Controllo Statistico della Qualità. Qualità come primo obiettivo dell azienda produttrice di beni

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1 Controllo Statistico della Qualità Qualità come primo obiettivo dell azienda produttrice di beni Qualità come costante aderenza del prodotto alle specifiche tecniche Qualità come controllo e riduzione della variabilità della produzione Nel controllo della qualità si distinguono tre aspetti 1. aspetti tecnologici 2. aspetti economico-manageriali 3. aspetti statistici 1

2 Programma Controllo in corso di produzione Carte di controllo per variabili Carte di controllo per la variabilità Carte di controllo per la media Carte CUSUM e EWMA Carte di controllo per attributi 2

3 I metodi del controllo statistico della qualità, o meglio dello Statistical Process Control (SPC) si dividono in due grandi gruppi: Metodi per il controllo in corso di produzione (on-line) Metodi per il controllo fuori produzione (off-line) I metodi statistici per il controllo off-line riguardano sostanzialmente il disegno dell esperimento e la teoria del campionamento. Il controllo offline, che almeno idealmente dovrebbe essere progettato e applicato in tutto il cammino di produzione di un prodotto, si pone come scopo quello di ridurre o rimuovere le potenziali cause che generano variabilità. Coinvolge di solito un gruppo di diversi esperti (progettista, addetto al management, ecc.) in vari settori e può portare ad un notevole miglioramento della qualità del prodotto (Taguchi, 1985, 1986) 3

4 Controllo in corso di produzione Lo SPC utilizza le carte di controllo come strumento principale per individuare scostamenti significativi dai valori standard ritenuti accettabili Le variazioni possono essere di natura accidentale oppure sistematica. Le prime una volta note sono ineliminabili le seconde, con i metodi dello SPC, vanno individuate, distinte dalle prime e attribuite ad una delle possibili cause differenza tra le macchine differenza tra gli addetti differenze tra i materiali differenze in ciascuno di questi fattori nel tempo 4

5 Carte Shewhart Sia X la caratteristica o variabile sottoposta a controllo. Sia X N(µ, σ) Le carte di controllo servono a verificare se i campioni estratti durante la fase di lavorazione provengono da un processo che presenta media e varianza costanti rispetto alla caratteristica osservata. Da un processo produttivo che fornisce un prodotto la cui caratteristica X è osservata si estraggono m campioni di ampiezza n x 11,x 12, x 21,x 22,. x i1,x i2,...., x 1j,..., x 1n..., x 2j,..., x 2n...., x ij,..., x in. x m1,x m2,..., x mj..., x mn 5

6 Poiché sappiamo che X N ( µ, ) σ n fissato un valore α piccolo è possibile determinare un valore z 1 α 2 P ( ) σ σ µ z 1 α n X µ + z 2 1 α n = 1 α 2 tale che Gli estremi µ z 1 α 2 σ n ; µ + z 1 α 2 σ n si assumono come limiti di controllo di una carta per la media e α rappresenta la probabilità che il campione osservato cada fuori questi limiti quando l ipotesi che la media sia uguale a µ è vera. (FALSO ALLARME) Dobbiamo determinare z 1 α 2 inoltre µ e σ non sono noti 6

7 Limiti di k sigma Il valore di z 1 α si può fissare pari a 3 (carte 3 sigma) e in questo caso 2 α = P ( Z < 3) = P (Z < 3) + P (Z > 3) = 2(1 P (z < 3)) = Quindi il 99, 73% delle medie dei campioni estratti da quel processo produttivo è contenuto nell intervallo µ 3 σ ; µ + 3 σ n n Limiti di probabilità Si fissa il valore di α, ad esempio α = e si ottiene z 1 α = Quindi il 98% delle medie dei campioni estratti da quel processo produttivo è contenuto nell intervallo µ σ ; µ σ n n I limiti di probabilità sono in genere da preferire soprattutto nelle le carte per la dispersione. I limiti di Shewhart sono di più facile lettura. Poiché nella pratica µ e σ non sono note occorre stimarle sulla base delle osservazioni effettuate. Per ciascun gruppo si calcola la media campionaria x i e un indice di dispersione ˆσ i. 7

8 Come stima di µ si utilizza x = x x m m = 1 m m i=1 x i = 1 mn m n x ij i=1 j=1 La distribuzione delle medie campionarie dipende dallo s.q.m σ e quindi occorre stimare anch esso. Poiché la distribuzione dei più noti stimatori di σ non dipende dalla media di X ma solo dalla numerosità campionaria, la costruzione di una carta di controllo per una media deve essere preceduta da una carta di controllo per per la dispersione. In pratica le due carte vanno costruite e utilizzate simultaneamente, perché solo quando la varianza è sotto controllo ha senso andare a effettuare controlli della media. 8

9 Carte di controllo per la deviazione standard - carta R Nel caso in cui l ampiezza di ogni singolo campione sia piccola (in genere n 10) come indice per misurare la dispersione si utilizza l escursione campionaria o range. R = x (n) x (1) dove x (1), x (2),..., x (n) sono i valori osservati ordinati in maniera non decrescente. Si può dimostrare che + P (R < y) = n (F (x + y)f (x))n 1 f(x)dx dove F (x) e f(x) sono rispettivamente la funzione di ripartizione e la densità di X. L escursione o range relativo è definito come W = R σ e E(W ) = d 2, s.q.m(w ) = σ W = d 3, I valori d 2 e d 3 dipendono solo da n e sono tabulati. Poiché E ( R d2 ) = σ, R d2 è stimatore non distorto per σ. Inoltre σ R = d 3 σ. 9

10 La carta di controllo teorica a 3 sigma per R ha i limiti teorici E(R) ± 3σ R. Sostituendo i valori empirici otteniamo i limiti empirici di controllo superiore (UCL) e inferiore (LCL). Siano R 1, R 2,..., R m i range calcolati sugli m campioni di ampiezza n. Come stima di E(R) usiamo la media campionaria delle escursioni m come stima di σ R usiamo R = 1 m R i i=1 ˆσ R = d 3 d 2 R = d 3ˆσ, dove ˆσ = R d 2 I limiti di controllo a 3 sigma per la carta R risultano quindi UCL = R + 3 d 3 d 2 R = D 4 R CL = R LCL = R 3 d 3 d 2 R = D 3 R 10

11 Limiti di probabilità per la carta R Dalla tavola della distribuzione dei quantili della distribuzione di W possiamo ricavare i limiti di probabilità per la carta di controllo R. Posto α = abbiamo P ( wα 2 < R σ < w 1 α 2 ) = 1 α Da cui sostituendo a σ la sua stima non distorta R d2 otteniamo P (F 3 R < R < F 4 R) = 1 α, dove F 3 = wα 2 e F 4 = w 1 α 2, d 2 d 2 I limiti di probabilità (α = 0.002) per la carta R risultano quindi UCL = F 4 R CL = R LCL = F 3 R 11

12 Esempio Il diametro interno degli anelli dei pistoni di una automobile è misurato su m=25 campioni ciascuno di ampiezza n = 5 quando il processo è ritenuto sotto controllo. Alcune osservazioni sono riportate nella seguente tabella Vediamo i passi per la costruzione della carta R. 12

13 Calcoliamo i range per i 25 gruppi. Min Max Range La media dei range calcolati è la linea centrale della carta: R = i=1 R i =

14 Calcoliamo la stima non distorta di σ: ˆσ = R d 2 = I valori della costante d 2 sono tabulati in apposite tavole, come i valori della costante d 3, al variare di n. Nel nostro caso dobbiamo considerare d 2 (5) = e d 3 (5) = Il limite superiore di controllo è quindi UCL = R + 3 d 3 d 2 R = Mentre il limite di controllo inferiore risulta 0 in quanto R 3 d 3 d 2 R = Sulla carta di controllo vengono riportati: la linea centrale, i limiti di controllo superiore e inferiore e quindi tutti i valori dei 25 range calcolati sui 25 gruppi. Se non si osservano punti fuori dai limiti si può concludere che il processo è sotto controllo. 14

15 Carta di controllo R R Chart for diam.c Group summary statistics UCL LCL Group Number of groups = 25 Center = StdDev = LCL UCL = = Number beyond limits = 0 Number violating runs = 1 15

16 Carte di controllo per la deviazione standard - carta S Quando la dimensione dei campioni e superiore a 10 o quando la dimensione dei campioni è variabile è preferibile utilizzare la carta S. Lo stimatore corretto per la varianza della popolazione è Inoltre se X N(µ, σ 2 ) allora S 2 = 1 n 1 n j=1 (X i X) 2 nj=1 (X i X) 2 (n 1)S2 σ 2 = σ 2 Volendo stimare σ con S si può dimostrare che E(S) = ( 2 n 1 χ 2 n 1 ) 1/2 Γ(n/2) Γ((n 1)/2) σ = c 4σ e σ S = σ 1 c

17 Siano S 1, S 2,..., S m gli scarti quadratici medi calcolati sugli m campioni di ampiezza n. Come stima di E(S) usiamo la media campionaria delle escursioni come stima di σ R usiamo S = 1 m m S i i=1 ˆσ S = S 1 c 2 4 c 4 I limiti di controllo a 3 sigma per la carta S risultano quindi UCL = S + 3 S c 4 1 c 2 4 = B 4 S CL = S LCL = S 3 S 1 c 2 4 c = B 3 S 4 17

18 L efficienza di R rispetto a S L utilizzo di R rispetto a S è preferibile per piccoli campioni solo per ragioni di semplicità computazionale. La carta S è comunque preferibile alla carta R in quanto il range risente in maniera determinante dei valori eccezionali. Per valutare quanto si perde in precisione utilizzando R invece di S consideriamo l efficienza relativa data dal rapporto delle varianze degli stimatori corretti R/d 2 e S/c 4 e = VAR(S/c 4) VAR(R/d 2 ) = (1 + c2 4 ) La seguente tabella mostra il valore di e per diversi valori di n c 2 4 d 2 2 d 2 3 n e

19 Carte di controllo per la media Una volta verificato che la varianza sia sotto controllo possiamo costruire la carta di controllo per i valori medi. Usando come stima di µ la media x = m 1 mi=1 x i, i limiti per la carta di controllo della media risultano, rispettivamente se usiamo come stima di σ R UCL = x + 3 R = x + A 2 R d 2 n ovvero S CL = x LCL = x 3 R = x A 2 R d 2 n UCL = x + 3 S = x + A 3 S c 4 n CL = x LCL = x 3 S = x A 3 S c 4 n 19

20 Carta di controllo S S Chart for diameter[1:25, ] UCL Group summary statistics LCL Group Number of groups = 25 Center = StdDev = LCL UCL = = Number beyond limits = 0 Number violating runs = 0 20

21 Carta di controllo x xbar Chart for diameter[1:25, ] UCL Group summary statistics LCL Group Number of groups = 25 Center = LCL = StdDev = UCL = Number beyond limits = 0 Number violating runs = 0 21

22 Interpretazione delle carte di controllo In genere l impianto di una carta di controllo prevede una prima fase in cui vengono raccolti i dati in un periodo in cui si ritiene che il processo sia sotto controllo per stabilire i limiti di controllo (UCL e LCL). Calcolati i limiti di controllo occorre verificare che tutti i campioni generino punti all interno dei limiti. Si possono verificare due casi almeno un punto è esterno ai limiti di controllo tutti i punti sono interni ai limiti di controllo Nel secondo caso non si può concludere che il processo sia sotto controllo. Occorre verificare che l andamento dei punti non presenti situazioni di non casualità nel posizionarsi attorno alla linea centrale, quali: 22

23 si osserva una successione troppo lunga di punti sopra o sotto la linea centrale (esistenza di più livelli produttivi) vi sono ciclicità (inadeguatezza del modello casuale ipotizzato) le stime campionarie mostrano un trend che mette in evidenza la tendenza del parametro osservato a crescere o diminuire (progressivo sregolamento del processo in atto) 23

24 Nel caso in cui almeno un punto cada fuori le linee di controllo occorre capire il perché. Ricordiamo che le carte sono costruite con la possibilità di dare un falso allarme con una probabilità pari ad α per ogni singolo campione osservato. La probabilità che r campioni risultino fuori controllo su m è p r,m = ( m) α r (1 α) m r r Mentre la probabilità di avere almeno un punto anomalo è p m = m i=1 p i,m = 1 (1 α) m Questa probabilità cresce al crescere di m e diventa non trascurabile per m grande (m > 20). Tuttavia tale probabilità è quasi totalmente assorbita dalla probabilità di osservare uno e un solo punto fuori controllo. 24

25 Il grafico mostra la situazione per α = In rosso p 1,m, in nero p m p m 25

26 Regole Empiriche di Comportamento Se una carta per la media (o per lo scarto quadratico medio) presenta 2 o più punti fuori controllo si può affermare che i campioni estratti non sono omogenei rispetto ai parametri considerati (media e s.q.m.) e quindi concludere che il processo è fuori controllo. Nel caso in cui ci sia un solo punto fuori controllo non si può trascurare la possibilità che questo sia un falso allarme. Se lo stesso punto si presenta in situazione di fuori controllo in entrambe le carte è alquanto improbabile che si tratti di un evento casuale. Occorre indagare i motivi che hanno generato questa situazione. Si cerca di capire come si sono raccolti i dati che hanno generato le osservazioni anomale. 26