VARIABILI CASUALI CONTINUE
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- Teresa Lanza
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1 p. 1/1 VARIABILI CASUALI CONTINUE Una variabile casuale continua può assumere tutti gli infiniti valori appartenenti ad un intervallo di numeri reali.
2 p. 1/1 VARIABILI CASUALI CONTINUE Una variabile casuale continua può assumere tutti gli infiniti valori appartenenti ad un intervallo di numeri reali. Il risultato di una misura è trattata come una variabile casuale continua per applicare il calcolo differenziale e integrale.
3 p. 1/1 VARIABILI CASUALI CONTINUE Una variabile casuale continua può assumere tutti gli infiniti valori appartenenti ad un intervallo di numeri reali. Il risultato di una misura è trattata come una variabile casuale continua per applicare il calcolo differenziale e integrale. Come generalizzare il concetto di probabilità? Tutte le definizioni date (assiomatica ed empirica) si riferiscono a variabili discrete. Assumendo p = n fav n tot, nel caso continuo n tot, per cui p 0.
4 p. 1/1 VARIABILI CASUALI CONTINUE Una variabile casuale continua può assumere tutti gli infiniti valori appartenenti ad un intervallo di numeri reali. Il risultato di una misura è trattata come una variabile casuale continua per applicare il calcolo differenziale e integrale. Come generalizzare il concetto di probabilità? Tutte le definizioni date (assiomatica ed empirica) si riferiscono a variabili discrete. Assumendo p = n fav n tot, nel caso continuo n tot, per cui p 0. Nel caso continuo il valore della probabilità di un singolo evento è infinitesimo.
5 p. 1/1 VARIABILI CASUALI CONTINUE Una variabile casuale continua può assumere tutti gli infiniti valori appartenenti ad un intervallo di numeri reali. Il risultato di una misura è trattata come una variabile casuale continua per applicare il calcolo differenziale e integrale. Come generalizzare il concetto di probabilità? Tutte le definizioni date (assiomatica ed empirica) si riferiscono a variabili discrete. Assumendo p = n fav n tot, nel caso continuo n tot, per cui p 0. Nel caso continuo il valore della probabilità di un singolo evento è infinitesimo. In pratica, si associa il concetto di probabilità ad intervalli finiti dell asse reale di definizione della variabile. Quindi si passerà da p(x) p(x 1 x x 2 ).
6 p. 2/1 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ Supponiamo di avere a disposizione infinite misure, distribuite con continuità sull asse x.
7 p. 2/1 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ Supponiamo di avere a disposizione infinite misure, distribuite con continuità sull asse x. In ogni intervallo k, la frequenza relativa delle misure f k, per N tende alla probabilità p che una misura cada in quell intervallo (Legge dei grandi numeri o Teorema di Bernoulli).
8 p. 2/1 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ Supponiamo di avere a disposizione infinite misure, distribuite con continuità sull asse x. In ogni intervallo k, la frequenza relativa delle misure f k, per N tende alla probabilità p che una misura cada in quell intervallo (Legge dei grandi numeri o Teorema di Bernoulli). Al crescere di N posso prendere intervalli sempre più piccoli: per N assumeranno un ampiezza infinitesima dx.
9 p. 2/1 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ Supponiamo di avere a disposizione infinite misure, distribuite con continuità sull asse x. In ogni intervallo k, la frequenza relativa delle misure f k, per N tende alla probabilità p che una misura cada in quell intervallo (Legge dei grandi numeri o Teorema di Bernoulli). Al crescere di N posso prendere intervalli sempre più piccoli: per N assumeranno un ampiezza infinitesima dx. La funzione discreta densità di frequenza d k tende a: N dk f k x k 0 x k p k dp f(x) x k dx k
10 p. 2/1 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ Supponiamo di avere a disposizione infinite misure, distribuite con continuità sull asse x. In ogni intervallo k, la frequenza relativa delle misure f k, per N tende alla probabilità p che una misura cada in quell intervallo (Legge dei grandi numeri o Teorema di Bernoulli). Al crescere di N posso prendere intervalli sempre più piccoli: per N assumeranno un ampiezza infinitesima dx. La funzione discreta densità di frequenza d k tende a: N dk f k x k 0 x k p k dp f(x) x k dx k La funzione discreta densità di frequenza d k tende alla funzione continua densità di probabilità f(x).
11 Istogramma funzione di densità di probabilità. p. 3/1
12 Istogramma funzione di densità di probabilità. p. 3/1
13 Istogramma funzione di densità di probabilità. p. 3/1
14 Istogramma funzione di densità di probabilità. p. 3/1
15 p. 4/1 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ Ne segue che f k = d k x k f(x)dx
16 p. 4/1 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ Ne segue che f k = d k x k f(x)dx L istogramma curva continua avente come ordinata y = f(x) = dp dx
17 p. 4/1 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ Ne segue che f k = d k x k f(x)dx L istogramma curva continua avente come ordinata y = f(x) = dp dx La frazione di misure che cadono nell intervallo tra x e x + dx tende alla probabilità dp di ottenere valori di x nell intervallo (x, x + dx).
18 p. 4/1 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ Ne segue che f k = d k x k f(x)dx L istogramma curva continua avente come ordinata y = f(x) = dp dx La frazione di misure che cadono nell intervallo tra x e x + dx tende alla probabilità dp di ottenere valori di x nell intervallo (x, x + dx).
19 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ p. 5/1
20 p. 5/1 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ La condizione di normalizzazione per una funzione densità di probabilità è: + La probabilità di osservare un f(x)dx = 1 qualunque valore di una variabile continua è pari alla certezza.
21 p. 5/1 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ La condizione di normalizzazione per una funzione densità di probabilità è: + La probabilità di osservare un f(x)dx = 1 qualunque valore di una variabile continua è pari alla certezza. La funzione densità di probabilità è positiva f(x) > 0.
22 p. 5/1 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ La condizione di normalizzazione per una funzione densità di probabilità è: + La probabilità di osservare un f(x)dx = 1 qualunque valore di una variabile continua è pari alla certezza. La funzione densità di probabilità è positiva f(x) > 0. la funzione densità di probabilità all infinito deve tendere a zero f(x) 0 per x ±.
23 p. 6/1 FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CUMULATIVA F(x) = x f(t) dt Probabilità di osservare un valore non superiore ad x. Valgono le relazioni F( ) 0 e F(+ ) 1.
24 p. 6/1 FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CUMULATIVA F(x) = x f(t) dt P (x [x 1, x 2 ]) = F(x 2 ) F(x 1 ) Probabilità di osservare un valore non superiore ad x. Valgono le relazioni F( ) 0 e F(+ ) 1.
25 p. 6/1 FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CUMULATIVA F(x) = x f(t) dt P (x [x 1, x 2 ]) = F(x 2 ) F(x 1 ) Probabilità di osservare un valore non superiore ad x. Valgono le relazioni F( ) 0 e F(+ ) 1. Quindi la condizione di normalizzazione risulta soddisfatta: + f(x)dx = F(+ ) F( ) 1
26 p. 6/1 FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CUMULATIVA F(x) = x f(t) dt P (x [x 1, x 2 ]) = F(x 2 ) F(x 1 ) Probabilità di osservare un valore non superiore ad x. Valgono le relazioni F( ) 0 e F(+ ) 1. Quindi la condizione di normalizzazione risulta soddisfatta: + f(x)dx = F(+ ) F( ) 1
27 p. 7/1 VALORE DI ASPETTAZIONE E VARIANZA Il valore di aspettazione della variabile x nel caso continuo E(x) = + x f(x)dx
28 p. 7/1 VALORE DI ASPETTAZIONE E VARIANZA Il valore di aspettazione della variabile x nel caso continuo E(x) = + x f(x)dx Il valore di aspettazione della variabile g(x) nel caso continuo E[g(x)] = + g(x) f(x)dx
29 p. 7/1 VALORE DI ASPETTAZIONE E VARIANZA Il valore di aspettazione della variabile x nel caso continuo E(x) = + x f(x)dx Il valore di aspettazione della variabile g(x) nel caso continuo E[g(x)] = + g(x) f(x)dx La varianza è il valore di aspettazione della variabile errore y = x E(x) nel caso continuo var(x) = σ 2 = + (x E(x))2 f(x)dx
30 p. 7/1 VALORE DI ASPETTAZIONE E VARIANZA Il valore di aspettazione della variabile x nel caso continuo E(x) = + x f(x)dx Il valore di aspettazione della variabile g(x) nel caso continuo E[g(x)] = + g(x) f(x)dx La varianza è il valore di aspettazione della variabile errore y = x E(x) nel caso continuo var(x) = σ 2 = + (x E(x))2 f(x)dx La deviazione standard o errore quadratico medio è σ.
31 p. 8/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE Si applica a variabili casuali discrete di tipo dicotomico (variabili bernoulliane), ovvero che possono assumere solo 2 valori.
32 p. 8/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE Si applica a variabili casuali discrete di tipo dicotomico (variabili bernoulliane), ovvero che possono assumere solo 2 valori. L evento si verifica successo, e.g. y = 1
33 p. 8/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE Si applica a variabili casuali discrete di tipo dicotomico (variabili bernoulliane), ovvero che possono assumere solo 2 valori. L evento si verifica successo, e.g. y = 1 L evento non si verifica insuccesso, e.g. y = 0
34 p. 8/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE Si applica a variabili casuali discrete di tipo dicotomico (variabili bernoulliane), ovvero che possono assumere solo 2 valori. L evento si verifica successo, e.g. y = 1 L evento non si verifica insuccesso, e.g. y = 0 La distribuzione binomiale descrive la probabilità di ottenere un numero finito k di successi in n prove ripetute, sapendo che la probabilità di successo per il singolo evento è costante e vale p (probabilità di un evento bernoulliano).
35 p. 9/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE Sia E l evento bernoulliano elementare con probabilità p
36 p. 9/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE Sia E l evento bernoulliano elementare con probabilità p Sia Ē evento complementare con probabilità q = 1 p.
37 p. 9/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE Sia E l evento bernoulliano elementare con probabilità p Sia Ē evento complementare con probabilità q = 1 p. Probabilità P(x; n) che in n prove ripetute E si verifichi esattamente x volte? Probabilità di avere x successi in n prove?
38 p. 9/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE Sia E l evento bernoulliano elementare con probabilità p Sia Ē evento complementare con probabilità q = 1 p. Probabilità P(x; n) che in n prove ripetute E si verifichi esattamente x volte? Probabilità di avere x successi in n prove? Supponiamo che tre persone (Francesca, Luigi e Marco) escano ciascuno dalla loro casa per andare a prendere il medesimo autobus e che ciascuno di essi abbia probabilità pari a p di riuscire ad arrivare in tempo alla fermata (e ovviamente probabilità 1 p di perdere l autobus). Ci si chiede quale sia la probabilità che due delle tre persone riesca nell intento.
39 p. 10/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE L evento due persone prendono l autobus si può verificare in tre modi diversi ossia 1. Francesca e Luigi lo prendono, ma Marco no 2. Francesca e Marco lo prendono, ma Luigi no 3. Luigi e Marco lo prendono, ma Francesca no
40 p. 10/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE L evento due persone prendono l autobus si può verificare in tre modi diversi ossia 1. Francesca e Luigi lo prendono, ma Marco no 2. Francesca e Marco lo prendono, ma Luigi no 3. Luigi e Marco lo prendono, ma Francesca no L evento in due prendono l autobus sarà rappresentabile come B 2 = FLM + FLM + FLM
41 p. 10/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE L evento due persone prendono l autobus si può verificare in tre modi diversi ossia 1. Francesca e Luigi lo prendono, ma Marco no 2. Francesca e Marco lo prendono, ma Luigi no 3. Luigi e Marco lo prendono, ma Francesca no L evento in due prendono l autobus sarà rappresentabile come B 2 = FLM + FLM + FLM La probabilità corrispondente è : P(B 2 ) = pp(1 p) + p(1 p)p + (1 p)pp I tre eventi F,L e M sono indipendenti, mentre ogni combinazione(terna) corrisponde ad un evento incompatibile rispetto alle altre.
42 DISTRIBUZIONE BINOMIALE L evento due persone prendono l autobus si può verificare in tre modi diversi ossia 1. Francesca e Luigi lo prendono, ma Marco no 2. Francesca e Marco lo prendono, ma Luigi no 3. Luigi e Marco lo prendono, ma Francesca no L evento in due prendono l autobus sarà rappresentabile come B 2 = FLM + FLM + FLM La probabilità corrispondente è : P(B 2 ) = pp(1 p) + p(1 p)p + (1 p)pp I tre eventi F,L e M sono indipendenti, mentre ogni combinazione(terna) corrisponde ad un evento incompatibile rispetto alle altre. Ponendo 1 p = q otteniamo in definitiva: P(B 2 ) = 3p 2 q p. 10/1
43 p. 11/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE In generale: si calcoli la probabilità che in n prove di un esperimento di Bernoulli, si abbiano esattamente x successi.
44 p. 11/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE In generale: si calcoli la probabilità che in n prove di un esperimento di Bernoulli, si abbiano esattamente x successi. Indichiamo con S il successo e con F il fallimento. Una sequenza di n prove darà come esito una sequenza di n fra S e F. Ad esempio, si abbiano i primi x successi: x volte {}}{ SSS S n x volte {}}{ FFF F
45 p. 11/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE In generale: si calcoli la probabilità che in n prove di un esperimento di Bernoulli, si abbiano esattamente x successi. Indichiamo con S il successo e con F il fallimento. Una sequenza di n prove darà come esito una sequenza di n fra S e F. Ad esempio, si abbiano i primi x successi: x volte {}}{ SSS S n x volte {}}{ FFF F La probabilità di ottenere proprio quella sequenza è: x volte {}}{ p p p p n x volte {}}{ q q q q = p x q n x
46 p. 12/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE Qualunque altra sequenza contenente esattamente x successi avrà sempre come probabilità p x n n x (cambia l ordine dei fattori ma non il prodotto).
47 p. 12/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE Qualunque altra sequenza contenente esattamente x successi avrà sempre come probabilità p x n n x (cambia l ordine dei fattori ma non il prodotto). In base all analisi combinatoria, il numero di combinazioni di classe x di n oggetti, ovvero tutte modalità di scegliere x oggetti da un insieme di n oggetti, indipendentemente dall ordine è n! C n, x = x! (n x)!
48 p. 12/1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE Qualunque altra sequenza contenente esattamente x successi avrà sempre come probabilità p x n n x (cambia l ordine dei fattori ma non il prodotto). In base all analisi combinatoria, il numero di combinazioni di classe x di n oggetti, ovvero tutte modalità di scegliere x oggetti da un insieme di n oggetti, indipendentemente dall ordine è n! C n, x = x! (n x)! Dato che tutte le combinazioni sono reciprocamente eventi incompatibili (regola della propabilità totale), la distribuzione binomiale è quindi data da: P(x; n) = C n, x p x q n x = n! x! (n x)! px q n x
49 p. 13/1 ISTRIBUZIONE BINOMIALE: esempi In un esame scritto si debba rispondere a 10 domande, scegliendo tra 2 possibili risposte (una vera, l altra falsa). Si assegna un punteggio 3 per ogni risposta V, e 0 per ogni risposta F. Qual è la probabilità che uno studente totalmente impreparato (che scelga a caso) ottenga 18/30?
50 p. 13/1 ISTRIBUZIONE BINOMIALE: esempi In un esame scritto si debba rispondere a 10 domande, scegliendo tra 2 possibili risposte (una vera, l altra falsa). Si assegna un punteggio 3 per ogni risposta V, e 0 per ogni risposta F. Qual è la probabilità che uno studente totalmente impreparato (che scelga a caso) ottenga 18/30? Equivale a calcolare la probabilità di ottenere x = 6 successi in n = 10 prove, con probabilità p = 0.5.
51 p. 13/1 ISTRIBUZIONE BINOMIALE: esempi In un esame scritto si debba rispondere a 10 domande, scegliendo tra 2 possibili risposte (una vera, l altra falsa). Si assegna un punteggio 3 per ogni risposta V, e 0 per ogni risposta F. Qual è la probabilità che uno studente totalmente impreparato (che scelga a caso) ottenga 18/30? Equivale a calcolare la probabilità di ottenere x = 6 successi in n = 10 prove, con probabilità p = 0.5. P(6; 10) = ! 6!(10 6)! = ! 6! =
52 p. 13/1 ISTRIBUZIONE BINOMIALE: esempi In un esame scritto si debba rispondere a 10 domande, scegliendo tra 2 possibili risposte (una vera, l altra falsa). Si assegna un punteggio 3 per ogni risposta V, e 0 per ogni risposta F. Qual è la probabilità che uno studente totalmente impreparato (che scelga a caso) ottenga 18/30? Equivale a calcolare la probabilità di ottenere x = 6 successi in n = 10 prove, con probabilità p = 0.5. P(6; 10) = ! 6!(10 6)! = ! 6! = Qual è la probabilità che o stesso studente superi l esame, ovvero ottenga un voto 18/30? Deve prendere o 18 o 21 o 24 o 27 o 30. Eventi incompatibili somma delle probabilità.
53 P(6 x 10; 10) = P(6; 10) + P(7; 10) + P(8; 10) + P(9; 10) + P(10; 10) = (C 10,6 + C 10,7 + C 10,8 + C 10,9 + C 10,10 ) (0.5) 10 = ( ) (0.5) 10 = 386 (0.5) p. 13/1 ISTRIBUZIONE BINOMIALE: esempi In un esame scritto si debba rispondere a 10 domande, scegliendo tra 2 possibili risposte (una vera, l altra falsa). Si assegna un punteggio 3 per ogni risposta V, e 0 per ogni risposta F. Qual è la probabilità che uno studente totalmente impreparato (che scelga a caso) ottenga 18/30? Equivale a calcolare la probabilità di ottenere x = 6 successi in n = 10 prove, con probabilità p = 0.5. P(6; 10) = ! 6!(10 6)! = ! 6! = Qual è la probabilità che o stesso studente superi l esame, ovvero ottenga un voto 18/30? Deve prendere o 18 o 21 o 24 o 27 o 30. Eventi incompatibili somma delle probabilità.
54 p. 14/1 BINOMIALE: CARATTERISTICHE Distribuzione discreta, con dominio l insieme dei numeri naturali. Univocamente definita dai parametri n e p.
55 p. 14/1 BINOMIALE: CARATTERISTICHE Distribuzione discreta, con dominio l insieme dei numeri naturali. Univocamente definita dai parametri n e p. Vale la condizione di normalizzazione n x=0 P(x;n) = n x=0 n! x! (n x)! px q n x = (p + q) n 1 (formula di Newton per lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio).
56 p. 14/1 BINOMIALE: CARATTERISTICHE Distribuzione discreta, con dominio l insieme dei numeri naturali. Univocamente definita dai parametri n e p. Vale la condizione di normalizzazione n x=0 P(x;n) = n x=0 n! x! (n x)! px q n x = (p + q) n 1 (formula di Newton per lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio). Valore di aspettazione: E(x) = n x=0 x n! x! (n x)! px q n x = n p
57 p. 14/1 BINOMIALE: CARATTERISTICHE Distribuzione discreta, con dominio l insieme dei numeri naturali. Univocamente definita dai parametri n e p. Vale la condizione di normalizzazione n x=0 P(x;n) = n x=0 n! x! (n x)! px q n x = (p + q) n 1 (formula di Newton per lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio). Valore di aspettazione: E(x) = n x=0 x n! x! (n x)! px q n x = n p Varianza σ 2 (x) = n p q
58 p. 15/1 BINOMIALE: ANDAMENTO La distribuzione binomiale è in generale asimmetrica, tranne che per p = q = 1/2
59 p. 15/1 BINOMIALE: ANDAMENTO La distribuzione binomiale è in generale asimmetrica, tranne che per p = q = 1/2 Se p = q = 1/2 e n pari unimodale
60 p. 15/1 BINOMIALE: ANDAMENTO La distribuzione binomiale è in generale asimmetrica, tranne che per p = q = 1/2 Se p = q = 1/2 e n pari unimodale Se p = q = 1/2 e n dispari bimodale
61 BINOMIALE: ANDAMENTO Visualizza qui Visualizza qui p. 16/1
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