Esercitazione 8 del corso di Statistica 2

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1 Esercitazione 8 del corso di Statistica Prof. Domenico Vistocco Dott.ssa Paola Costantini 6 Giugno 8 Decisione vera falsa è respinta Errore di I tipo Decisione corretta non è respinta Probabilità α Decisione corretta Probabilità - α Probabilità - β Errore di II tipo Probabilità β Errore di I tipo: indica la probabilità di rifiutare l ipotesi nulla quando è vera. E indicata con α ed è anche denominata livello di significatività del test. Errore di II tipo: indica la probabilità di accettare l ipotesi nulla quando è falsa. E indicata con β. Esercizio n Il consumo settimanale di gas, in decimetri cubi, per il riscaldamento di un abitazione ha una distribuzione normale con scarto quadratico medio 35. In precedenza è stato osservato un consumo settimanale medio di gas par a 4 Avendo coibendato le mura dell appartamento, si ritiene che il consumo settimanale medio di gas sia, ora, 5 Per confrontare l ipotesi nulla, che il consumo medio di gas sia rimasto invariato, con l ipotesi alternativa, in base alla quale il consumo medio di gas è ridotto, si utilizza la seguente regola di decisione: l ipotesi nulla è respinta se in un campione di 5 osservazioni la media campionaria è minore di 5 a) Calcolare la probabilità dell errore di I tipo; b) Calcolare la probabilità dell errore di II tipo; c) Calcolare quale sarebbe la probabilità dell errore di I tipo se il valore critico fosse 8 d) Calcolare quale sarebbe la probabilità dell errore di II tipo se il valore critico fosse 8 a) La probabilità dell errore di I tipo è la probabilità che X assuma valori nella regione critica quando è vera ed è quindi la probabilità dell evento X 5 calcolata sull ipotesi nulla µ 4. Si ha:

2 α X P( X R. C. : µ 4) P( X 5 : µ 4) P : µ 4 35/ 5 7 P( Z,4) z(,4),9838,6 b) Sotto l ipotesi alternativa la media campionaria ha una distribuzione Normale con media 5 decimetri cubi e scarto quadratico medio 35. La probabilità di commettere un errore di II tipo è la probabilità che media campionaria assuma valore nella regione di accettazione, X 5, quando è vera, cioè µ 5. Si ha: X β P( X R. : µ 5) P( X 5 : µ 5) P : µ 5 35/ 5 7 P( Z,43) z(,43),936,764 X c) α P( X R. C. : µ 4) P( X 8 : µ 4) P : µ 4 35/ 5 7 P( Z,7) z(,7),9838,436 X d) β P( X R. : µ 5) P( X 8 : µ 5) P : µ 5 35/ 5 7 P( Z,87) z(,86),9686,34 Con l aumento della regione critica (da 5 a 8), la probabilità di commettere l errore di II tipo diminuisce; ciò comporterà un aumento della probabilità di commettere un errore di I tipo. Esercizio n Un azienda produttrice di distributori automatici di bibite intende installare un distributore in un ufficio pubblico. Gli addetti all ufficio sostengono che in media, col vecchio distributore, si vendevano 35 bibite al giorno, mentre l azienda addetta all installazione del distributore ha valutato una vendita media di 5 bibite al giorno. Per decidere sull installazione del distributore, l azienda lo mette in prova per 6 giorni. Determinare il valore: a) il valore critico legato alla regola di decisione assunta, posto α,5; b) β, facendo riferimento al valore critico calcolato in a). La regola di decisione è: > non si rifiuta si rifiuta Dalla probabilità α data, è possibile desumere il valore :

3 ,5 P( / µ 35) P z 35 6 Essendo α,5 deve essere P(z z ),5, da cui, riguardando la coda sinistra della variabile casuale, z -,645 Pertanto si giunge all uguaglianza 35 / 4,645, da cui, ,8875 b) La probabilità dell errore di II tipo è X 5 3, β P( X R. : µ 5) P( X 3,8875 : µ 5) P : µ 5 / 6 / 4 P( Z,35) z(,35),996,94 Esercizio n 3 Test unidirezionale sulla proporzione Un dirigente di un azienda che eroga servizi di pubblica utilità, con uffici dislocati su tutto il territorio nazionale, afferma che almeno il 9% degli uffici aperti al pubblico sono attrezzati per l accesso delle persone disabili. In un campione di 3 uffici, risultano attrezzati per l accesso delle persone disabili. Verificare, al livello di significatività del 5%, l affermazione del dirigente. Sia X Ber() la v.c. che descrive la popolazione; X assume valore se gli uffici sono attrezzati per le persone disabili. Le ipotesi da sottoporre a test sono: :,9 vs :, 9 In corrispondenza del livello di significatività α,5 si ha z, 5,645 in quanto φ(,5) -,5,95, che sulle tavole è uguale a,645. R. : ( >.645 R. C.: (.645

4 Dato che la proporzione campionaria è, 88, il valore osservato della statistica test 3 risulta: (,88,9,9, / 3,,978, Il valore -, si trova nella regione di accettazione; quindi, al livello di significatività del 5% non vi è motivo di dubitare che il dirigente affermi il vero. Esercizio n 4 Test per la varianza Un azienda produttrice di tubi di metallo riscontra una varianza dei diametri dei tubi prodotti pari a 96 mmq. A seguito dell introduzione di un nuovo processo, si estrae un campione di 3 tubi per verificare se c è stato un decremento significativo nel diametro e si riscontra che la varianza campionaria corretta è 85mmq. Decidere, ad un livello di significatività α,5, se il decremento nella varianza dei diametri è significativo, supponendo che la distribuzione dei diametri sia normale. Le ipotesi a confronto sono: : σ : σ 96 mmq 96 mmq Il test da utilizzare si distribuisce come una v.c χ con g 3-9 gradi di libertà. Il valore della statistica test è: ( n ) σˆ (3 )85 t n χ n, α 5, 677 σ 96 Per α,5 e 9 gradi di libertà, dalla tavola risulta χ,95;9 7, 7 Essendo t n > χ,95; 9 si rifiuta, e si conclude che il decremento nella vacanza è significativo.

5 Esercizio n 5 (test per la µ con σ non nota) Sia dato un campione di famiglie secondo l indice di affollamento (n. medio di componenti per stanza): Indice di affollamento n. famiglie c i c i n i (c i - ) n i [-,6] 6,3,8 5,48 ],6-,] 8,9 6,,8 ],-],6 6,8 ]-3] 7,5 7,5,83 4 5,5 9,77 Provare l ipotesi che nella popolazione l indice di affollamento sia pari a. significatività del %. µ µ Per il test si sceglie un livello di 5,5/4,56 Se σ è sconosciuto, una sua stima corretta è s n i ( i n ) 9,77,49; s, 7 4 Allora, sotto la quantità gradi di libertà. µ t è una determinazione di una v.c. t di Student con (n-) s / n t,56,7 / 4,56,9,35 Dato il livello di significatività α,, per determinare la regola di decisione occorre individuare il valore critico t 4,, 5 tale che una v.c. t 4 assuma valori maggiori con probabilità,5. Dalle tavole risulta t 4,, 5,697. Il valore della statistica test è risultato,5, pertanto è respinta cioè, concludiamo che, al livello di significatività del %, l indice di affollamento non sia pari ad.