Appunti del corso. Qualità

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1 Appunti del corso Qualità

2 ii INDICE CAPITOLO 1. Termini per la qualità 1.1 Aspetti generali 1.2 Variabilità CAPITOLO 2. Richiami di probabilità 2.1 La distribuzione binomiale 2.2 La distribuzione di Poisson 2.3 La distribuzione normale 2.4 La distribuzione chi quadrato 2.5 Aspetti inferenziali Distribuzioni campionarie Stima puntuale e stima intervallare Verifica d ipotesi CAPITOLO 3. Il Controllo Statistico di Processo 3.1 Variabilità nel processo produttivo 3.2 Aspetti generali delle carte di controllo 3.3 Costruzione di una carta di controllo Limiti di controllo Numerosità campionaria e frequenza di campionamento Regole di decisione e analisi degli andamenti tipici 3.4 Stima dei parametri del processo da un prerun CAPITOLO 4. Carte di controllo per variabili 4.1 Carte di controllo per il livello del processo Carta x bilaterale (parametri noti) Carta x bilaterale con parametri non noti Carta x unilaterale Carta per mediane 4.2 Carte di controllo per la variabilità del processo produttivo Carta S Carta S con regola del 3-sigma Carta R 4.3 Costruzione e uso delle carte x R e x S CAPITOLO 5. Carte di controllo per attributi 5.1 Carta di controllo np ecartap Carta np Carta np con limiti 3-sigma Carta np con p 0 non noto Carta p 5.2 Carte di controllo per le non conformità

3 iii c) Carta per il numero di non conformità per unità di prodotto (carta Carta c con i limiti 3-sigma Carta c con λ 0 non noto Carta per il numero di non conformità per unità fisica (carta u)

4 Capitolo 1 Termini per la qualità Il termine qualità è ampiamente utilizzato nel linguaggio corrente ed il suo significato è, almeno a grandi linee, noto a molti. La definizione più generale possibile del termine qualità è la seguente: qualità è l insieme delle caratteristiche di un entità (bene o servizio) che ne determinano la capacità di soddisfare le esigenze espresse ed implicite di chi la utilizza. Di solito si parla di qualità con riferimento a prodotti fisici o a servizi. La distinzione è rilevante in quanto non sempre strumenti adeguati per valutare la qualità di un prodotto possono essere adeguati per un servizio. Nel seguito tuttavia si presenteranno metodologie che con le dovute accortezze possono essere utili in entrambi i casi. Per questo motivo il termine prodotto verrà utilizzato anche come sinonimo di servizio salvo i casi segnalati. E importante prima di procedere parlare anche del processo produttivo. Infatti prodotti e servizi sono realizzati per mezzo di processi produttivi. Una definizione generale di processo produttivo è la seguente: un processo produttivo è un insieme di risorse e di attività tra loro interconnesse che trasformano degli elementi in ingresso (input) in elementi in uscita (output). Tra gli input conviene distinguere tra input controllabili ed input non controllabili da parte di chi governa il processo. 1.1 Aspetti generali Gli aspetti generali della qualità sono: 1. la qualità di progetto. I beni e servizi sono prodotti con vari gradi di qualità. Tali differenze sono intenzionali 2. la conformità alle normative. Questo aspetto fa riferimento all aderenza del prodotto alle specificazioni e tolleranze assegnategli in fase di progettazione. 1

5 2 CAPITOLO 1. TERMINI PER LA QUALITÀ Ogni prodotto possiede un certo numero di elementi misurabili, o comunque percepibili dall utilizzatore, che contribuiscono congiuntamente alla formazione della qualità del prodotto. Questi elementi vengono indicati con il nome di CARATTERISTICHE DI QUALITA. Le caratteristiche di qualità possono essere di diversi tipi, ad esempio: fisiche, sensoriali, comportamento nel tempo. In genere quando le caratteristiche di qualità sono misure espresse su una scala continua (peso, resistenza, lunghezza, durata) si parla di variabili. Quando invece si utilizzano dati discreti, per esempio dati di conteggio (numero di lampadine non funzionanti, ecc.) si parla di attributi. Le caratteristiche di qualità sono valutate in relazione alle specifiche ovvero le misure stabilite per alcune caratteristiche di qualità del prodotto/servizio. Il valore desiderato per una caratteristica di qualità è definito VALORE NOMI- NALE oppure VALORE TARGET. Oltre al valore nominale può essere indicato un intervallo di valori, tipicamente un intorno del valore nominale, tale che se il valore della caratteristica di qualità rientra in tale intervallo il prodotto viene ritenuto conforme. Il limite superiore di questo intervallo è definito limite di specifica superiore (USL, Upper Specification Limit), limite inferiore è definito limite di specifica inferiore (LSL, Lower Specification Limit). Talvolta per alcune caratteristiche di qualità ha senso fornire solamente specifiche unilaterali. 1.2 Variabilità La variabilità delle caratteristiche di qualità è un aspetto molto delicato per la qualità del prodotto. Le aziende infatti investono risorse per assicurarsi che i valori delle caratteristiche di qualità dei prodotti realizzati siano il più vicino possibile ai valori nominali. Tuttavia due o più unità di prodotto (o servizio) non sono mai uguali. Pertanto esiste sempre un livello di variabilità nelle caratteristiche di un prodotto e la qualità del prodotto dipende dall ammontare della variabilità. Nella Figura (1.1) sono visualizzate, come esempio, le distribuzioni di due caratteristiche di qualità. Si può notare il diverso livello di variabilità ed è intuitivo comprendere che una maggiore variabilità aumenta la probabilità di produrre un elemento che non rispetta le specifiche. Poiché la variabilità può essere descritta solamente in termini statistici, i metodi statistici hanno un ruolo centrale nelle attività legate al miglioramento della qualità. La variabilità può manifestarsi in diversi modi in una unità di prodotto tra unità di prodotto nel tempo Inoltre la variabilità è dovuta ad almeno quattro cause (4M):

6 1.2. VARIABILITÀ 3 Caratteristica di qualità USL valore nominale LSL Figura 1.1: Caratteristiche di qualità con diversa variabilità 1. Man 2. Machine 3. Methods 4. Materials La variabilità non è totalmente eliminabile quindi un certo grado di variabilità può essere ritenuto tollerabile, o fisiologico, per un dato processo produttivo. Questo tipo di variabilità viene indicata anche con il nome di variabilità naturale. Il controllo della qualità ha l obiettivo di mantenere la variabilità nel processo e nel prodotto ad un livello naturale. Il miglioramento della qualità mira ad una riduzione della variabilità nel processo e nel prodotto.

7 Capitolo 2 Richiami di probabilità In questo capitolo vengono richiamate le più comuni variabili aleatorie discrete e continue. Dovrebbero essere nozioni ampiamente note quindi si farà riferimento al capitolo 2 del libro di testo (Montgomery, 2000). Verranno richiamati solo alcuni aspetti. Distribuzioni discrete: ipergeometrica, binomiale, poisson 2.1 La distribuzione Binomiale La variabile X ha distribuzione binomiale con parametri n 0 e p (0 <p<1) X Bin(n, p) se µ n Pr {X = k} = k p k (1 p) n k k =0, 1, 2...n si ha E(X) =np, V (X) =np(1 p). Simbologia Bi(j; n, p) indica il la probabilità che una variabile casuale binomiale di parametri n, ep assuma il valore j µ n Bi(j; n, p) =Pr{X = j} = p j j (1 p) n j F B (k n, p) indica il valore della funzione di ripartizione di una varibile casuale binomiale di parametri n e p calcolato nel punto k F B (k n, p) =Pr{X k} = kx Bi(j; n, p) j=0 5

8 6 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITÀ 2.2 La distribuzione di Poisson La variabile X ha distribuzione di Poisson con parametro λ > 0 se X Po(λ) Pr {X = k} = e λ λ k k! k =0, 1, 2. E(X) =λ e V (H) =λ. Simbologia Po(j; λ) indica il la probabilità che una variabile casuale di Poisson di parametro λ assuma il valore j Po(j; λ) =Pr{X = j} = e λ λ j F P (k λ) indica il valore della funzione di ripartizione di una variabile casuale di Poisson di parametro λ calcolato nel punto k F P (k λ) =Pr{X k} = 2.3 La distribuzione normale j! kx Po(j; λ) Se X è una variabile aleatoria normale, allora la sua funzione di densità è definita come segue: j=0 f (x) = 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2 <x< µ è la media della distribuzione, σ 2 è la varianza. La simbologia che si utilizza per indicare tale variabile è la seguente X N µ, σ 2 La funzione di ripartizione della normale è definita come la probabilità che la variabile X assuma valori inferiori o uguali ad un certo valore a: Pr {X a} = F (a) = Z a 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2 dx Per il calcolo di questa probabilità è conveniente effettuare un cambio di variabile giungendo alla normale standardizzata: Z = X µ σ

9 2.4. LA DISTRIBUZIONE CHI QUADRATO 7 risulta che la variabile Z è ancora normale, ma con media 0 e con varianza 1, Z N (0, 1) Quindi per calcolare la probabilità Pr {X a} si può operare nel seguente modo: ½ X µ Pr {X a} =Pr a µ ¾ ½ =Pr Z a µ ¾ µ a µ = Φ σ σ σ σ dove Φ (.) è la funzione di ripartizione della normale standardizzata. SIMBOLOGIA Con z α/2 si usa indicare il punto percentile di una normale standardizzata N(0, 1) tale che Pr Z z α/2 ª = α/2 z α/2 è anche indicato come il punto percentile superiore al livello α/2 ottenuto dalla distribuzione normale standardizzata. Vedi appendice A2 Montgomery (2000) 2.4 La distribuzione chi quadrato Se X è una variabile chi quadrato con n gradi di libertà, allora la sua funzione di densità è definita come segue: 1 f (x) = 2 n/2 Γ n x (n/2) 1 e y2 /2 2 x>0 la media della distribuzione è E(X) =n elavarianzaè V (X) =2n La simbologia che si utilizza per indicare tale variabile è la seguente X χ 2 n SIMBOLOGIA Con χ 2 si usa indicare il punto percentile della variabile casuale chi quadrato con n gradi di libertà tale α,n n o Pr χ 2 n χ 2 = α α,n

10 8 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITÀ 2.5 Aspetti inferenziali I parametri di un processo produttivo sono generalmente non noti e possono variare nel tempo (per parametri di un processo produttivo di solito si intende la media e la varianza della caratteristica di qualità, la frazione di elementi difettosi ecc.). Se si aggiunge inoltre che la maggior parte delle informazioni sono disponibili solo su base campionaria, ci si rende conto che l inferenza statistica gioca un ruolo fondamentale. La situazione più comune è dover stimare i parametri del processo produttivo oppure prendere una decisione sul processo (controllo d ipotesi). Se si dispone di un campione di ampiezza n alcune delle principali sintesi campionarie che si possono calcolare sono x = 1 nx x i media del campione n i=1 P n s 2 i=1 = (x i x) 2 n 1 varianza del campione s = s Pn i=1 (x i x) 2 deviaz. std del camp. n 1 r = x max x min range del campione Nell universo dei campioni il valore di una sintesi calcolata su un campione può essere visto come una realizzazione di una variabile aleatoria campionaria. La variabili aleatorie campionarie relative alle sintesi sopra riportate sono: X = 1 nx X i media campionaria n i=1 P n S 2 i=1 Xi X 2 = n 1 varianza campionaria S = s Pn i=1 Xi X 2 deviaz. std campionaria n 1 R = x max x min range campionario

11 2.5. ASPETTI INFERENZIALI 9 f(x) f(x) Figura 2.1: Funzione di densita di una normale con parametri µ =10,eσ 2 = Distribuzioni campionarie Essendo funzioni delle osservazioni campionarie le variabili casuali sopra indicate sono delle statistiche. Per esempio, supponiamo che la caratteristica di qualità sia distribuita normalmente X N(µ, σ 2 ) (per esempio µ =10mm, eσ 2 =9mm vedi figura 2.1). Se x 1,x 2,..., x n èun campione casuale di ampiezza n estratto dalla popolazione, allora la statistica media campionaria X N(µ, σ 2 /n) nella Figura (2.2) sono riportate le distribuzioni di X, ex per n =5. Vedi capitolo 3 Montgomery (2000) Stima puntuale e stima intervallare Vedi capitolo 3 Montgomery (2000). Qui si richamano solo alcuni punti della stima intervallare. Una stima intervallare di un parametro è l intervallo tra due statistiche che include il valore vero del parametro con un assegnata probabilità.

12 10 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITÀ f(x) f(xmedio) Figura 2.2: X normale con µ =10,eσ 2 =9; X normale con µ =10,eσ 2 =1.8 Ragioniamo in questo modo. Consideriamo una variabile aleatoria X con media µ nota e varianza σ 2 nota. La variabile media campionaria tende a distribuirsi (teorema del limite centrale) come una normale X N(µ, σ 2 /n) di conseguenza la variabile standardizzata Z = X µ σ/ tende a distribuirsi come una normale con media 0 evarianza1 Z N(0, 1) Sfruttando le proprietà della normale standardizzata si può affermare che la probabilità che la variabile aleatoria Z assuma valori compresi tra z α/2 e z α/2 èparia1 α Pr z α/2 Z z α/2 ª =1 α Si può allora definire un intervallo tale che la probabilità dell avverarsi di un campione con media x contenuta nell intervallo stesso sia pari a 1 α ¾ σ σ Pr ½µ z α/2 n x µ + z α/2 n =1 α

13 2.5. ASPETTI INFERENZIALI 11 Questa è la soluzione del problema diretto : prevedere una proprietà statistica di un campione nota quella della popolazione. L induzione statistica invece riguarda il problema inverso : fare inferenza su una proprietà statistica della popolazione nota quella di un campione. Questo è proprio della stima intervallare di un parametro: partendo dalla constante osservata nel campione si vuole individuare un intervallo che contenga il parametro incognito con una preassegnata probabilità. Si supponga quindi che la media in popolazione µ sia incognita. Se si estrae un campione di ampiezza n la cui media è x 1,x 2,...x n x = 1 n nx x i i=1 l intervallo di confidenza al livello 100(1 α)% per µ èdatoda x z α/2 σ n µ x + z α/2 σ n Gli estremi dell intervallo sono variabili aleatorie infatti hdipendono dai dati campionari e 1 α è detto livello di confidenza. L intervallo x z α/2 n σ σ, x + z α/2 è da intendersi come un intervallo aleatorio che ha una probabilità pari a 1 α di contenere il parametro incognito µ. Quello che abbiamo appena visto è un intervallo di confidenza della media con varianza nota Intervallo di confidenza della varianza di una distribuzione normale Consideriamo la variabile casuale X N(µ, σ 2 ) con media µ evarianzaσ 2 non note. Consideriamo la varianza campionaria P n S 2 i=1 Xi X 2 = n 1 edefiniamolavariabile (n 1)S2 σ. Tale variabile è distribuita come un χ 2 con 2 n 1 gradi di libertà Se si osserva un campione e si calcola la varianza del campione P n s 2 i=1 = (x i x) 2 n 1 l intervallo di confidenza al livello 100(1 α)% perlavarianzaèdatoda (n 1) s 2 χ 2 α/2,n 1 σ 2 (n 1) s2 χ 2 1 α/2,n 1 n i

14 12 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITÀ Verifica d ipotesi Vedi capitolo 3 Montgomery (2000). Qui vediamo solo alcuni richiami utilizzando un esempio. Esempio Una macchina produce barre di acciaio a sezione circolare il cui diametro ottimale dovrebbe essere 10 millimetri. Le barre effettivamente prodotte, che si suppongono tra loro indipendenti, hanno un diametro aleatorio con distribuzione normale di media µ 0 =10mm escartoσ =3mm. Come si può verificare il corretto funzionamento della macchina basandosi su un campione di ampiezza finita? Un possibile strumento è il controllo o verifica d ipotesi. Un ipotesi statistica è una proposizione riguardante i valori di uno o più parametri di una distribuzione. Nel controllo statistico di qualità le ipotesi formulate hanno un preciso significato. Nel nostro caso: H 0 : µ =10 H 1 : µ 6= 10 L ipotesi H 0 : µ =10è detta ipotesi nulla: la macchina funziona correttamente L ipotesi H 1 : µ 6= 10è detta ipotesi alternativa: la macchina non funziona correttamente Per procedere al controllo: a) si estrae un campione casuale di ampiezza n dalla popolazione b) si rilevano le n misure della caratteristica di qualità di interesse c) si calcola un opportuna statistica test. Sulla base del valore che tale statistica assume si deciderà se rifiutare o non rifiutare l ipotesi H 0. Per stabilire il criterio di decisione, ovvero la regione di rifiuto di H 0,siusa ragionare sulla probabilità di commettere un errore. Glierroripossonoesseredi2tipi: a) ERRORE DEL PRIMO TIPO, ovvero rifiutare l ipotesi H 0, quando H 0 èvera b) ERRORE DEL SECONDO TIPO, ovvero non rifiutare l ipotesi H 0, quando H 0 èfalsa Le probabilità associate ai due errori sono: α =Pr(errore del primo tipo) β =Pr(errore del secondo tipo)

15 2.5. ASPETTI INFERENZIALI 13 Usualmente si usa specificare un valore della probabilità dell errore del primo tipo α (controllo diretto). Il valore del rischio β lo si controlla indirettamente essendo funzione dell ampiezza del campione. Nel nostro caso siamo in una situazione di ipotesi su una media µ con varianza nota σ 2 H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ 6= µ 0 (µ 0 =10) Definisco la variabile aleatoria (statistica test) dove X è la media campionaria: Z 0 = X µ 0 σ/ X = 1 n Si rifiuta l ipotesi H 0 se z c = x µ 0 σ/ >z α/2 dove z α/2 è il valore di ascissa di una N(0, 1) tale che Pr Z z α/2 = α/2. Spiegazione (intuitiva): sotto l ipotesi H 0 si ha che Z 0 N (0, 1) (Figura 2.3) Se per esempio si fissa un valore di α =0.002 la regione di non rifiuto per H 0 è Quindi non rifiuto H 0 se: nx i=1 X i z α 2 = 3.09 z α 2 = 3.09 z α 2 z c z α 2 Torniamo all esempio Supponiamo di estrarre un campione di ampiezza n =5e che le misure dei 5 diametri siano risultate: La media del campione risulta 11, 9, 12, 11, 10 x = 1 5 ( )=10, 6

16 14 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITÀ f(z) f(z) Figura 2.3: N(0, 1) ed il valore della statistica test 10, 6 10 z c = 3/ =0, In questo caso non si rifiuta H 0 in quanto z c <zα 2. Consideriamo ora la probabilità β la probabilità di non rifiutare H 0 quando èfalsa(e verah 1 ). (significato...) Supponiamo quindi sia vera l ipotesi H 1 : µ 6= µ 0. In particolare supponiamo che la media della distribuzione (ovvero la media dei diametri delle barre prodotte) sia pari a allora si ha che µ 1 = µ 0 + δ Z 0 N vedi Figura (2.4). E possibile calcolare la probabilità β: ª H1 β = Pr z α Z 2 0 z α 2 ½µ = Pr z α 2 δ n σ µ δ n σ, 1 Z 0 δ σ µ z α 2 δ ¾ n σ H 1

17 2.5. ASPETTI INFERENZIALI 15 f(xmedio) f(shift) Figura 2.4: ora la variabile Z 0 δ σ è una normale standardizzata (siamo sotto H 1 ) quindi la probabilità β si può calcolare come µ β = Φ z α δ µ n Φ z α 2 2 σ δ n σ Nel nostro caso supponendo δ =1 µ β = Φ z α δ n 2 σ Ã! = Φ µ Φ Φ z α δ n = 2 σ Ã! = Φ (2.345) Φ ( 3.835) = La probabilità β è quindi una funzione di (Figura 2.5): n ampiezza del campione δ ampiezza dello shift (variazione)... α probalilità dell errore di primo tipo =

18 0,8 1,6 2,4 3,2 4,8 5,6 6,4 7,2 16 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITÀ 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 BETA(5) BETA(10) delta Figura 2.5: probabilità β in funzione di δ epern =5e n =10

19 Capitolo 3 Il Controllo Statistico di Processo L obiettivo è produrre beni e/o servizi che soddisfino le esigenze dei consumatori. Un processo produttivo dovrebbe quindi essere stabile ed operare con una variabilità ridotta intorno al valore obiettivo (target) specificato per la caratteristica di qualità di interesse. Il controllo statistico di processo, SPC (Statistical Process Control), è costituito da un insieme di strumenti utili per garantire la stabilità e ridurre la variabilità del processo. Tra gli strumenti del SPC la carta di controllo è lo strumento tecnicamente più importante. Le carte di controllo sono state sviluppate da W. A. Shewart (Bell Telephone Laboratories) nel 1920 ed in letteratura sono spesso indicate conilnomedicarteshewart. 3.1 Variabilità nel processo produttivo Ogni processo produttivo è caratterizzato da una certa variabilità naturale, questa variabilità è presente anche se il processo è ben progettato e controllato ed è dovuta all azione congiunta di molte piccole cause e generalmente non è addebitabile a singoli fattori controllabili: usualmente in queste condizioni tale variabilità è piccola. Quando un processo produttivo è caratterizzato solo da una variabilità naturale, si può affermare che il processo opera soggetto ad un sistema di cause accidentali o comuni. Nella terminologia del SPC, un processo che opera soggetto solo ad un sistema di cause accidentali è in uno STATO DI CONTROLLO STATISTICO. Altre fonti di variabilità, dovute a fattori ben individuabili e controllabili, possono intervenire nel processo produttivo alterando ed aumentando la variabilità naturale fino a valori non accettabili per gli standard di qualità. In questo caso si può affermare che il processo opera soggetto ad un insieme di cause 17

20 18 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO B A USL valore nominale LSL Figura 3.1: shift nella media (A); aumento della variabilità (B) sistematiche o speciali. Un processo che opera in presenza di cause sistematiche è in uno STATO DI FUORI CONTROLLO STATISTICO. Quando un processo produttivo è ben progettato e tarato opera in uno stato di controllo statistico. Cause sistematiche possono intervenire nel processo provocando: A) un allontanamento del valore medio della caratteristica di qualità dal valore target; B) un aumento della variabilità della caratteristica di qualità; C) sia variazioni nella media sia un aumento della variabilità (Figura 3.1). Il risultato è che aumenta la produzione di elementi che non soddisfano le specifiche richieste, con un conseguente peggioramento della qualità risultante del prodotto ed un danno economico per l azienda. Questo provoca uno spostamento (SHIFT) del processo verso uno stato di fuori controllo statistico. L obiettivo principale del controllo statistico di processo è individuare, nel minor tempo possibile, lo shift del processo in modo che possano essere prese azioni correttive. Le carte di controllo consentono di sorvegliare il processo in corso di produzione (on-line) segnalando eventuali problemi e consentendo interventi correttivi. 3.2 Aspetti generali delle carte di controllo Una carta di controllo è una visualizzazione grafica di una sequenza di test statistici per verificare lo stato di controllo del processo. Indicando con X la caratteristica di qualità da controllare, dal processo produttivo si estraggono, ad intervalli regolari di tempo, dei campioni di numerosità n, (x 1, x 2,..., x n )=X n, si forma la statistica campionaria g(x n ) (media cam-

21 3.3. COSTRUZIONE DI UNA CARTA DI CONTROLLO 19 pionaria, mediana campionaria, range, deviazione standard ecc.) e la si utilizza per verificare il sistema d ipotesi: H 0 : Il processo è in controllo H 1 : Il processo è fuori controllo la carta di controllo è la visualizzazione grafica dei risultati campionari rispetto al tempo. Nella carta è presente una linea centrale, CL (central line), che rappresenta il valore medio caratteristica di qualità in genere corrispondente al valore desiderato nell ipotesi di controllo del processo. Altre due linee orizzontali identificano i limiti di controllo: UCL (Upper Control Limit) il limite di controllo superiore e LCL (Lower control limit) il limite di controllo inferiore. UCL e LCL vengono determinati prima di iniziare l ispezione campionaria, in modo tale che quando il processo è in controllo la probabilità che i valori della statistica test cadano all interno di tali limiti sia elevata. Quando un valore della statistica test cade al di fuori dei limiti di controllo si ha un segnale di allarme o segnale di fuori controllo: l evidenza empirica porta ad accettare H 1. In questi casi è necessario fare ulteriori controlli sul processo per verificare se sono intervenute cause speciali e se necessario intraprendere azioni correttive. In realtà, come si vedrà in seguito, le regole di decisione sono più complesse. Infatti non si esamina solo la posizione del singolo punto campionario rispetto ai limiti di controllo, ma si fa anche un esame della sequenza di punti per verificare l eventuale presenza di andamenti sistematici che possono essere dovuti a situazioni di fuori controllo. In alcune situazioni possono essere presenti anche i limiti di guardia: UWL (Upper Warning Limit) il limite di guardia superiore; LWL (Lower Warning Limit) il limite di guardia inferiore. Sul loro significato ed utilizzo si rimanda ai paragrafi seguenti. 3.3 Costruzione di una carta di controllo Il modello generale per una carta di controllo è il seguente. Sia Y = g(x n ) la statistica campionaria relativa ad una caratteristica di qualità che si desidera controllare con E(Y )=µ Y e V (Y )=σ 2 Y. Si supponga di voler controllare il seguente sistema d ipotesi: H 0 : µ = µ Y il processo è in controllo H 1 : µ 6= µ Y il processo è fuori controllo Allora UCL = µ Y + k 1 σ Y

22 20 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO Esempio di carta di controllo UCL UWL CL LWL statistica test LCL istanti campionari Figura 3.2: Esempio di carta di controllo CL = µ Y LCL = µ Y k 2 σ Y Ifattorik 1 e k 2 sono fissati in modo che sotto H 0 Pr {Y / (LCL, UCL)} = α Si noti che se la distribuzione di Y èsimmetricaepr {Y UCL} =Pr{Y LCL} = α 2 allora k 1 = k 2 = k α/2. La funzione test è basata sulla statistica si accetta H 0 se si accetta H 1 quando oppure Y = g(x n ) LCL = µ Y k 2 σ Y <Y <µ Y + k 1 σ Y = UCL Y UCL Y LCL La probabilità α corrisponde alla probabilità dell errore di primo tipo nella teoria di verifica delle ipotesi. Nel controllo statistico di processo α corrisponde

23 3.3. COSTRUZIONE DI UNA CARTA DI CONTROLLO 21 alla probabilità di segnalare un fuori controllo quando il processo è in controllo (quando H 0 è vera). Comunemente α viene indicata con il termine probabilità di un falso allarme. Un falso allarme porta ad una interruzione del processo, o comunque ad un insieme di controlli inutili ed il risultato può essere un danno economico per l azienda. La probabilità di un mancato allarme è invece data da: Pr {Y (LCL, UCL H 1 } = β La probabilità β corrisponde alla probabilità di commettere l errore di secondo tipo nella verifica d ipotesi. Un mancato allarme porta ad un aumento della difettosità nella produzione in quanto non si rileva che il processo ha subito uno shift: anche in questo caso si ha un danno economico per l azienda in quanto si ha un aumento della produzione non conforme. Un piccolo esempio può aiutare a chiarire alcuni dei concetti espressi sopra. ESEMPIO 3.1 Consideriamo un processo produttivo che produce barre di acciaio a sezione circolare. Una caratteristica di qualità critica per questo tipo di processo produttivo è il diametro, X, delle barre che assumiamo distribuito normalmente: X N µ, σ 2. Si supponga che il processo sia sotto controllo se il diametro delle barre prodotte è pari a 10 millimetri e che la deviazione standard del diametro sia pari a σ = σ 0 =0.07 mm. Sostanzialmente si vuole controllare il livellomediodellacaratteristicadiqualitàovvero H 0 : µ = µ 0 il processo è sotto controllo H 1 : µ 6= µ 0 il processo è fuori controllo Per controllare il processo ogni ora un campione casuale di n =5unità viene analizzato. Ogni ora quindi si estraggono in modo casuale dal processo produttivo 5 barre, si rilevano i 5 diametri e si calcola la media del campione La statistica media campionaria x = 1 n X = 1 n nx x i i=1 nx X i i=1 sotto l ipotesi H 0 si distribuisce normalmente µ X N µ 0, σ2 0 n

24 22 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO quindi fissata una probabilità α si può scrivere ½ ¾ σ 0 σ Pr µ 0 z α/2 0 < X<µ n 0 + z α/2 µ n t = µ 0 =1 α Seguecheilimitidicontrollorisultano UCL = µ 0 + z α/2 σ 0 LCL = µ 0 z α/2 σ 0 La linea centrale risulta ovviamente pari a CL = µ 0 =10 eseèfissata una probabilità di un falso allarme pari a α =0.002 si ha k α/2 = z α/2 =3.09, quindi i limiti risultano UCL = µ 0 + z α/2 σ 0 = LCL = µ 0 z α/2 σ 0 =9.903 Supponiamo ora che sia vera l ipotesi H 1 : µ 6= µ 0, in particolare µ = Questo significa che sul parametro media del processo produttivo è avvenuto uno shift. Definendo con δ = µ µ 0 σ 0 lo shift standardizzato, quindi nel caso in esame si ha δ = = Ora è interessante calcolare la probabilità di un mancato allarme ovvero β. Tale probabilità, come visto prima è data da β = Pr{Y (LCL, UCL H 1 } = ½ ¾ σ 0 = Pr X µ 0 + z α/2 µ n t = µ ½ ¾ σ 0 Pr X µ 0 z α/2 µ n t = µ Sotto l ipotesi H 1 si ha che X N µ µ, σ2 0 n

25 3.3. COSTRUZIONE DI UNA CARTA DI CONTROLLO 23 dove µ = µ 0 + δσ 0. Standardizzando la variabile possiamo scrivere che β = Φ z α 2 δ Φ z α 2 δ Nelnostrocasoessendoδ = ³ β = Φ ³ Φ = = Φ (5.805) Φ ( 0.375) ' = La probabilità β è una funzione di n ampiezza del campione, di δ ampiezza dello shift (variazione del parametro) e di α probalilità dell errore di primo tipo Limiti di controllo Come posizionare i limiti di controllo? Occorre ragionare sulle probabilità di commettere degli errori: α probabilità di un falso allarme; β probabilità di un mancato allarme. I limiti di controllo, fissata un ampiezza campionaria n, dipendono da α: se α diminuisce i limiti di controllo diventano più ampi, conseguentemente però β aumenta; se si aumenta α ilimitidicontrollodiventanopiùstrettieconseguentemente β diminuisce. Si comprende quindi che non si riescono a rendere minimi contemporaneamente sia α che β. Nella prassi si possono seguire due strade: 1. se n è fisso, si fissa α e si determina β conseguentemente 2. se n può variare, si fissano α e β e si determina conseguentemente n. Per determinare i limiti di controllo nelle carte di tipo Shewart esistono delle convenzioni o linee guida. In Europa, per i limiti di controllo si usa fissare un valore per α (probabilità di un falso allarme) oppure ragionare su alcune funzioni legate ad α come la funzione ARL di cui parleremo in seguito. Per esempio, stabilire che la probabilità di un falso allarme è pari α =0.002 nel caso di popolazione normale corrisponde ad un k α/2 =3.09. Negli USA, indipendentemente dalla distribuzione della caratteristica oggetto di controllo, si è soliti individuare i limiti di controllo come multiplo della deviazione standard della statistica test. Il multiplo solitamente scelto è k =3 (regola del 3-sigma). In questo modo nel caso di popolazione normale equivale a fissare α = La scelta dei limiti 3-sigma dà in genere buoni risultati nelle applicazioni e nei casi in cui la vera distribuzione della caratteristica di qualità non è nota. LIMITI DI GUARDIA O DI SORVEGLIANZA Oltre ai limiti di controllo possono essere presenti dei limiti più interni chiamati limiti di guardia o sorveglianza. Tali limiti chiamati UWL e LWL (Upper

26 24 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO Warning Limit e Lower Warning Limit). Vengono determinati specificando un valore di probabilità α 2 > α ad esempio α 2 =0.05 che corrisponde ad un valore k α2 =1.96. Negli USA si usa per i limiti di guardia la regola 2 sigma: k =2 Un valore della statistica campionaria interno ai limiti di controllo, ma esterno ai limiti di guardia è un evento che pur non essendo un segnale di fuori controllo ha una probabilità non elevata di verificarsi, quindi sono opportuni ulteriori accertamenti sul processo produttivo Numerosità campionaria e frequenza di campionamento NUMEROSITA CAMPIONARIA In generale tanto più è grande il campione tanto più è facile individuare piccoli spostamenti del processo. Questo lo si può verificare se si calcolano le misure delle prestazioni di una carta di controllo: la funzione di potenza o, il suo complemento a uno, la curva operativa caratteristica. La probabilità di rilevare uno shift, vista come funzione di n e dello shift, è data dalla Funzione di potenza (G) G =Pr{Y / (UCL, LCL) H 1 } La funzione Curva Operativa caratteristica(co) di una carta di controllo esprime invece la probabilità di non rilevare uno shift CO =Pr{Y (UCL, LCL) H 1 } sempre come funzione dell ampiezza del campione n e dello shift. Come si può notare dalle Figure (3.3) e (3.4) la funzione di potenza è una funzione crescente sia di n sia dell ampiezza in valore assoluto dello shift. La curva operativa caratteristica ha ovviamente un comportamento complementare. Si può quindi determinare n in funzione dello shift del processo che si vuole individuare con una certa probabilità. Nella pratica n, anche per ragioni di costo, è contenuto (n 15). FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO Un elevata frequenza di campionamento comporta un minor tempo per individuare eventuali anomalie nel processo. Anche in questo caso è importante ricordare che un elevata frequenza di campionamento comporta un aumento nei costi d ispezione. Nella pratica si tendono a privilegiare, salvo indicazioni contrarie, piccoli campioni con una frequenza di campionamento elevata. La funzione ARL Un importante misura sulla quale basarsi per prendere decisioni sull ampiezza campionaria e frequenza di campionamento è costituita dalla funzione ARL (Average Run Lenght-lunghezza media delle sequenze).

27 3.3. COSTRUZIONE DI UNA CARTA DI CONTROLLO Funzione di potenza Media del processo n=5 n=10 n=15 Figura 3.3: Funzione di potenza per la carta x 1.2 Curva operativa n=5 n=10 n=15 0 Media del processo Figura 3.4: Curva operativa caratteristica per la carta x

28 26 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO Si definisca con RL la variabile casuale discreta che descrive il numero di campioni che è necessario osservare per rilevare un segnale di fuori controllo: RL = numero di campioni da estrarre per avere un segnale di fuori controllo La funzione ARL è il valore atteso della variabile RL: ARL = E(RL) ovvero il numero medio di campioni da estrarre per avere un segnale di fuori controllo. Per campioni rilevati ad intervalli di tempo regolari ARL è una misura del tempo medio di attesa per un segnale di fuori controllo. L ARL è una funzione dello stato del processo: se il processo è in controllo l ARL dovrebbe essere alto; se il processo è fuori controllo l ARL dovrebbe essere piccolo. Si supponga di essere in regime di H 0. La probabilità di un fuori controllo è α, segue che RL ha una distribuzione geometrica con parametro p = α: elafunzionearl(h 0 ) è Pr {RL = m} = p(1 p) m 1 ARL(H 0 )=E(RL) = X k(1 p) k 1 p = 1 p = 1 α k=1 Per esempio con α =0.002 si ha ARL(H 0 ) = 500. Questo vuole dire che se il campionamento avviene ogni ora ci si attende in media un falso allarme ogni 500 ore. Si supponga di essere in regime di H 1. La probabilità di avere un segnale di fuori controllo è 1 β, segue che RL ha una distribuzione geometrica con parametro p =1 β: elafunzionearl(h 1 ) è ARL(H 1 )=E(RL) = Pr {RL = m} = p(1 p) m 1 X k=1 k(1 p) k 1 p = 1 p = 1 1 β Regole di decisione e analisi degli andamenti tipici Una carta di controllo indica una situazione di fuori controllo quando: a) uno o più punti superano i limiti di controllo; b) si è in presenza di un comportamento non casuale della sequenza dei valori della satistica test.

29 3.3. COSTRUZIONE DI UNA CARTA DI CONTROLLO 27 E importante non osservare solamente il singolo istante campionario. Consideriamo m campioni (prove) indipendenti in cui α è la probabilità di un falso allarme. Sia Z la variabile aleatoria che enumera i punti fuori controllo (sotto H 0 )sum campioni. La probabilità di avere esattamente Z = r èdatada µ m Pr (Z = r) = α r r (1 α) m r = Bin(m, α) Il valore atteso della variabile Z èdatoda E(Z) =mα che rappresenta il numero di punti fuori controllo su m campioni quando il processo è sotto l ipotesi H 0. Consideriamo ora la probabilità di avere almeno un falso allarme su m campioni Pr (Z 1) = 1 Pr (Z =0)=1 (1 α) m questa probabilità è una funzione crescente di m. per n si ha Pr (Z 1) 1 non è trascurabile per m>20 Ad esempio α = (regola del 3-sigma) e m =20,sihaPr (Z 1) = con Pr (Z =1)=0.051 e Pr (Z =2)= Quindi: conununpunto fuori controllo è ancora elevata la probabilità di giungere a conclusione errate (accettare H 1 quando è vera H 0 ); con due o più punti fuori controllo invece quasi certamente il processo è effettivamente fuori controllo. Un Run è una sequenza di osservazioni dello stesso tipo: Run up sequenza crescente; Run down sequenza decrescente. Si possono inoltre osservare sequenze di punti tutti sopra CL otuttisottocl. Ognisequenzapuòessere probabilizzata e una sequenza o Run di lunghezza 8 ha una probabilità molto bassa di verificarsi. Pertanto la presenza di tale Run è indicativo di una situazione di fuori controllo, anche se tutti i punti cadono entro i limiti di controllo. Per individuare comportamenti non casuali nella carte Shewart esistono delle regole di decisione (Run rules) suggerite nel 1956 dalla Western Electric. Alcune diqueste regole sono riportate di seguito, mentre per una trattazione più articolata si rimanda a Montgomery (2000). Il processo è fuori controllo se: 1. uno o più punti sono fuori dai limiti di controllo 2. 2 punti su 3 consecutivi sono fuori dai limiti di guardia 3. 8 punti consecutivi tutti al di sopra o sotto CL

30 28 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO VEDI MONTGOMERY (2009) p.131 In generale un comportamento visivamente non casuale dei punti Commento sulle regole di decisione Bisogna fare attenzione ad esercitare più di un criterio di decisione perchè aumenta la probabilità di falsi allarmi. Consideriamo k criteri di decisione e sia α i la probabilità di commettere l errore di primo tipo del criteri i esimo (i =1, 2,...k). Segue che la probablità di un falso allarme basata su k test indipendenti ky α =1 (1 α 1 ) i=1 Quindi α > α i con α checrescealcresceredik. In conclusione se le Run Rules aumentano la sensibilità della carta di controllo a rilevare lo stato di fuori controllo, aumentano anche la probabilità di falsi allarmi. 3.4 Stima dei parametri del processo da un prerun Nella pratica, l ipotesi di ritenere noti i parametri del processo produttivo, che qui indichiamo in modo generico con µ e σ, non è quasi mai soddisfatta. Segue che è necessario stimarli sulla base di un certo numero m (m =20 25) di campioni preliminari opportunamente estratti in un periodo in cui il processo viene ritenuto sotto controllo. Tale insieme di campioni viene indicato con il termine prerun. Indicando con x 1, x 2,..., x m le medie di ciascun campione uno stimatore della media incognita del processo µ èlamediadeglim campioni: bµ = x = x 1 + x x m m Se anche la variabilità del processo σ non è nota, allora è necessaria stimarla. I due stimatori più comuni di σ utilizzano i range o le deviazioni standard degli m campioni. Metodo basato sui range In ogni campione di ampiezza n è possibile calcolare il range del campione, così R 1,R 2,..., R m

31 3.4. STIMA DEI PARAMETRI DEL PROCESSO DA UN PRERUN 29 sono i range degli m campioni che costituiscono il prerun. Il range medio R = R 1 + R R m m èunostimatoredelrangedelprocesso (non è uno stimatore di σ). Lo stimatore per σ 0 si ottiene considerando la variabile W = R/σ detta range relativo. La variabile W ha una distribuzione nota che dipende dall ampiezza del campione n, ed il suo valore atteso è E(W )=d 2 dove d 2 è un fattore tabulato in funzione di n (Appendice A6 Montgomery (2000)). Segue che se R è il range medio degli m campioni preliminari uno stimatore corretto di σ èdatoda bσ = R d 2 Inoltre se la caratteristica di qualità è distribuita normalmente X N(µ, σ 2 ), allora la deviazione standard di W èparia σ W = d 3 dove d 3 è un fattore tabulato in funzione di n (Appendice A6 Montgomery (2000)). Segue che essendo R = W σ lo scarto quadratico medio di R risulta quindi σ R = d 3 σ ed essendo σ non nota si può stimare σ R con bσ R = d 3 R d 2 Metodo basato sulle deviazioni standard In ogni campione di ampiezza n è possibile calcolare la deviazione standard del campione, così s 1,s 2,..., s m sono le deviazioni standard dei m campioni che costituiscono il prerun. Si può quindi calcolare la deviazione standard media S = s 1 + s s m m

32 30 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO La statistica S ha un valore atteso pari a E(S) =c 4 σ e una deviazione standard pari a q σ S = σ 1 c 2 4 Dove il termine c 4 è tabulato in funzione di n (Appendice A6 Montgomery, (2000)). Segue che uno stimatore di σ èdatoda bσ = S c 4 SCHEMA DELLE CARTE DI CONTROLLO CHE VEDREMO CARTE DI CONTROLLO (Shewart) VARIABILI ATTRIBUTI controllo X media np numero elementi non conformi locazione X e mediana p frazione elementi non conformi c numero di difetti controllo R range u numero di difetti per unità fisica variabilità S deviaz.stand.

33 Capitolo 4 Carte di controllo per variabili La caratteristica di qualità di interesse è descritta da una variabile aleatoria continua X e si assume che sia distribuita normalmente (test di normalità) X N(µ t, σ 2 t ) Se il processo è in stato di controllo allora µ t = µ 0 e σ t = σ 0. Il controllo del processo produttivo serve per controllare che nel tempo µ t e σ t si mantengano in accordo con i valori target o nominali µ 0 e σ 0. Il valori target possono essere valori nominali µ N e σ N specificati da una legge, uno standard o dal progetto del prodotto valori empirici µ E e σ E ticavati dall esperienza passata del processo stime bµ 0 e bσ 0 ricavate da un apposito insieme di dati preliminari (prerun) relativi al processo non disturbato 4.1 Carte di controllo per il livello del processo Quando interessa rilevare shift nella media µ t del processo in entrambe le direzioni si costruisce una carta di controllo bidirezionale. Il sistema d ipotesi che si vuole controllare è il seguente H 0 : µ t = µ 0 H 1 : µ t 6= µ 0 La posizione di CL (la linea centrale) dipende dall informazione disponibile su µ 0,ovvero: CL = µ 0 31

34 32 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI se µ 0 è un valore nominale noto. I limiti di controllo UCL e LCL sono determinati in modo che nell ipotesi H 0 la probabilità di un falso allarme sia α: Pr{Y / (LCL, UCL) H 0 } = α Se presenti, per i limiti di guardia UWL e LWL si segue lo stesso ragionamento con riferimento ad un α 2 specificato (α < α 2 ) Pr{Y / (LW L, UW L) H 0 } = α Carta x bilaterale (parametri noti) Questa carta di controllo utilizza come statistica test la media campionaria X = 1 n Per controllare il processo un campione di ampiezza n>1 elementi viene estratto casualmente dal processo produttivo ad intervalli di tempo regolari si osservano gli n valori della caratteristica di qualità di interesse e si calcola la media del campione x = 1 nx x n Si supponga che la caratteristica di qualità X si distribuisca normalmente, X (µ t, σ 2 0 ), quindi segue che nx i=1 i=1 X i X N(µ t, σ2 0 n ) Si può quindi ricavare la probabilità che la statistica test assuma valori in un intorno di µ 0 quando è vera l ipotesi H 0 : ½ ¾ σ 0 σ Pr µ 0 z α/2 0 X µ n 0 + z α/2 µ n t = µ 0 =1 α dove z α/2 è il punto percentile di una normale standardizzata Z N(0, 1) tale che Pr Z z α/2 = α/2. Pertanto se µ 0 e σ 0 sononoti,siha CL = µ 0 e i limiti di controllo ed i limiti di guardia diventano: UCL = CL + z α/2 σ 0 = µ 0 + z α/2 σ 0

35 4.1. CARTE DI CONTROLLO PER IL LIVELLO DEL PROCESSO 33 LCL = CL z α/2 σ 0 = µ 0 z α/2 σ 0 UWL = CL + z α 2 /2 σ 0 = µ 0 + z α 2 /2 σ 0 LW L = CL z α 2 /2 σ 0 = µ 0 z α 2 /2 σ 0 Se invece se µ 0 e σ 0 non sono noti, allora vengono sostituiti da loro stime corrette e le asserzioni di probabilità in questo caso sono solo approssimate. Funzione di potenza e curva operativa della carta x La capacità di una carta Shewart nell individuare uno shift nel livello del processo è fornita dalla funzione di potenza o dal suo complemento a 1, lacurva operativa caratteristica (OC). La funzione di potenza rappresenta la probabilità di avere un segnale di fuori controllo, dato il livello del processo al tempo t. Nel nostro caso: con CL = µ 0 e σ 0 noti e fissi. G(µ t )=Pr X UCL µ t ª +Pr X LCL µt ª Sviluppando i calcoli e ricordando che X N(µ t, σ2 0 n ) ½ G(µ t ) = Pr X µ 0 + z ¾ ½ α/2 σ 0 µ n t +Pr X µ 0 z ¾ α/2 σ 0 µ n t = Ã µ0 + z! Ã α/2 σ 0 µ t µ0 z! α/2 σ 0 µ t = 1 Φ n + Φ n σ 0 = Φ Ã µ 0 + z! Ã α/2 σ 0 µ t µ0 z! α/2 σ 0 µ t + Φ n σ 0 σ 0 σ 0 = dove Φ (.) indica la funzione di ripartizione della N(0, 1). standardizzato con Indicando lo shift si ottiene δ t = µ t µ 0 σ 0 G(δ t )=Φ z α/2 + δ t + Φ zα/2 δ t La funzione di potenza è una funzione crescente del valore assoluto dello shift standardizzato: G(δ t =0)=α eper δ t,sihacheg(δ t ) 1.

36 34 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI Example 1 Un processo produttivo produce pistoni per motori, il diametro ottimale dei pistoni dovrebbe essere 74 millimetri.supponendo nota la variabilità del processo produttivo, σ 0 =0.01, costruire una carta di controllo per il livello medio del processo basandosi su campioni di ampiezza n =5. a) Calcolare i limiti di controllo in modo tale che la probabilità di un falso allarme sia α = Risposta a) CL = µ 0 =74 UCL = CL + C c σ 0 = µ 0 + z α/2 σ 0 = = LCL = CL C c σ 0 = µ 0 z α/2 σ 0 = = b) Calcolare i limiti di guardia con α 2 =0.05. Risposta b) UWL = CL + C W σ 0 = µ 0 + z α 2 /2 σ 0 = = LW L = CL C W σ 0 = µ 0 z α 2 /2 σ 0 = = c) Calcolare la probabilità di rilevare che è avvenuto uno shift nella media del processo, più precisamente µ t = Risposta c) Si tratta di calcolare il valore della funzione di potenza quando µ t = Calcolo il valore dello shift standardizzato quindi δ t = µ t µ 0 σ = = 2 ³ G(δ t = 2) = Φ ³ 5 + Φ = = Φ ( 7.562) + Φ (1.382) ' Nella figura (4.1) è riportato il grafico della funzione di potenza della carta di controllo.d) Calcolare il valore dell ARL quando µ t = Risposta d) Il valore dell ARL si ricava da ARL(δ t )= 1 G(δ t ) = =1.092 Nella figura (4.2) è riportato il grafico della funzione di potenza della carta di controllo.e) Sisuppongacheivaloridellastatisticatestsianoquelliriportatiin Figura (4.3). Cosa si può affermare sullo stato del processo produttivo?

37 4.1. CARTE DI CONTROLLO PER IL LIVELLO DEL PROCESSO 35 Funzione di potenza Figura 4.1: Grafico della funzione di potenza della carta x bilaterale Funzione ARL Figura 4.2: Grafico della funzione ARL della carta x Carta per la media UCL UWL CL LWL LCL istanti campionari Figura 4.3: Carta di controllo dell esempio 1

38 36 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI Example 2 Un azienda produce fibre di materiale biocompatibile per uso chirurgico. La caratteristica di qualità rilevante è il DIAMETRO della fibra. Il diametro ottimale delle fibre è (millimetri). Supponendonotalavariabilità del processo produttivo, σ 0 = (millimetri): a) costruire una carta di controllo per il livello medio del processo basandosi su campioni di ampiezza n =5,estrattiogni4 ore dal processo produttivo, ed in modo tale che in media si verifichi un falso allarme ogni 100 istanti campionari; b) determinare il tempo che mediamente si deve attendere per rilevare che in realtà le fibre prodotte hanno un diametro di (millimetri). Risposta a) Si controlla il livello del processo produttivo quindi si può costruire una carta x. Un falso allarme mediamente ogni 100 istanti campionari significa ARL(H 0 )=100 e siccome ARL(H 0 )= 1 α segue che La linea centrale della carta è quindi I limiti di controllo risultano quindi α =0.01 CL = µ 0 =6 UCL = µ 0 + z α/2 σ 0 = = = LCL = µ 0 z α/2 σ 0 = = = Risposta b). Supponiamo ora che il processo sia fuori controllo µ t = Per rispondere alla domanda è necessario di calcolare il valore dell ARL(H 1 ) (quando µ t =6.05). Per cui sapendo che ARL(δ t )= 1 G(δ t ) dobbiamo calcolare il valore della funzione di potenza. Calcolo il valore dello shift standardizzato δ t = µ t µ 0 σ = =0.555

39 4.1. CARTE DI CONTROLLO PER IL LIVELLO DEL PROCESSO UCL CL LCL Figura 4.4: Carta di controllo x per i diametri delle fibre quindi G(δ t = 0.555) = ³ = Φ ³ +Φ = Φ ( 1.333) + Φ ( 3.818) = = ' Segue che il valore dell ARL quando µ t =6.05 vale ARL(δ t )= 1 G(δ t ) = = Interpretazione:...c) Supponiamo ora che nei primi 3 campioni si siano osservati i seguenti valori campione x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x i elacartadicontrolloèvisualizzatanellafigura(4.4) sullo stato del processo? cosasipuòaffermare Exercise 3 Un azienda produce una bibita frizzante. La caratteristica di qualità che risulta importante per processo produttivo è il contenuto di anidride carbonica della bevanda. Il contenuto ideale di anidride carbonica della bevanda è 6 gr/litro. Si suppone che la caratteristica si distribuisca normalmente con media appunto pari a µ 0 =6gr/litro e scarto quadratico medio σ =0.3. Il responsabile della produzione chiede di costruire una carta di controllo con le seguenti

40 38 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI caratteristiche: 1) dal processo produttivo si estrarranno campioni indipendenti di ampiezza 5 (per esempio lattine o bottiglie) ad intervalli di 1 ora; 2) il tassodifalsiallarmitollerabileèunfalsoallarmemediamenteogni250 istanti campionari. SOLUZIONE IN AULA. Carta x bilaterale costruita con la regola del 3-sigma Come già accennato in precedenza costruire una carta di controllo con la regola del 3-sigma significa posizionare i limiti di controllo ad una distanza pari a tre volte lo scarto quadratico medio della statistica test dalla linea centrale: UCL = CL +3 σ 0 = µ 0 +3 σ 0 LCL = CL 3 σ 0 = µ 0 3 σ 0 come si nota al posto di z α/2 èpresenteiltermine3. Sostanzialmente se la caratteristica di qualità è distribuita normalmente utilizzare la regola del 3-sigma è equivalente ad impiegare un α = (infatti con questo valore di α si ha z α/2 ' 3) che corrisponde ad un valore della funzione ARL sotto l ipotesi H 0 pari a ARL(H 0 ) ' 370. Questo metodo per costruire la carta di controllo fornisce buoni risultati in pratica ed è maggiormente utilizzato negli USA. In Europa si preferisce invece stabilire il valore della probabilità di un falso allarme o il valore dell ARL(H 0 ) ragionando sullo specifico problema da affrontare. Non sempre infatti un α = (o ARL(H 0 ) ' 370) può essere adeguato (per esempio se si controlla un processo produttivo con un elevata frequenza di campionamento si rischia di avere troppi falsi allarmi), infine con gli strumenti di calcolo odierno è relativamente facile costruire una carta di controllo dove α può variare a piacere. Quando si utilizza per i limiti di controllo la regola del 3-sigma i limiti di guardia si posizionano ad una distanza pari a 2 volteloscartoquadraticomedio della statistica test dalla linea centrale: UWL = CL +2 σ 0 = µ 0 +2 σ 0 LW L = CL 2 σ 0 = µ 0 2 σ 0 La funzione di potenza si ottiene con medesimi passaggi visti in precedenza oppure semplicemente sostituendo z α/2,con3. G(δ t )=Φ 3+δ t n + Φ 3 δt n Exercise 4 Rifare gli esercizi precedenti con la regola del 3-sigma

41 4.1. CARTE DI CONTROLLO PER IL LIVELLO DEL PROCESSO Carta x bilaterale con parametri non noti Se i valori µ 0 e σ 0 non sono noti, allora è possibile sostituirli con delle stime ottenute da un insieme di campioni preliminari un prerun ottenuto sotto opportune condizioni. Lo stimatore per µ 0, come abbiamo visto è x, mentre per σ 0 è possibile utilizzare due diversi stimatori uno basato sul range ed uno basato sulla deviazione standard. Nel caso si utilizzi lo stimatore basato sul range si ha CL = bµ 0 = x UCL = bµ 0 + z α/2 bσ 0 = x + z α/2 R d 2 LCL = bµ 0 z α/2 bσ 0 = x z α/2 R d 2 Se si utilizza la regola del 3-sigma, allora CL = bµ 0 = x UCL = bµ bσ 0 = x + 3 R d 2 = x + A 2 R LCL = bµ 0 3 bσ 0 = x 3 R d 2 = x A 2 R dove A 2 = 3 d 2 è una costante tabulata in funzione di n (Appendice A6 del Montgomery (2000)). Nel caso si utilizzi lo stimatore basato sulla deviazione standard si ha CL = bµ 0 = x UCL = bµ 0 + z α/2 bσ 0 = x + z α/2 S c 4 LCL = bµ 0 z α/2 bσ 0 = x z α/2 S c 4 Se si utilizza la regola del 3-sigma, allora CL = bµ 0 = x

42 40 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI UCL = bµ bσ 0 = x + 3 S c 4 = x + A 3 S LCL = bµ 0 3 bσ 0 = x 3 S c 4 = x A 3 S dove A 3 = 3 c 4 è una costante tabulata in funzione di n (Appendice A6 del Montgomery (2000)). Esercizi ed esempi sulle carte di controllo con parametri non noti si trovano alla fine di questo capitolo Carta x unilaterale In molte situazioni reali possono interessare shift in una direzione, quindi si andrà a costruire una carta di controllo unidirezionale. I sistemi d ipotesi che tale carta verifica sono i seguenti: shift crescente shift decrescente H 0 : µ t µ 0 il processo è in controllo H 1 : µ t >µ 0 il processo è fuori controllo H 0 : µ t µ 0 il processo è in controllo H 1 : µ t <µ 0 il processo è fuori controllo Consideriamo il caso di shift crescente (la situazione di shift decrescente si può ricavare in modo analogo). La statistica test utilizzata è ancora la media campionaria X = 1 n nx x i i=1 Sarà presente solamente il limite di controllo superiore, pertanto si può scrivere: ½ ¾ σ 0 Pr X µ 0 + z α µ n t = µ 0 =1 α Da cui segue che: UCL = CL + z α σ 0 = µ 0 + z α σ 0 UWL = CL + z α 2 σ 0 = µ n 0 + z α 2 σ 0 n

43 4.1. CARTE DI CONTROLLO PER IL LIVELLO DEL PROCESSO 41 Se invece se µ 0 e σ 0 non sono noti, allora vengono sostituiti da loro stime corrette e le asserzioni di probabilità anche in questo caso sono solo approssimate. Se si utilizza la regola del 3-sigma si ha z a =3quindi UCL = µ n σ 0. La funzione di potenza per una carta x (Shewhart) unilaterale sarà: G(µ t )=Pr X UCL µ t ª con CL = µ 0 e σ 0 noti e fissi. Sviluppando i calcoli e ricordando che X N(µ t, σ2 0 n ) G(µ t ) = Pr X UCL µ t ª =Pr ½ X µ 0 + z α σ 0 µ t ¾ indicando con Ã! Ã µ0 + zα n σ 0 µ t = 1 Φ n = Φ µ! 0 + zα n σ 0 µ t σ 0 lo shift standardizzato si ottiene δ t = µ t µ 0 σ 0 G(δ t )=Φ z α + δ t Example 5 Un azienda produce un sensore a raggi infrarossi per antifurti e desidera mettere sotto controllo il proprio processo produttivo. La caratteristica di qualità di interesse è il tempo di reazione del sensore ad una sollecitazione. Il tempo di reazione ideale dovrebbe essere di 7 millisecondi, la variabilità del processo è supposta nota σ 0 =0.2 (millisecondi). L azienda è interessata in particolare ad evitare che il tempo di reazione non superi il valore target con conseguente malfunzionamento dell antifurto. a) Costruire un opportuna carta di controllo per controllare il processo sopra descritto che si basi su campioni di ampiezza pari a 5 ed in modo tale che la probabilità che si verifichi un falso allarme sia pari a Risposta a) CL = µ 0 =7, α =0.01 σ 0 UCL = CL + z α σ 0 = µ 0 + z α σ 0 = =7.208 b) Calcolare anche il limite di guardia con α 2 =0, 05 UWL = µ 0 + z α 2 σ 0 = =7.147

44 42 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI UCL UWL CL Figura 4.5: Carta x unilaterale (UCL) c) Nei primi istanti campionari i valori rilevati sono stati i seguenti istanti x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x i e la carta di controllo è riportata nella Figura (4.5) Commento... d) determinare il valore della funzione di potenza quando µ t =7.1 e determinare il numero di campioni che mediamente si deve attendere per rilevare tale shift. Risposta d) δ t = =0.5 G(δ t =0.5) = Φ( ) = Φ( 1.208) = ARL = 1 G(δ t ) = =8.813 Example 6 Un azienda che produce cavi in acciao desidera mettere sotto controllo il proprio processo produttivo.il cavo prodotto dovrebbe reggere alla trazione almeno 15Kg/mm 2. La variabilità del processo è supposta nota σ 0 = 0.8

45 4.1. CARTE DI CONTROLLO PER IL LIVELLO DEL PROCESSO CL LCL Figura 4.6: Carta x unilaterale (LCL) Kg/mm 2 a) Costruire un opportuna carta di controllo per controllare il processosopradescrittochesibasisucampionidiampiezzaparia5 ed in modo tale che la probabilità che si verifichi un falso allarme sia pari a Risposta a) Si tratta di costruire una carta con solo il limite inferiore. CL = µ 0 =15, α =0.05 LCL = CL z α σ 0 = µ 0 z α σ 0 = = b) Nei primi istanti campionari i valori rilevati sono stati i seguenti istanti x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x e la carta di controllo è riportata nella Figura (4.6) Commento... c) determinare il valore della funzione di potenza quando µ t =14.5 e determinare il numero di campioni che mediamente si deve attendere per rilevare tale shift. Risposta c) G(µ t )=Pr X LCL µ t ª Sviluppando i calcoli e ricordando che X N(µ t, σ2 0 n ) ½ G(µ t )=Pr X µ 0 z ¾ Ã µ0 z! α α n σ 0 µ t σ 0 µ n t = Φ n σ 0

46 44 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI indicando con lo shift standardizzato si ottiene δ t = µ t µ 0 σ 0 G(δ t )=Φ z α δ t Nel nostro caso δ t = = quindi ³ G(δ t = 0.625) = Φ = Φ ( 0.247) ' segue che ARL = 1 G(δ t) ' Carta unilaterale con valori obiettivo non noti Nel caso in cui µ 0 e/o σ 0 non siano noti si può procedere ad una loro stima comegiàvistoperlacartabilaterale. Laproceduraèlastessaovviamenteci sarà solo il limite di controllo che interessa Carta per mediane (carta ex ) In questo caso la statistica test è la mediana campionaria ½ X ex n = <k+1;n> se n =2k (X <k;n> + X <k+1;n> ) se n =2k Se la caratteristica di qualità X si distribuisce normalmente, X (µ t, σ 2 0), allora ex n N(µ t, σ 2 0 c 2 n n ) dove c n è un fattore tabulato in funzione di n. Pertanto ½ ¾ σ 0 c n Pr µ 0 z α/2 X e σ 0 c n n µ n 0 + z α/2 µ n t = µ 0 =1 α Quindi se µ 0 e σ 0 sono noti, i limiti di controllo ed i limiti di guardia diventano: UCL LCL = µ 0 ± z α/2 c n σ 0 UWL LW L = µ 0 ± z α 2/2 c n σ 0 Se invece se µ 0 e σ 0 non sono noti, verranno allora sostituiti da loro stime corrette e le asserzioni di probabilità in questo caso sono solo approssimate.

47 4.2. CARTE DI CONTROLLO PER LA VARIABILITÀ DEL PROCESSO PRODUTTIVO Funzione di potenza della carta ex Nell ipotesi di normalità distributiva della caratteristica di qualità si può scrivere: µ G(δ t )=Φ z α/2 + δ µ t n + Φ z α/2 δ t n c n 4.2 Carte di controllo per la variabilità del processo produttivo Le carte di controllo di tipo Shewhart possono anche essere utilizzate per sorvegliare la variabilità del processo produttivo. Se si è interessati a variazioni solo in una direzione, normalmente si desidera evitare eventuali aumenti della variabilità, si sviluppano le carte unilaterali. Il sistema d ipotesi sottostante è il seguente: H 0 : σ t σ 0 processo è in controllo c n H 1 : σ t > σ 0 processo è fuori controllo Si possono anche costruire le carte bilaterali H 0 : σ t = σ 0 processo è in controllo H 1 : σ t 6= σ 0 processo è fuori controllo in questo caso si è interessati a variazioni in entrambe le direzioni. Questo tipo di carta è comunque poco utilizzato nella pratica e nel seguito l attenzione sarà rivolta alle carte unilaterali. Anche in questo caso la carta di controllo è costituita da una linea centrale e dal limite di controllo superiore, nel caso di ipotesi unilaterali, dai due limiti di controllo superiore ed inferiore nel caso di ipotesi bidirezionali. La costruzione della carta di controllo dipende dalla statistica test che si impiega. Nel seguito si svilupperanno la carta S, che utilizza la statistica test deviazione standard campionaria, e la carta R che invece utilizza il range campionario. Sulle due tipologie di carte di controllo è importante fare alcune puntualizzazioni. Da un punto di vista della facilità di calcolo calcolare ilrangeinuncampioneèsicuramentepiùfacileevelocechecalcolareladeviazione standard. Questo spiega perchè le carte che utilizzano il range sono le più utilizzate. Attualmente la disponibilità di strumenti di calcolo pratici ed economici ed una maggior familiarità con gli strumenti informatici ha eliminato questa difficoltà. L utilizzo del range è consigliabile comunque per campioni di bassa numerosità. I presenza di dimensioni campionarie sufficientemente grandi (n >10) è opportuno controllare la variabiltà del processo utilizzando la carta S.

48 46 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI Carta S (deviazione standard) La statistica test usata è la deviazione standard campionaria: v u S = t 1 nx Xi n 1 X 2 i=1 la linea centrale viene posta pari la valore obiettivo σ 0 che è supposto noto. Il limite di controllo superiore è determinato secondo lo schema usuale, ovvero UCL è tale che la probabilità di un falso allarme sia pari a H 0 : Quando X N µ t, σ 2 t si ha che Pr {S UCL H 0 } = α (n 1) S2 σ 2 t χ 2 n 1 quindi, quando il processo è non disturbato, σ 2 t = σ 2 0 (è vera H 0 ), si ha che (n 1) S2 χ 2 σ n 1. Si può quindi scrivere 2 0 ¾ Pr ½(n 1) S2 σ 2 χ 2 α;n 1 =1 α 0 da cui segue Pr S n 1 σ 0 =1 α s χ 2 α;n 1 dove χ 2 α;n 1 è il percentile di ordine α di una variabile casuale chi-quadro con n 1 gradi di libertà (Pr χ 2 n 1 χα;n 1ª 2 = α). Questo significa che quando il processo q è sotto H 0 il (1 α)100% dei valori χ 2 di S si troveranno al di sotto del limite α;n 1 n 1 σ 0.Pertanto UCL = CL = σ 0 s χ 2 α;n 1 n 1 σ 0 Per il limite di guardia si può ragionare in modo analogo definendo un α 2 > α e di conseguenza s χ 2 α UWL = 2 ;n 1 n 1 σ 0

49 4.2. CARTE DI CONTROLLO PER LA VARIABILITÀ DEL PROCESSO PRODUTTIVO47 Funzione di potenza della carta S Per la funzione di potenza della carta S si ha G S (σ t )=Pr(S UCL σ t )=1 Pr (S <UCL σ t ) Riprendendo la definizione di UCL si può scrivere s χ G S (σ t ) = 1 Pr S 2 α;n 1 < n 1 σ2 0 σ2 t = Ã! (n 1) = 1 Pr σ 2 S 2 < χ2 α;n 1 t σ 2 σ 2 0 = t = 1 Pr à (n 1) σ 2 S 2 < χ2 α;n 1 t (σ t /σ 0 ) 2 e ricordando che (n 1) S2 χ 2 σ 2 n 1 si ottiene t Ã! χ 2 α;n 1 G S (σ t )=1 F CH (σ t /σ 0 ) 2 n 1 dove F CH (x n 1) rappresenta la funzione di ripartizione calcolata nel punto x di un chi-quadro con n 1 gradi di libertà. L espressione precedente può essere riscritta anche come funzione dello shift relativo ε t = σ t σ 0 G S (ε t )=1 F CH à χ 2 α;n 1 ε 2 t! n 1 Example 7 Un azienda petrolifera produce un combustibile per uso aereo-spaziale. La caratteristica di qualità rilevente è il contenuto (misurato in gr/litro) nel carburante di un particolare componente chimico che qui indichiamo con X. In particolare l azienda intende controllare la variabilità del processo produttivo, H 0 : σ t σ 0, H 1 : σ t > σ 0 utilizzando campioni di ampiezza pari a n =5e sapendo che σ 0 =3. a) Determinare il limite di controllo (α =0.01) edillimite di guardia (α 2 =0.05). Risposta a) UCL = CL = σ 0 =3! s r χ 2 α;n n 1 σ 0 = 3=

50 48 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI C a rta S UCL UWL CL istanti cam pionari UWL = Figura 4.7: carta S s χ 2 r α 2 ;n n 1 σ 0 = 3= b) Nei primi 4 istanti campionari si sono osservati i seguenti dati tempo X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 S e la visualizzazione della statistica test S (ultima colonna della tabella) è riportata nella Figura (4.7) cosa si può affermare su processo? c) Calcolare la probabilità rilevare che è intervenuto uno shift nella variabilità della caratteristica di qualità, in particolare σ t =4.2. Risposta c) Calcolo lo shift relativo ε t = σ t σ 0 =1.4 Ã! χ 2 α;n 1 G S (ε t ) = 1 F CH ε 2 t n 1 µ G S (1.4) = 1 F CH G S (1.4) = 1 F CH ( ) = 0.148

51 4.2. CARTE DI CONTROLLO PER LA VARIABILITÀ DEL PROCESSO PRODUTTIVO49 d) Quando σ t =4.2 quanti istanti campionari si deve attendere mediamente per rilevare tale shift? Risposta d) Si tratta di calcolare l ARL(σ t =4.2). Quindi significa che quindi ARL(σ t =4.2) = ARL(σ t )= 1 G S (σ t ) 1 G S (σ t =4.2) = 1 G S (ε t =1.4) = =6.741 Carta S con parametri non noti Se il valore target per la variabilità σ 0 non è noto può essere stimato utilizzando lo stimatore bσ 0 = S c 4 Quindi seguendo sempre il ragionamento visto in precedenza CL = bσ 0 = S c 4 UCL = s s χ 2 α;n 1 n 1 bσ χ 2 α;n 1 S 0 = n 1 c Carta S con regola del 3-sigma Anche la carta S può essere costruita con la regola del 3-sigma, qui si farà riferimento alla procedura illustrata da Montgomery (2000). σ 0 noto Nel caso in cui il valore σ 0 sia noto la carta ha linea centrale pari a CL = c 4 σ 0 dal momento che il valore atteso della statistica test è dato da E(S) =c 4 σ 0. Mentre per i limiti di controllo si ha UCL = c 4 σ 0 +3σ 0 q1 c 2 4 LCL = c 4 σ 0 3σ 0 q1 c 2 4

52 50 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI Se si definiscono le costanti q B 5 = c c 2 4 q B 6 = c c 2 4 che sono dei valori tabulati in funzione di n (Appendice A6 in Montgomery, 2000), allora i limiti di controllo risultano UCL = B 6 σ 0 LCL = B 5 σ 0 Come si può vedere nelle formule è riportato anche il limite di controllo inferiore (spiegazione). σ 0 non noto Nel caso in cui il valore σ 0 non sia noto verrà stimato da un insieme di m campioni preliminari utilizzando lo stimatore S c 4. I limiti della carta di controllo risultano quindi CL = S UCL = S +3 S c 4 q1 c 2 4 Se si definiscono le costanti LCL = S 3 S c 4 q1 c 2 4 B 3 =1 3 c 4 q1 c 2 4 B 4 =1+ 3 c 4 q1 c 2 4 che sono dei valori tabulati in funzione di n (Appendice A6 in Montgomery, 2000), allora i limiti di controllo risultano UCL = B 4 S LCL = B 3 S

53 4.3. COSTRUZIONE E USO DELLE CARTE X R E X S Carta R (range) La statistica test utilizzata è il range campionario: R = X max X min Se σ 0 non è noto, può essere stimato da un insieme di m campioni preliminari utilizzando lo stimatore R d 2. I limiti della carta di controllo risultano quindi CL = R UCL = R +3d 3 R d 2 Se si definiscono le quantità LCL = R 3d 3 R d 2 D 3 =1 3 d 3 d 2 D 4 =1+3 d 3 d 2 i cui valori dipendono dall ampiezza n del campione e sono tabulati nell appendice A6 di Montgomery (2000), allora di può scrivere in forma più compatta CL = R UCL = D 4 R LCL = D 3 R 4.3 Costruzione e uso delle carte x R e x S In questo paragrafo si illustrerà l applicazione e l uso delle carte di controllo viste finora utilizzando esempi concreti. Nella pratica di solito si procede al controllo simultaneo del livello medio e della variabilità di un processo produttivo. Di conseguenza si utilizzano contemporanemente le carte di controllo x e S oppure x e R. Carte x e R

54 52 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI Campione x 1 x 2 x 3 x 4 x i R i Tabella 4.1: Contenuto in ml di bevanda nei contenitori Prendiamo come riferimento un processo produttivo che imbottiglia una bibita. Lacaratteristicadiqualitàdiinteresse è il contenuto della bevanda, espresso in ml, nel contenitore. L obiettivo è controllare sia il livello medio sia la variabilità del processo produttivo. In particolare per il livello medio si desidera utilizzare una carta x tale che in media un falso allarme si presenti ogni 250 istanti campionari. Per la variabilità si vuole utilizzare una carta R con limite 3-sigma. Del processo produttivo non si sa nulla quindi in fase preliminare sono stati prelevati 19 campioni, ciascuno di ampiezza 4 in un arco di tempo durante il quale il processo viene ritenuto sotto controllo. I dati raccolti sono riportati nella Tabella (4.1). Dai dati si può stimare il livello medio del processo e la sua variabilità bµ 0 = x = P m i=1 x i m = Per la carta x sapendo che bσ 0 = R d 2 = ARL(H 0 )=250 =

55 4.3. COSTRUZIONE E USO DELLE CARTE X R E X S 53 si ha α =0.004 da cui z α/2 = I limiti risultano quindi CL = bµ 0 = UCL = bµ 0 + z α/2 bσ 0 = Per la carta R LCL = bµ 0 z α/2 bσ 0 = CL = R = UCL = RD 4 = R2.282 = I limiti ottenuti sono considerati limiti di controllo di prova Questo perchè è necessario verificare che i campioni preliminari provengano da un processo effettivamente sotto controllo. A questo scopo le m determinazioni preliminari di x e R vengono rappresentate sulle carte di controllo i cui limiti sono stati appena calcolati: se tutti i punti sono all interno dei limiti di controllo e nessun comportamento sistematico è evidente allora si può concludere che il processo era sotto controllo e i limiti ottenuti possono essere utilizzati per controllare il processo da questo momento in poi. Nelle Figure (4.8) e (4.9) sono riportate le carte con i limiti di controllo di prova.se uno o più punti cadono fuori controllo, come nel caso del campione 5 per la carta x, allora significa che molto probabilmente la produzione in quegli istanti campionari era fuori controllo. E quindi necessario intervenire sui limiti di controllo calcolati. La procedura che si esgue è la seguente: a) si analizza ciascun punto fuori controllo cercando di capire se esistono cause specifiche che li hanno prodotti; b) individuata la causa il campione viene eliminato e i limiti di controllo vengono ricalcolati sui rimanenti campioni; c) si controlla che i punti rimasti siano dentro i nuovi limiti di controllo, infatti può capitare che alcuni campioni prima sotto controllo siano ora fuori controllo in quanto eliminando osservazioni i limiti possono diventare meno ampi. Il procedimento viene quindi reiterato fintantochè tutti i punti rimasti sono interni ai limiti ed i limiti così ottenuti possono essere utilizzati per controllare il processo. Nel nostro caso un analisi del processo produttivo ha evidenziato che il fuori controllo del campione 5 è dovuto ad un problema di taratura del macchinario che provvedeva all imbottigliamento. Tale campione viene quindi eliminato e si rifanno i calcoli sui 18 campioni rimasti: la nuova stima di σ 0 è bµ 0 = x = e R = bσ 0 = R d 2 =

56 54 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI campione n 5 UCL= LCL= CL Figura 4.8: Carta x costruita sui campioni preliminari UCL= CL= Figura 4.9: Carta R costruita sui campioni preliminari

57 4.3. COSTRUZIONE E USO DELLE CARTE X R E X S UCL= CL= LCL= Figura 4.10: Carta x con i limiti ricalcolati i nuovi limiti di controllo della carta x risultano UCL = bµ 0 + z α/2 bσ 0 = LCL = bµ 0 z α/2 bσ 0 = eperlacartar si ha CL = R = UCL = RD 4 = R2.282 = Nelle Figure (4.10) e (4.11) sono riportate le carte di controllo con i limiti ricalcolati. Dai grafici non risulta più nessun punto fuori controllo e non emergono comportamenti sistematici delle statistiche campionari. Si possono quindi utilizzare i limiti di controllo ottenuti per controllare in futuro il processo. Domanda Si supponga che la carta di controllo sia utilizzata per controllare il processo produttivo calcolare la probabilità di rilevare un segnale di fuori controllo quando µ t = 350 e calcolare anche il valore dell ARL. Carte x e S

58 56 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI 2.5 UCL= CL= Figura 4.11: Carta R con i limiti ricalcolati S i Campione Tabella 4.2: Valori di S i del prerun

59 4.3. COSTRUZIONE E USO DELLE CARTE X R E X S 57 Per illustrare l implementazione delle carte x e S consideriamo gli stessi dati dell esempio precedente. In questo casi invece di calcolare per ogni campione il valore R i si calcolerà S i. I valori delle deviazioni standard dei campioni sono riportati nella tabella (4.2). Valori di S i del prerun La stima del livello medio del processo è sempre la stessa (i dati non sono cambiati) P m i=1 bµ 0 = x = x i m = Per la stima della variabilità si ha bσ 0 = S c 4 = = Per la carta x come prima si ha α =0.004 da cui z α/2 = I limiti risultano quindi CL = bµ 0 = UCL = bµ 0 + z α/2 bσ 0 = Per la carta S LCL = bµ 0 z α/2 bσ 0 = CL = S = UCL = SB 4 = S2.266 = Come in precedenza il campione 5 risulta non in controllo per quanto riguarda il livello del processo produttivo Figure (4.12) e (4.13). Procedendo alla sua eliminazione si ottengono le seguenti quantità: la nuova stima di σ 0 è bµ 0 = x = e S = bσ 0 = S c 4 = i nuovi limiti di controllo della carta x risultano UCL = bµ 0 + z α/2 bσ 0 =

60 58 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI UCL= LCL= campione n 5 CL Figura 4.12: Carta x costruita sui campioni preliminari UCL= CL= Figura 4.13: Carta S costruita sui campioni preliminari

61 4.3. COSTRUZIONE E USO DELLE CARTE X R E X S UCL= CL= LCL= Figura 4.14: Carta x con i limiti ricalcolati eperlacartas si ha LCL = bµ 0 z α/2 bσ 0 = CL = S = UCL = SB 4 = S2.266 = Come in precedenza i campioni preliminari rimasti non risultano fuori controllo Figure (4.14)-(4.15) quindi i limiti determinati possono ritenersi validi e possono essere utilizzati per controllare il processo produttivo. Domanda Si supponga che la carta di controllo sia utilizzata per controllare il processo produttivo calcolare la probabilità di rilevare un segnale di fuori controllo quando µ t = 350 e calcolare anche il valore dell ARL.

62 60 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI UCL= CL= Figura 4.15: Carta S con i limiti ricalcolati

63 Capitolo 5 Carte di controllo per attributi Numerose caratteristiche di qualità non si prestano ad essere misurate quantitativamente. In queste situazioni si può ricorrere a valutazioni di carattere qualitativo classificando un generico elemento come conforme o non conforme in base alle specificazioni di una o più caratteristiche di qualità che caratterizzano il processo. Il controllo del processo si basa quindi su dati di conteggio enumerando le unità conformi e/o quelle non conformi. Gli strumenti conseguenti sono chiamati carte di controllo per attributi. Nel capitolo si prenderanno in esame la carta di controllo per il numero di elementi non conformi (carta np), la carta di controllo per la frazione di elementi non conformi (carta p), la carta di controllo per il numero di non conformità per unità di prodotto (carta c) e la carta di controllo per il numero di non conformità per unità fisica (carta u). 5.1 Carta di controllo np e carta p La popolazione di riferimento è l insieme (virtualmente infinito) delle unità provenienti dal processo produttivo e tale popolazione è caratterizzata dalla frazione di elementi non conformi p. Se il processo sta operando in modo stabile e le unità successive del processo sono indipendenti, p rappresenta anche la probabilità di ottenere un elemento non conforme. In questi termini il processo produttivo è descritto una sequenza di variabili aleatorie di Bernoulli di parametro p: sex n èilnumerodielementinonconformiinn prove indipendenti (numerosità del campione), allora X n ha distribuzione binomiale X n Bin(n, p) µ n Pr {X n = x} = x p x (1 p) n x x =0, 1,..., n 61

64 62 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI La media e varianza di X n sono rispettivamente E(X n )=np Var(X n )=np(1 p) Al tempo t il livello di difettosità del processo è descritto da p t.usualmente si utilizza come riferimento un valore target p 0 come il livello di difettosità desiderato. Il valore di p 0 può essere a seconda dei casi un valore nominale, un valore empirico o una stima basata su un prerun. Solitamente il processo produttivo viene considerato sotto controllo statistico quando p t p 0 quindi si dovranno costruire delle carte di controllo per verificare il seguente sistema d ipotesi H 0 : p t p 0 H 1 : p t >p 0 In questo caso nella carta sarà presente solamente il limite di controllo superiore. Se invece il processo è considerato sotto controllo per p t = p 0 il sistema d ipotesi è il seguente H 0 : p t = p 0 H 1 : p t 6= p 0 nella carta di controllo saranno presenti i limiti di controllo superiore ed inferiore. Nella pratica sono più rilevanti le carte per verificare le ipotesi unilaterali, tuttavia in molti casi si preferisce anche avere il limite di controllo inferiore in quanto può essere utile per individuare eventuali errori di misura Carta np La statistica campionaria è il numero di elementi non conformi nel campione: X n (campione di numerosità n). Sotto H 0 e supponendo p 0 noto X n Bin(n, p 0 ) con E(X n )=np 0 e Var(X n )=np 0 (1 p 0 ). Pertanto CL = np 0 Per determinare il limite di controllo UCL si segue sempre lo stesso ragionamento. Il limite UCL deve essere un numero intero tale che Pr (X n UCL p t = p 0 )=α

65 5.1. CARTA DI CONTROLLO NP E CARTA P 63 Siccome X n ha una distribuzione discreta la probabilità sopra riportata può essere soddisfatta solo in modo approssimato Pr (X n UCL p t = p 0 )=α con α α. Si tratta quindi di individuare il valore UCL come il più grande intero che soddisfa: Pr (X n UCL p t = p 0 ) α Di conseguenza UCL è un numero che soddisfa la seguente relazione: Pr (X n UCL p t = p 0 ) α < Pr(X n UCL 1 p t = p 0 ) Ricordando che X n Bin(n, p) : Pr (X n UCL p t = p 0 ) = nx j=ucl UCL 1 X Bi(j; n, p 0 )=1 Bi(j; n, p 0 ) = 1 F B (UCL 1 n, p 0 ) j=0 Pr (X n UCL 1 p t = p 0 ) = nx j=ucl 1 UCL 2 X Bi(j; n, p 0 )=1 Bi(j; n, p 0 ) = 1 F B (UCL 2 n, p 0 ) dove F B (x n, p) è la funzione di ripartizione di una binomiale di parametri n e p. Pertanto o equivalentemente j=0 1 F B (UCL 1 n, p 0 ) α < 1 F B (UCL 2 n, p 0 ) F B (UCL 2 n, p 0 ) < 1 α F B (UCL 1 n, p 0 ) Dati i valori di n e p 0,e specificato α si individua il limite di controllo UCL che soddisfa la disuguaglianza con l ausilio delle tavole della Binomiale. Funzione di potenza e curva operativa della carta np La funzione di potenza è data da quindi G(p t )= nx j=ucl G(p t )=Pr(X n UCL p t ) UCL 1 X Bi(j; n, p t )=1 Bi(j; n, p t )=1 F B (UCL 1 n, p t ) j=0

66 64 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI La curva operativa non è altro che il complemento a 1 della funzione di potenza: OC(p t )=1 G(p t ) Example 8 Un azienda produce lampadine e desidera controllare il processo produttivo. Inquestocasolalampadinanonfunzionanteèunelementonon conforme. L azienda stabilisce che il proprio processo produttivo è sotto controllo quando al massimo il 7% delle lampadine prodotte non funziona. Per controllare il sistema decide quindi di implementare una carta di controllo per il numero di elementi non conformi basandosi su un campione giornaliero di 30 lampadine. a) Costruire la carta di controllo fissando α =0.01. Risposta a) Si tratta di una carta UNILATERALE. Il sistema d ipotesi che si deve verificareè: H 0 : p t p 0 H 1 : p t >p 0 con p 0 =0.07. Quindi la linea centrale: CL = np 0 =2.1 Per il calcolo di UCL F B (UCL 2 n, p 0 ) < 1 α F B (UCL 1 n, p 0 ) Quindi visto che F B (5 30, 0.07) = segue che F B (6 30, 0.07) = UCL =7 Quindi dalla produzione giornaliera si estrae in modo casuale un campione di 30 lampadine e si contano le lampadine non funzionanti riportando i valori sulla carta di controllo b) Si supponga che nei primi 8 giorni si siano ottenuti iseguentirisultati Campione X n la cui rappresentazione grafica è riportata nella Figura (5.1). Cosa si può affermare sullo stato del processo produttivo? c) Si supponga che ora che il livello di difettosità (cioè la percentuale di lampadine non funzionanti ) sia pari al 9% ovvero p t =0.09. Calcolare la probabilità che la carta di controllo costruita al punto a) individui tale anomalia e calcolare il valore dell ARL in questa

67 5.1. CARTA DI CONTROLLO NP E CARTA P UCL= Figura 5.1: Carta np situazione. Risposta b) Si tratta di calcolare la funzione di potenza quando p t =0.09 G(p t )=1 F B (UCL 1 n, p t ) da cui segue che G(0.09) = 1 F B (6 30, 0.09) = = ARL = 1 G(p t ) = Carta np con limiti 3-sigma Utilizzando la regola del 3-sigma la linea centrale ed i limiti di controllo della carta np si ottengono come segue CL = np 0 UCL = np 0 +3 p np 0 (1 p 0 ) LCL = np 0 3 p np 0 (1 p 0 ) Utilizzando la regola del 3-sigma è necessario prestare attenzione al limite LCL in quanto potrebbe risultare negativo. In questi casi si pone LCL =0

68 66 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI campione X in campione X in Tabella 5.1: preliminari Numero di condensatori non funzionanti (X in ) nei campioni Carta np con p 0 non noto La frazione p 0 spesso non è nota, è quindi necessario stimarla utilizzando un insieme di campioni preliminari provenienti dal processo quando opera in modo non disturbato. Se il prerun è composto da m campioni (m =20 25) din elementi e X in è il numero di elementi difettosi nel campione i-esimo, allora la frazione campionaria di elementi non conformi è bp i = X in n, i =1, 2,..., m e utilizzando le bp i si può ottenere uno stimatore per p 0 P m i=1 bp 0 = bp P m i m = i=1 X in mn il valore ottenuto può quindi essere sostituito nelle formule opportune per calcolare i limiti della carta di controllo. I limiticosìottenutidovrebberoessere considerati come limiti di controllo di prova come illustrato nel seguente esempio. Esempio. Si consideri la produzione di condensatori. Nell ispezionare il prodotto si controlla che risponda in modo corretto a predeterminate sollecitazioni di tensione. Si vuole predisporre una carta di controllo per il numero di condensatori non conformi, ed è richiesto che ARL(H 0 ) = 250. Per la costruzione della carta vengono estratti, ad intervalli di 15 minuti, 20 campioni di n = 100 condensatori. I dati sono riportati nella Tabella (5.1). Sulla base dei dati provenienti dai campioni preliminari si può stimare p 0 P m i=1 bp 0 = X in mn = = A questo punto si può costruire la carta di controllo per verificare se il processo era sotto controllo al momento della raccolta dei dati preliminari.

69 5.1. CARTA DI CONTROLLO NP E CARTA P UCL=14 camp 12 CL Figura 5.2: Carta np iniziale sui dati preliminari La linea centrale risulta CL = np 0 =6.25 Per il calcolo di UCL si segue il ragionamento usuale F B (UCL 2 n, p 0 ) < 1 α F B (UCL 1 n, p 0 ) Essendo ARL(H 0 ) = 250 si ha α =0.004, diconseguenzavistoche F B (12 100, ) = si ottiene F B (13 100, ) = UCL =14 La carta di controllo risultante è riportata nella Figura (5.2). Dalla carta si nota che è presente un valore fuori controllo: il campione 12. Da un analisi del campione 12 è emerso che l aumento di difettosità è attribuibile ad un lotto di materiale difettoso. Individuate la causa il campione viene eliminato e si procede al ricalcolo della stima di p 0 Ricalcolo la linea centrale P m i=1 bp 0 = X in mn = = CL = nbp 0 =5.7895

70 68 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI UCL=14 CL Figura 5.3: Carta np con i limiti ricalcolati Ricalcolo UCL F B (12 100, ) = F B (13 100, ) = quindi UCL =14 In questo caso si è solo spostata la linea centrale della carta, mentre il limite UCL è rimasto immutato. La carta corrispondente viene riportata nella Figura (5.3) Dalla carta non si notano punti fuori controllo nè comportamenti sistematici sospetti. Per cui si ritiene bp 0 = una stima affidabile della frazione di elementi non conformi del processo e di conseguenza i limiti trovati si possono utilizzare per controllare il processo da questo momento in avanti. Data la carta di controllo appena costruita, calcolare il numero di campioni che in media è necessario estrarre dal processo produttivo prima di rilevare che p t =0.09. Qui si tratta di calcolare il valore dell ARL(H 1 ). E necessario calcolare la funzione di potenza per p t =0.09 G(p t )=1 F B (UCL 1 n, p t ) da cui segue che G(0.09) = 1 F B (13 100, 0.09) = ARL = 1 G(p t ) =15.515

71 5.1. CARTA DI CONTROLLO NP E CARTA P 69 Esercizio. Rifare l esempio precedente con limite UCL posto a 3-sigma Approssimazioni In alcune situazioni è conveniente utilizzare delle approssimazioni della Binomiale. Approssimazione della Binomiale con la Poisson per np 0 10 o n 1500p 0 Bin(n, p 0 ) P (λ = np 0 ) Approssimazione della Binomiale con la Normale Ã! UCL 0.5 np 0 Pr (X n UCL p t = p 0 )=α Φ p np0 (1 p 0 ) per np 0 (1 p 0 ) > 9. Quindi risolvendo per UCL si ottiene UCL np 0 + z 1 α p np0 (1 p 0 )+0.5 e UCL viene approssimato sempre per eccesso all intero più vicino Carta p Controlla direttamente la frazione di elementi difettosi, quindi ha lo stesso sistema d ipotesi della carta np. La statistica test bp n = X n n è la frazione di elementi non conformi. La linea centrale e le linee di controllo si ottengono dividendo per n le analoghe quantità della carta np Carta np CL UCL LCL Carta p CL = CL n UCL = UCL n LCL = LCL n Funzione di potenza della carta p La funzione di potenza della carta p èlastessadellacartanp: ½ G p (p t ) = Pr{bp n UCL Xn p t } =Pr n = Pr{X n UCL p t } = G(p t ) UCL ¾ n p t =

72 70 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI campione X in campione X in campione X in campione X in Tabella 5.2: numero di valvole non conformi nei 24 campioni preliminari Esempio. Si consideri la produzione valvole per pneumatici per automobili. Il prodotto viene ispezionato sollecitando la valvola con una pressione predeterminata controllandone la tenuta. Si vuole utilizzare una carta di controllo per la frazione di elementi non conformi, ed è richiesto che ARL(H 0 ) = 200. Per la costruzione della carta vengono estratti, ad intervalli di 30 minuti, 24 campioni di n =50valvole. I dati sono riportati nella Tabella (5.2) Utilizzando i 24 campioni preliminari la stima di p 0 risulta: P m i=1 CL = bp 0 = X in mn = = Visto che ARL(H 0 ) = 200 significa α =0.005 ed essendo il limite UCL un numero intero tale da soddisfare si trova che F B (UCL 2 n, p 0 ) < 1 α F B (UCL 1 n, p 0 ) F B (8 50, ) = quindi risulta F B (9 50, ) = UCL =10 Il limite della carta p si ottiene dividendo il limite appena trovato per n UCL = =0.2 La visualizzazione grafica del prerun è riportata nella Figura (5.4) Dalla Figura si nota che un valore non risulta in controllo. E necessario quindi analizzare le cause che possono aver dato luogo a questa situazione. Supponiamo ora che si sia individuata le causa del problema e che siano state fatte le opportune operazioni correttive. Si può quindi procedere eliminando il campione e rifacendo i calcoli.

73 5.1. CARTA DI CONTROLLO NP E CARTA P camp. 6 UCL=0.2 CL Figura 5.4: Carta p costruita sui dati preliminari La nuova stima di p 0 èdatada P m i=1 CL = bp 0 = X in mn per limite UCL ricalcolato si ha = = F B (8 50, ) = F B (9 50, ) = da cui risulta UCL =10 e quindi il limite ricalcolato della carta p èancora UCL = =0.2 La visualizzazione dei campioni preliminari è riporata nella Figura (5.5). Dalla Figura si nota che tra i 23 campioni rimasti non è presente nessun punto fuori controllo La carta di controllo così costruita è quindi utilizzabile per controllare il processo da questo momento in avanti. Se avviene uno shift e p t =0.1 quanto tempo in media si deve attendere per rilevare il problema? Si tratta anche in questo caso di calcolare ARL(H 1 ). Calcolo quindi il valore della funzione di potenza G p (p t ) = Pr{bp n UCL p t } =Pr{X n UCL p t } = = 1 F B (UCL 1 n, p t )

74 72 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI UCL=0.2 CL Figura 5.5: Carta p ottenuta eliminado il campione 6 Nel nostro caso essendo UCL =10si ha e quindi G(0.1) = 1 F B (9 50, 0.1) = ARL(p t =0.1) = 1/G p (p t )= Esercizio. Rifare l esempio precedente con limite UCL posto a 3-sigma 5.2 Carte di controllo per le non conformità Un elemento non conforme è un prodotto che non soddisfa una, o più, delle specifiche richieste. Ogni specifica non rispettata costituisce un difetto o una non conformità. Conseguentemente un elemento non conforme contiene almeno una non conformità. In molte situazioni pratiche è preferibile controllare il numero di difetti o non conformità nel campione anziché la frazione di elementi non conformi. In questa situazione l unità di riferimento può essere: l unità di prodotto; una unità fisica (normalmente più unità fisiche formano una unità di prodotto). In entrambi i casi si assume che la variabile aleatoria in grado di descrivere la probabilità che si presenti un difetto sia una Poisson di parametro λ t, X Po(λ t ): Pr(x = k) = e λ λ k t k!

75 5.2. CARTE DI CONTROLLO PER LE NON CONFORMITÀ 73 ed essendo E(X) =Var(X) =λ t il parametro λ t rappresenta il numero medio di difetti di una unità prodotta al tempo t. Se il processo produttivo viene considerato sotto controllo statistico per λ t λ 0 si dovranno costruire delle carte di controllo per verificare il seguente sistema d ipotesi H 0 : λ t λ 0 H 1 : λ t > λ 0 Se il processo è considerato sotto controllo per λ t = λ 0 il sistema d ipotesi è il seguente H 0 : λ t = λ 0 H 1 : λ t 6= λ 0 Nella pratica sono più rilevanti le carte per verificare le ipotesi unilaterali Carta per il numero di non conformità per unità di prodotto (carta c) La statistica campionaria è il numero cumulato di non conformità nel campione: X n (campione di numerosità n). Sotto H 0 lo stato del processo è caratterizzato da un tasso medio di non conformità pari a λ 0 con E(X n)=nλ 0. Pertanto X n Po(nλ 0 ) CL = nλ 0 Il limite di controllo UCL deve soddisfare Pr (X n UCL λ t = λ 0 )=α Dato che X n ha una distribuzione discreta la probabilità sopra riportata può essere soddisfatta solo in modo approssimato Pr (X n UCL λ t = λ 0 )=α

76 74 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI con α α. Si tratta quindi di individuare il valore UCL come il più grande intero che soddisfa: Pr (X n UCL λ t = λ 0 ) α Di conseguenza il limite UCL è tale da soddisfare la seguente relazione: Pr (X n UCL λ t = λ 0 ) α < Pr(X n UCL 1 λ t = λ 0 ) Ricordando che X n Po(nλ) : Pr (X n UCL λ t = λ 0 ) = X j=ucl UCL 1 X Po(j; nλ 0 )=1 Po(j; nλ 0 ) = 1 F P (UCL 1 nλ 0 ) j=0 Pr (X n UCL 1 λ t = λ 0 ) = Pertanto oequivalentemente X j=ucl 1 UCL 2 X Po(j; nλ 0 )=1 Po(j; nλ 0 ) = 1 F P (UCL 2 nλ 0 ) 1 F P (UCL 1 nλ 0 ) α < 1 F P (UCL 2 nλ 0 ) F P (UCL 2 nλ 0 ) < 1 α F P (UCL 1 nλ 0 ) Datiivaloridin e λ 0, e specificato α si individua il limite di controllo UCL che soddisfa la disuguaglianza con l ausilio delle tavole della Poisson. j=0 Funzione di potenza e curva operativa La funzione di potenza è data da quindi G(λ t )= X j=ucl G(λ t )=Pr(X n UCL λ t ) UCL 1 X Po(j; np t )=1 Po(j; nλ t )=1 F P (UCL 1 nλ t ) j=0

77 5.2. CARTE DI CONTROLLO PER LE NON CONFORMITÀ 75 Example 9 Un azienda che produce rotoli di carta desidera controllare il numero di non conformità per unità di prodotto. Sapendo che n =3echeλ 0 =2 costruire una carta di controllo unilaterale. a) Determinare il limite di controllo con α =0.05. Risposta a) Si tratta di una carta UNILATERALE. H 0 : λ t λ 0 H 1 : λ t > λ 0 In questo caso CL = nλ 0 =6 Calcolo UCL FP(UCL 2 nλ 0 ) < 1 α FP(UCL 1 nλ 0 ) quindi visto che FP(9 6) = FP(10 6) = segue che UCL =11.b) Calcolare il valore della funzione di potenza quando λ t =2, 5. Risposta b) e l ARL G(λ t )=1 FP(UCL 1 nλ t ) Quindi l ARL vale G(λ t =2.5) = 1 FP(10 7, 5) = = ARL(λ t =2.5) = 1 G(λ t ) = Carta c con i limiti 3-sigma Utilizzando la regola del 3-sigma la carta c risulta UCL = nλ 0 +3 p nλ 0 CL = nλ 0 LCL = nλ 0 3 p nλ 0

78 76 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI Campione Xin Campione Xin Tabella 5.3: Numero di non conformit nei campioni del prerun Carta c con λ 0 non noto Nel caso in cui nessun valore di riferimento viene assegnato è possibile stimare λ 0 usando il numero medio di difetti rilevati in un campione preliminare. Si prenda ad esempio la produzione di un cavo a fibra ottica. A tale scopo per 20 giorni vengono controllati 10 rotoli di cavo per evidenziare eventuali difetti. I dati rilevati su questo insieme di campioni preliminari sono riportati nella Tabella (5.3). Si vuole costruire una carta di controllo per le non conformità in modo tale che in media ci sio un falso allarme ogni 200 istanti campionari. Costruzione della carta. Dai dati a disposizione abbiamo ARL(H 0 ) = 200 quindi α = Stimo λ 0 P m i=1 bλ 0 = X in m n la linea centrale risulta quindi = =0.34 CL = n b λ 0 =3.4 Per il limite UCL,vistoche F P (8 3.4) = F P (9 3.4) = si ottiene UCL =10 La carta di controllo costruita per i campioni preliminari e riportata nella Figura (5.6) Dalla Figura si nota che tutti i campioni risultano prelevato quando il processo operava sotto H 0 quindi la carta così ottenuta può essere utilizzata per controllare da questo momento il processo produttivo.

79 5.2. CARTE DI CONTROLLO PER LE NON CONFORMITÀ UCL=10 CL Figura 5.6: Carta c per i campioni preliminari Carta per il numero di conformità per unità fisica (carta u) Controlla il numero di conformità per unità fisica. L unità fisica dipende ovviamente dal tipo di prodotto e più unità fisiche, diciamo d, costituiscono il prodotto. Indicando con X i il numero di non conformità nel i-esima unità di prodotto si ha X i Po(λ t ) Quindi se si indica con U j il numero di non conformità nella j-esima unità fisica con U j Po(λ t ) λ t = λ t d Conseguentemente la linea centrale e le linee di controllo si ottengono dividendo per d le analoghe quantità della carta c Carta c CL UCL LCL Carta u CL = CL d UCL = UCL d LCL = LCL d Funzione di potenza della carta u La funzione di potenza della carta u èlastessadellacartac:

80 78 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI G u (λ t )=Pr{X n/d UCL λ t } =Pr{X n UCL λ t } = G(λ t ) Approssimazioni utili In alcune situazioni è conveniente utilizzare delle approssimazioni della Poisson. Approssimazione della Poisson con la Normale se nλ 0 (1 λ 0 ) 9 allora µ UCL 0.5 Pr (Xn nλ0 UCL λ t = λ 0 )=α 1 Φ λ0 Quindi risolvendo per UCL si ottiene UCL nλ 0 + z 1 α p nλ e UCL viene approssimato, sempre per eccesso, all intero più vicino.

81 Bibliografia [1] Grant E.L., Leavenworth R.S,(1996) Statistical quality control McGraw- Hill [2] Mittag H. J., Rinne H. (1993) Statistical methods of quality assurance Chapman & Hall London [3] Montgomery D.C, (1997) Introduction to statistical quality control Third edition, John Wiley & Sons, New York [4] Montgomery D.D, (2000) Controllo statistico della qualità McGraw-Hill [5] Ryan, T. P. (1989) Statistical Methods for Quality Improvement Wiley New York [6] Shewart W. A. (1931) Economic Control of Quality Manufactured Product Van Nostrand, New York. 79