Distribuzioni di probabilità

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1 Distribuzioni di probabilità Si sono diverse distribuzioni di probabilità: quelle di cui parleremo sono la distribuzione binomiale, quella di Poisson, quella uniforme, quella normale, quella del χ² e la distribuzione multinomiale. Distribuzione binomiale. Supponiamo di avere due esiti esclusivi A e Ā di un certo esperimento: A è chiamato un successo e Ā un insuccesso. Per ogni esperimento sia p ( 0 p 1 ) la probabilità che si verifichi un successo e q=1- p la probabilità di un insuccesso. Allora per una successione di n prove indipendenti, la probabilità di avere r successi e n-r insuccessi è data :

2 ( ) ( ) p r ( 1-p) n-r dove il coefficiente binomiale ( ) = ( ) tiene conto che non è importante l ordine con cui si verificano gli r successi. Questa distribuzione si dice anche di Bernoulli, dal nome dello scienziato svizzero Jakob Bernoulli. Si può dimostrare ( vedi Severi ) che μ= E(r) = np e che la varianza V(r) =np(1-p). Il grafico che segue mostra l andamento di una binomiale per diversi valori di p e di n: all aumentare di n tende ad una distribuzione normale.

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4 Distribuzione di Poisson In una distribuzione binomiale può capitare che p sia molto piccola ed n molto grande, ma che il valore atteso μ = np possa essere finito e diverso da zero. Nel caso limite che p tenda a zero ed n tenda all infinito con μ finito e diverso da zero, si dimostra che la binomiale può essere scritta come ( ) con r=1,2,. che costituisce la distribuzione scoperta da Siméon_Denis Poisson. Un tipico caso in cui si applica questa distribuzione è quella degli eventi rari. Si può dimostrare che E(r) = μ e che la varianza vale ancora μ.

5 La prossima figura illustra la distribuzione di Poisson per diversi valori di p: anche essa tende ad una distribuzione normale al crescere di μ.

6 Distribuzione uniforme Immaginiamo di avere una variabile continua x che abbia p.d.f. costante sull intero intervallo in cui essa sia definita. Allora ( ) = con a x b fornisce una p.d.f. costante. Si può vedere che ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dove F(x) è la funzione di distribuzione cumulativa. La prossima figura illustra f(x) e F(x).

7 Distribuzione normale ( o di Gauss ) Questa distribuzione deriva da una binomiale quando n tende all infinito. Fu trovata inizialmente da Abraham de Moivre e da Pierre-Simon de Laplace;

8 deve il suo nome anche a Gauss in quanto egli l ha applicata agli errori di misura. La p.d.f. normale ad una dimensione ha la forma generale : ( ) con - x ( ) Si può dimostrare che E(x) = μ e che V(x) = σ 2. Quindi i parametri μ e σ 2 che compaiono nella distribuzione hanno il solito significato di valore medio e varianza della distribuzione. La distribuzione normale è simmetrica intorno a μ e quindi la mediana coincide con μ. Inoltre ha la sua moda ( ossia il suo massimo) per x = μ.

9 Si può vedere inoltre che ad una distanza ± σ da μ si hanno due punti di flesso. La figura successiva illustra differenti distribuzioni normali aventi la stessa media.

10 La distribuzione normale N(μ, σ 2 ) può essere trasformata in una forma più conveniente mediante l introduzione della variabile ridotta z = (x-μ)/σ. Questo dà origine alla p.d.f. normale N(0,1) = 1/ 2π exp( -1/2 z 2 ) con z compreso fra - e +. Questa forma di p.d.f. è più semplice da tabellare perché dipende dalla sola variabile z. La distribuzione cumulativa G(z) gode della proprietà che G(-z) = 1 G(z). La successiva figura illustra N(0,1) e la sua funzione di distribuzione cumulativa.

11 La funzione di distribuzione cumulativa standard G(z) è usata per determinare il contenuto di probabilità di un dato

12 intervallo per un valore distribuito normalmente e viceversa per determinare un intervallo corrispondente ad una certa probabilità. Sia x una variabile casuale distribuita secondo N(μ, σ 2 ). Vogliamo determinare la probabilità che x cada entro un certo intervallo [a,b]. Ora P( a x b) = P( x b) P( x a), che è equivalente a scrivere che P( a x b) = G[(b-μ)/σ] - G[(a-μ)/σ]. Usando le opportune tavole si trova che : P( - ) = 2 G(1) -1 = 0,6827 P( - ) = 2 G(2) -1 = 0,9545

13 P( - ) = 2 G(3) -1 = 0,9973 La prossima figura mostra N(μ, σ 2 ) con le varie zone che corrispondono a scarti da μ pari a 1 σ, 2 σ e 3 σ.

14 È interessante sapere che la media aritmetica di un campione di dimensione n, estratto da una popolazione normale, si distribuisce normalmente con media μ e varianza σ 2 /n. È interessante sapere inoltre che (n-1) s 2 / σ 2 si distribuisce come un χ 2 con n-1 gradi di libertà, come vedremo in seguito. Concludiamo con l enunciare il teorema del Limite Centrale dovuto sempre a Laplace. Se x 1, x 2, x N sono un insieme di N variabili casuali indipendenti, ognuno

15 aventi media della popolazione μ i e varianza finita, allora la variabile ha, come distribuzione limite, una distribuzione normale, centrata su zero e varianza pari ad 1. In particolare la media aritmetica di n misure x i della stessa grandezza fisica x nelle stesse condizioni tende ad una distribuzione normale con media µ e varianza σ² per n anche se la distribuzione di x non è normale: la cosa importante è che la varianza sia finita. Il motivo per cui in laboratorio è consigliabile effettuare misure ripetute è proprio legato al Teorema del Limite Centrale.

16 La distribuzione del χ 2 Consideriamo una grandezza x, che si distribuisca secondo una distribuzione normale, centrata intorno a X con varianza σ². Introduciamo il concetto di variabile standard z definendola come z = (x-x)/σ. Si può dimostrare che z si distribuisce secondo una distribuzione normale, centrata sullo zero e con varianza pari ad 1. Consideriamo ora ν variabili standard z i. Possiamo definire allora la grandezza χ 2 come la somma dei quadrati di ν variabili standard:

17 Il parametro ν viene chiamato numero di gradi di libertà. Si può ricavare la funzione di distribuzione f ν (χ 2 ), tale che f ν (χ 2 ) d χ 2 dia la probabilità di trovare un valore del chi quadro compreso fra χ 2 e χ 2 +d χ 2 : dove C è un fattore di normalizzazione. Si può vedere che C= (2 ½ν Γ(½ν)) -1 dove Γ è la funzione Gamma di Eulero, che le seguenti proprietà : Γ(x+1) = x Γ(x) Γ(½) = π

18 Γ(1) = 1 A questo punto è possibile ricavare la probabilità P(χ 2 > χ 2 0 ), ossia la probabilità di trovare un valore di χ 2 maggiore di uno fissato χ 2 0. e quindi ottenere il valore atteso e la varianza del chi quadro :

19 In alcune situazioni è più opportuno usare il cosiddetto chi quadro ridotto, definito come rapporto fra il chi quadro e il numero di gradi di libertà. Si ha in tal caso La tabella A.16 del Severi mostra i valori del χ 2 ridotto ordinati per righe, individuate dai valori di ν e per colonne individuate dai valori di P(χ 2 / χ 2 0/ν ). La tabella D del Taylor illustra i valori di P(χ 2 / χ 2 0/ν ) in funzione di ν e di χ 2 0/ν.

20 Nella figura seguente sono riportati gli andamenti della funzione di distribuzione f ν (χ 2 )=f(u,ν) al variare di χ 2 per diversi valori di ν.

21 In particolare si nota che f 1 (χ 2 ), essendo proporzionale a exp(-χ 2 /2)/ χ 2, diverge per χ 2 tendente a zero. Inoltre si nota che f 2 (χ 2 ), essendo proporzionale a exp(- χ 2 /2 ), ha l'andamento di un esponenziale decrescente. Per ν maggiore di due, la funzione vale zero per χ 2 uguale a zero, manifesta un massimo per un valore del χ 2 pari a ν-2 e poi decresce con una coda, più o meno lunga, verso lo zero al divergere di χ 2. Come si vede, la funzione non è simmetrica, ma tende, al crescere di ν ad una distribuzione normale di pari valore atteso e varianza. Nella pratica questo limite si ritiene raggiunto per ν pari a circa 30.

22 È opportuno rimarcare infine che, quando viene usato ai fini di test di ipotesi, il χ 2 sperimentale χ 2 0 deve essere tale che P(χ 2 > χ 2 0 ) 0.05 ( ossia l'area sottesa dalla funzione di distribuzione fra χ 2 0 e deve essere maggiore od uguale al 5 per cento ), affinché l'ipotesi non sia rigettata. Talora questo taglio del 5 per cento viene portato al 10 per cento. Il motivo di questo taglio è dovuto al desiderio di ridurre la possibilità di accettare per buona un'ipotesi falsa a costo di perdere un'ipotesi buona ma avente bassa probabilità di verificarsi.

23 Ancora la binomiale e il Teorema di Bernoulli Talora ( come nel caso in cui si vuole valutare l efficienza di un rivelatore ) si è interessati alla quantità φ=r/n, il numero relativo di successi in n prove, ossia alla frequenza relativa dei successi. In tal caso ( ) = E(r) = p V( ) = ( )² V(r) = ( ) Usando la diseguaglianza di Bienaymé- Čebičev si può dimostrare che P[ ( -p ε ] ( ) che costituisce il Teorema di Bernoulli, secondo il quale la probabilità che la

24 frequenza relativa e p differiscano di una quantità maggiore od uguale a ε tende a zero al tendere di n a. Questo teorema è importante perché afferma che asintoticamente l approccio classico e l approccio frequentistico sono consistenti fra di loro. Una generalizzazione della binomiale : la multinomiale. Immaginiamo di avere n eventi indipendenti classificati in k categorie. Sia p i la probabilità di avere un successo nella i-ma categoria: la somma di tutte le p i vale chiaramente 1. La probabilità di avere r 1, r 2, r k successi nelle categorie 1,2,..k è data da

25 ( ) dove sta per l insieme di r 1, r k e per l insieme di p 1, p k. I valori di r i non sono indipendenti poiché la loro somma deve valere n. Si può dimostrare che, per ogni categoria, : E(r i ) = np i V(r i ) = np i (1-p i ) Cov(r i, r j ) = -np i p j Un esempio di multinomiale è l istogramma, in cui suddividiamo n eventi in k canali, contenenti ognuno n i eventi. Supponiamo adesso di sapere, a meno di eventuali parametri da determinare, la

26 probabilità p i di avere un evento nell i-mo canale. Quindi il valore atteso f i della frequenza degli eventi nell i-mo canale sarà np i e la condizione di normalizzazione = 1 implica che = = n. Se vogliamo verificare che il modello teorico, che fornisce le p i, sia corretto potremmo costruire una grandezza tipo χ², andando a considerare la somma degli scarti al quadrato di ogni n i da np i, diviso per la varianza np i (1-p i ) tenendo in conto la condizione di normalizzazione. ( ) ( )

27 Questo problema può essere affrontato in maniera più semplice. Infatti si può dimostrare che si tiene conto della normalizzazione se si scrive un χ² che ha al denominatore non la varianza di una binomiale ma la varianza di una poissoniana. Si tratta della famosa formula ( ) già usata per verificare la bontà del piano di riferimento usato con lo sferometro.

28 Principio di massima verosimiglianza per grandezze gaussiane : giustificazione della media aritmetica come migliore stima del valore atteso della popolazione ( vedi Taylor, 5.6 ) e media pesata ( vedi Taylor, 7.2) Osservazione : una volta ottenuto il valore della media pesata X, bisogna controllare l ipotesi di partenza, ossia quella che stiamo pesando n misure x i della stessa grandezza fisica ottenute in esperimenti differenti ( e quindi con diverse σ ).

29 Se l ipotesi è corretta allora la quantità ( ) ² si distribuisce come un χ² non n-1 gradi di libertà. Un valore troppo elevato del χ² segnala che almeno uno dei valori delle x i è incompatibile con tutti gli altri.