di una variabile aleatoria. Se X è una variabile aleatoria il valore atteso di X denotato da E(X) è definito da: TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 11
43 Attesa Un concetto importante è quello di attesa di una variabile aleatoria. Se X è una variabile aleatoria il valore atteso di X denotato da E(X) è definito da: E(X) = i x ip(x i ) se X è discreta. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 11
44 Attesa Un concetto importante è quello di attesa di una variabile aleatoria. Se X è una variabile aleatoria il valore atteso di X denotato da E(X) è definito da: E(X) = i x ip(x i ) se X è discreta. E(X) = xf(x)dx se X è continua. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 11
45 Attesa Un concetto importante è quello di attesa di una variabile aleatoria. Se X è una variabile aleatoria il valore atteso di X denotato da E(X) è definito da: E(X) = i x ip(x i ) se X è discreta. E(X) = xf(x)dx se X è continua. Il valore atteso E(X) è spesso denotato come media, µ, o momento primo di X. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 11
46 Momento n simo La quantità E(X n ), n 1 è chiamata momento n simo di X e si calcola: TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 12
47 Momento n simo La quantità E(X n ), n 1 è chiamata momento n simo di X e si calcola: E(X n ) = i xn i p(x i) se X è discreta. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 12
48 Momento n simo La quantità E(X n ), n 1 è chiamata momento n simo di X e si calcola: E(X n ) = i xn i p(x i) se X è discreta. E(X n ) = xn f(x)dx se X è continua. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 12
49 Varianza La varianza di una variabile aleatoria, X, denotata da V (X) o var(x) o σ 2 è definita da: TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 13
50 Varianza La varianza di una variabile aleatoria, X, denotata da V (X) o var(x) o σ 2 è definita da: V (X) = E((X E(X)) 2 ). TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 13
51 Varianza La varianza di una variabile aleatoria, X, denotata da V (X) o var(x) o σ 2 è definita da: V (X) = E((X E(X)) 2 ). V (X) = E(X 2 ) E(X) 2. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 13
52 Varianza La varianza di una variabile aleatoria, X, denotata da V (X) o var(x) o σ 2 è definita da: V (X) = E((X E(X)) 2 ). V (X) = E(X 2 ) E(X) 2. La media E(X) è una misura della tendenza centrale di una variabile aleatoria. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 13
53 Varianza La varianza di una variabile aleatoria, X, denotata da V (X) o var(x) o σ 2 è definita da: V (X) = E((X E(X)) 2 ). V (X) = E(X 2 ) E(X) 2. La media E(X) è una misura della tendenza centrale di una variabile aleatoria. La varianza di X misura il valore atteso del quadrato della differenza fra la variabile casuale e la sua media. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 13
54 Deviazione standard La varianza misura la variazione dei possibili valori di X intorno alla media. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 14
55 Deviazione standard La varianza misura la variazione dei possibili valori di X intorno alla media. La deviazione standard σ, è definita dalla radice quadrata della varianza. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 14
56 Deviazione standard La varianza misura la variazione dei possibili valori di X intorno alla media. La deviazione standard σ, è definita dalla radice quadrata della varianza. La media e la deviazione standard sono espresse nella stessa unità di misura. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 14
57 Media e varianza Esempi: Nell esempio del dado E(X) = 1(1/21)+2(2/21)+...+6(6/21) = 91/21 = 4.33, V (X) = E(X 2 ) E(X) 2 = 2.22, σ = TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 15
58 Media e varianza Esempi: Nell esempio del dado E(X) = 1(1/21)+2(2/21)+...+6(6/21) = 91/21 = 4.33, V (X) = E(X 2 ) E(X) 2 = 2.22, σ = Nell esempio del dispositivo laser: E(X) = 1/2 0 xe x/2 dx = 2 anni, V (X) = 4 anni, σ = 2 anni. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 15
59 Moda La moda è usato per descrivere alcuni modelli statistici nella simulazione. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 16
60 Moda La moda è usato per descrivere alcuni modelli statistici nella simulazione. Nel caso discreto la moda è il valore della variabile casuale che si verifica più di frequente. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 16
61 Moda La moda è usato per descrivere alcuni modelli statistici nella simulazione. Nel caso discreto la moda è il valore della variabile casuale che si verifica più di frequente. Nel caso continuo è il punto in cui la pdf assume il valore massimo. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 16
62 Moda La moda è usato per descrivere alcuni modelli statistici nella simulazione. Nel caso discreto la moda è il valore della variabile casuale che si verifica più di frequente. Nel caso continuo è il punto in cui la pdf assume il valore massimo. La moda può non essere unica. Se il valore modale si verifica in due punti diversi allora la distribuzione si dice bimodale. TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 16
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