PRODUZIONE DI LENTI A CONTATTO

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1 1 PRODUZIONE DI LENTI A CONTATTO Per monitorare il processo di produzione di un determinato tipo di lenti a contatto viene misurato, ad intervalli di tempo regolari di h 15 minuti, il diametro X (in mm) di n 6 lenti a contatto. La seguente tabella riporta i diametri rilevati in m campioni. j x 1j x 2j x 3j x 4j x 5j x 6j x j r j a) Utilizzando le osservazioni degli m campioni osservati, determinare dei limiti di controllo provvisori a 3 sigma per la media campionaria X ed il range campionario R. Le linee centrali determinate dai campioni preliminari sono date rispettivamente da j1 x x j , r j1 r j

2 2 mentre i limiti di controllo sono dati da UCL x x + 3 r d 2 n per la media campionaria X, e da LCL x x 3 r d 2 n UCL r r + 3 r d d 2 ( ) LCL r r 3 r d d 2 ( ) per il range campionario R. I valori d e d dell aspettativa e dello scarto quadratico medio del range relativo W R/σ si trovano nella tavola dei fattori. Siccome il limite di controllo inferiore nella carta per il range campionario R è negativo, esso verrà sostituito con LCL r 0. Per verificare se il processo era sotto controllo quando sono stati estratti gli m campioni, riporteremo le medie x j ed i range r j degli m campioni preliminari nelle carte di controllo con i limiti di controllo calcolati sopra.

3 3 Carta di controllo per il range con limiti a 3 sigma range campionario numero campione Carta di controllo per la media con limiti a 3 sigma media campionaria numero campione Dato che tutti i punti si trovano all interno dei limiti di controllo, e dato che non si notano andamenti anomali, possiamo ritenere che il processo era sotto controllo quando sono stati estratti gli m campioni preliminari.

4 4 b) Con riferimento ai limiti di controllo determinati al punto precedente, calcolare la probabilità β di commettere un errore di seconda specie quando il vero diametro medio è dato da µ 14.02mm. Al posto di σ sostituiremo la stima β P ( LCL x X UCL x µ ) P ( X µ ) ( ) ( ) Φ σ/ Φ 6 σ/. 6 σ r d usata per definire i limiti di controllo. In questo modo otteniamo β Φ(0.77) Φ( 5.23) Questo valore ci informa che la probabilità che la carta di controllo per la media campionaria X non rilevi al successivo campione uno spostamento del valore atteso µ E(X) dalla linea centrale x al valore µ è pari al %. Mediamente occorreranno ARL 1 1 β 1 1 0, campioni per rilevare lo scostamento di µ. Dato che i campioni vengono estratti ad intervalli di tempo regolari di h 15 minuti, ciò corrisponde ad un tempo medio al segnale pari a AT S h ARL minuti.

5 5 c) Determinare, con l ausilio del grafico delle curve operative caratteristiche, la numerosità campionaria che assicura un tempo medio al segnale pari a 30 minuti quando E(X) Dato che il grafico delle curve operative caratteristiche riporta lo scostamento del valore atteso µ E(X) rispetto alla linea centrale (x ) in termini di deviazioni standard ( σ ) in ascissa, e la probabilità β di commettere un errore di seconda specie in ordinata, bisogna convertire le informazioni sullo spostamento del valore atteso e sul tempo medio al segnale: Uno spostamento del valore atteso µ E(X) da x in µ corrisponde a k µ x σ σ. Prelevando campioni ad intervalli di tempo regolari di h 15 minuti, si ha AT S 30 minuti se e solo se AT S h 1 β 30 β 1 h Esaminando il grafico delle curve operative caratteristiche vediamo che il punto con ascissa k e ordinata β 0.5 si trova nell area compresa tra la curva caratteristica con n e la curva caratteristica con n 15. Curve operative caratteristiche per la carta per la media con limiti a 3 sigma beta (0.9094,0.5) n1 n2 n3 n4 n5 n n15 n k

6 6 Siccome con n si ha β Φ( ) Φ( ) e con n 11 si ha β Φ( ) Φ( ) possiamo concludere che con n 11 si raggiunge l ATS desiderato per uno spostamento del valore atteso E(X) in µ d) Siano LSL e USL i limiti di specifica per il diametro X di una lente a contatto. Calcolare la probabilità che essi vengano rispettati, tenendo conto delle stime di µ E(X) e σ V ar(x) ottenute dagli m campioni preliminari. ( ) ( ) x x P (LSL < X < USL) Φ Φ r/d 2 r/d ( ) ( 2 ) Φ Φ / /2.534 Φ(2.08) Φ( 1.81) ( ) e) Calcolare delle stime puntuali per l indice di capacità C p potenziale e per l indice di capacità effettiva C pk con riferimento ai limiti di specifica del punto precedente. Che cosa si evince dal confronto dei due indici? Useremo la stima puntuale σ r d per stimare l ampiezza dell intervallo di tolleranza naturale. In questo modo otteniamo Ĉ p USL LSL 6 σ Questo risultato ci informa che l ampiezza dell intervallo di specifica è solo pari al 64.85% dell ampiezza dell intervallo di tolleranza naturale. Pertanto, il processo produrrà un numero considerevole di lenti a contatto con diametro non conforme ai limiti di specifica.

7 7 Le stime puntuali degli indici di capacità unilaterali sono date rispettivamente da Ĉ u USL x 3 σ Ĉ l x LSL 3 σ e pertanto la stima puntuale dell indice di capacità effettiva sarà data da Ĉ pk min{ĉu, Ĉl} Siccome Ĉpk < Ĉp, possiamo concludere che la capacità effettiva del processo potrebbe essere aumentata centrando il processo. Visto che Ĉp < 1, sarà in ogni caso necessario intervenire sul processo per ridurre la variabilità di X.

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