Test per l omogeneità delle varianze

Transcript

1 Test per l omogeneità delle varianze Le carte di controllo hanno lo scopo di verificare se i campioni estratti provengono da un processo produttivo caratterizzato da un unico valore dello s.q.m. σ. Una volta che non si osservano punti anomali in una carta di controllo S, prima di andare a costruire la carta di controllo per la media, possiamo utilizzare anche i test per la verifica dell omogeneità della varianza nei campioni utilizzati. Tra i tanti test, proponiamo quello di Bartlett (1937). Siano m i campioni ciascuno di numerosità n i, i = 1,..., m. Dobbiamo verificare H 0 : σ 2 1 = = σ2 m = σ2 contro l alternativa che per almeno una delle varianze sia σ 2 j σ2 1

2 Sotto l ipotesi nulla si può dimostrare che la statistica dove σ 2 G = 1 ni m m B = 1 D n i i=1 j=1 m i=1 (n i 1) log σ 2 G log s2 i (x ij x i ) 2, D = (k 1) si distribuisce come una χ 2 con m 1 gradi di libertà., ( ) 1 n i 1 1 ni m Se il valore della statistica B supera il valore soglia determinato con la e il livello α si rifiuta l ipotesi nulla. χ 2 m 1 Si può utilizzare anche il test di Fligner-Killeen che risulta più robusto rispetto all ipotesi che i dati provengano da popolazione normale. (Applicazioni in laboratorio) 2

3 Capacità produttiva Le carte di controllo permettono di fornire indicazioni sulla capacità del processo produttivo. Se il processo è sotto controllo si può ammettere che la caratteristica X del prodotto sia distribuita come una N( x, ˆσ). Siano T U e T L rispettivamente i limiti superiore e inferiore di specifica (USL e LSL) Il livello effettivo di non conformi del processo è dato da ( ) ( ) TL x TU x p e = P (X < T L ) + P (X > T U ) = Φ + 1 Φ ˆσ ˆσ Il valore minimo di p e lo si ha quando la media coincide con il centro dell intervallo di tolleranza m e = T ( ) U + T L TL T p min = 2Φ U 2 2ˆσ Il livello effettivo di non conformi deve essere tale che p e < p T dove p T è il livello di difettosità tollerabile. Se si verifica che p e > p T occorre distinguere due casi: se p min < p T si ricorre ad una taratura della macchina per riportare la media del processo vicino al valore m e. Se p min > p T il processo è inadeguato. 3

4 Riassumendo p e < p T processo ok p T < p e taratura della macchina p min < p T < p e ripercorrere la fase di impianto della carta p T < p min < p e aumentare n e ricalcolare σ L indice di capacità è definito da Il valore C p = USL LSL 6σ la cui stima Ĉ p = USL LSL 6ˆσ P = 1 C p 100% rappresenta la percentuale di specifica usata dal processo. 4

5 Funzione Operativa Caratteristica per la media Se X N(µ 0, σ 0 ) allora il processo all istante t è considerato sotto controllo se calcolata x t risulta µ 0 z 1 α/2 σ 0 n < x t < µ 0 + z 1 α/2 σ 0 n Denotiamo con A t tale regione. Supponiamo che la media del processo sia passata da µ 0 a µ. Non ci si accorge di questo cambiamento con una probabilità data da (probabilità di mancato allarme) ( ) ( ) n µ β(µ) = P (A t µ) = Φ 0 µ n µ + z 1 α/2 Φ 0 µ z 1 α/2 Posto σ 0 δ = µ µ 0 σ Per la carta a 3-sigma la curva operativa caratteristica è approssimativamente β(δ, n) = OC(δ, n) = Φ(3 δ n) σ 0 5

6 Il grafico rappresenta le OC al variare di n e per diversi valori di scostamento della media dal valore dato per multipli di σ. OC curves for xbar chart Prob. type II error n = 2 n = 5 n = 10 n = 15 n = Process shift (std.dev) 6

7 La relazione β(δ, n) = OC(δ, n) = Φ(3 δ n) è invertibile. Denotato con z β il quantile di una Z per un fissato valore di β si ha 3 δ n = z β, da cui ( 3 zβ ) 2, n = δ che va approssimato con l intero più vicino. Questo permette per fissati sregolamenti δ della media di determinare la numerosità del campione che assicura valori di β adeguatamente bassi. Esempio Per δ = 1.5 e β = 0.36 troviamo z β = e quindi n = da cui n = 5. (Vedi più avanti). Si osservi infine che β dipende anche dal valore di α e che in generale β sarà tanto più grande quanto più α è piccolo. 7

8 Funzioni operative caratteristiche per σ Nei problemi di controllo statistico in corso di produzioni si è interessati a verificare l ipotesi che la variabilità del processo non aumenti. Ciò equivale alla verifica dell ipotesi H 0 : σ σ 0 contro H 1 : σ > σ 0 L ipotesi H 0 viene rifiutata quando un punto si colloca al disopra della linea UCL. L aumento della variabilità viene espresso da λ = σ σ 0. Per una carta di controllo a 3-sigma abbiamo β(λ) = P ( S < B 4 σ 0 σ = λσ 0 ) È possibile risalire alla distribuzione di S e calcolare quindi il valore di β(λ) per diversi valori di n e di λ 8

9 Tempi di Attesa per segnali di Fuori Controllo Se α è la probabilità di avere un falso segnale di fuori controllo e se indichiamo con T r la variabile casuale che indica il numero di campioni da estrarre prima di avere r falsi allarmi, la T r è una variabile casuale di Pascal e la sua distribuzione è ) α r (1 α) k r k = r, r + 1,... P (T r = k) = ( k 1 r 1 Poichè nella pratica un processo si arresta al primo segnale di fuori controllo la distribuzione di T 1 risulta P (T 1 = k) = α(1 α) k 1 k = 1, 2,... Il tempo medio per aver un falso allarme è dato da E(T 1 ) = 1 α (= ARL 0) Ad esempio per la carta per la media a 3-sigma avremo un falso allarme ogni 1/α = 1/ = 370 campioni 9

10 Quando il valore del parametro del processo (ad esempio la media o la varianza) si sposta da θ 0 a θ il processo è andato fuori controllo. Se β è la probabilità di avere un mancato allarme, la probabilità di dover attendere k campioni per osservare r punti fuori controllo (allarmi autentici) è data da P (T r = k θ) = ( k 1) (1 β(θ)) r β(θ) k r k = r, r + 1,... r 1 La distribuzione dei tempi di un segnale di fuori controllo quando il processo è fuori controllo è P (T 1 = k θ) = (1 β(θ))β(θ) k 1 k = 1, 2,... La probabilità di avere un segnale di fuori controllo entro i primi k campioni è data da 1 β k+1 e tende a 1 al crescere di k per qualunque valore di θ. Il tempo medio di attesa di un segnale di fuori controllo quando il processo è fuori controllo è dato da E(T 1 θ) = 1 1 β(θ) (= ARL 1) 10

11 Esempio. Vogliamo individuare uno scostamento pari a 1.5σ dalla media del diametro degli anelli con campioni di numerosità n = 5 con una carta a 3-sigma. Dalla OC deduciamo che β = La probabilità che lo scostamento venga individuato al primo campionamento è 1 β = Che venga individuato al secondo campionamento è β(1 β) = Il tempo medio di attesa risulta ARL 1 = 1 β 1 = 2. OC curves for xbar chart Prob. type II error Process shift (std.dev) 11

12 Va osservato che la lunghezza media delle sequenze (ARL) diminuisce come β. Una diminuzione dell ARL è quindi legata all abbassamento della OC. Questo abbassamento avviene solo con un aumento della numerosità campionaria e quindi con un aumento dei costi di controllo. Quindi, per un prefissato scostamento della media di kσ, se si fissa n si ottiene il valore di β e quindi il valore dell ARL. Se si fissa l ARL si ricava β = 1 1 ARL e quindi il valore di n che garantisce quel valore di β. Esempio. Se vogliamo ARL=2 per una carta 3-sigma per la media per individuare uno scostamento dalla media pari a 1σ, allora β = 0.5 e dalla OC deduciamo n =

13 Carte per campioni di diversa ampiezza Quando gli m campioni raccolti hanno numerosità n i diverse si costruiscono le carte x e S. I limiti a 3 sigma e di probabilità per tali carte variano da campione a campione e si basano sulla stima ponderata della media e dello scarto quadratico medio. x = mi=1 n i x i mi=1 n i S = mi=1 (n i 1)Si 2 mi=1 n i m I limiti per ognuno degli m campioni della carta x e della carta S sono dati da UCL i = x + A 3,i S CL = x LCL i = x A 3,i S UCL i = B 4,i S CL = S LCL i = B 3,i S 13

14 Carte di controllo per misure singole Queste carte si utilizzano quando tutti gli m campioni sono costituiti da una sola osservazione. Questo può verificarsi per vari motivi, ad esempio se il processo lavora con cadenza troppo lenta se la misurazione da effettuare su un unità ne comporta la distruzione se la produzione avviene in lotti all interno dei quali la variabilità è praticamente nulla Un campione unitario non fornisce nessuna stima per σ quindi non possiamo utilizzare le carte x, R e S. 14

15 Date le m osservazioni singole x 1, x 2,..., x m si costruiscono gli m 1 range mobili RM i = x i x i+1, i = 1, 2,..., m 1 Si calcolano quindi il range medio e la media RM = 1 m 1 m 1 m x i i=1 RM i x = 1 i=1 m Si utilizzano i valori D 3 e D 4 per n = 2 della carta R a 3 sigma per ottenere la carta di controllo per le escursioni campionarie per le osservazioni singole UCL = D 4 RM = 3.267RM CL = RM LCL = D 3 RM = 0 Mentre i limiti per la carta di controllo per la media risultano, osservato che ˆσ = RM d = RM UCL = x + 3ˆσ = x RM CL = x LCL = x 3ˆσ = x 2.66RM 15