Probabilità e Statistica
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- Bernardo Spina
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1 Probabilità e Statistica Intervalli di confidenza Marco Pietro Longhi C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica a.s. 2018/2019 Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 1
2 Esercizi Esercizio Un laboratorio analizza una certa quantità di un prodotto farmaceutico per determinare la concentrazione di principio attivo in esso presente. Tali analisi non sono perfettamente precise; se vengono ripetute per altre quantità estratte dal medesimo prodotto i risultati seguono una distribuzione normale con media µ, concentrazione del principio attivo nel prodotto, incognita e deviazione standard, caratteristica della procedura analitica usata, nota e pari a σ = 0.19 g l. Il laboratorio analizza 4 quantità estratte dal prodotto ottenendo i seguenti risultati: 2.066; 2.187; 1.893; in g l. La casa farmaceutica è interessata ad un intervallo di confidenza per la concentrazione di principio attivo presente nel prodotto al 90%, determinarlo. Calcolare, inoltre, l intervallo di confidenza per la concentrazione di principio attivo presente nel prodotto al 99%. Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 2
3 Proof Indichiamo con X la variabile casuale in esame. Per ipotesi si ha: X N ( µ, ). Per determinare l intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza nota, si ricorre alla variabile Z n = X n µ σ n che è distribuita come una normale di media 0 e varianza 1. Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 3
4 Fissato il livello di confidenza 1 α e indicato con z α 2 che [ P Z n z α 2 ] = α 2, il percentile tale dall intervallo di probabilità per la variabile casuale con distribuzione normale standardizzata si ha: [ ] [ ] X n µ 1 α = P Z n < z α = P 2 σ n < z α. 2 Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 4
5 Effettuando alcuni passaggi algebrici e sostituendo i valori campionari osservati si ottiene x n z α 2 σ n < µ < x n + z α 2 σ n. Essendo n = 4, x n = x 4 = = e 1 α = 0.90 = α = 0.10 = α 2 = 0.05 = z 0.05 = L intervallo di confidenza per il parametro µ risulta pari a 0, 19 0, < µ < = < µ < Ampiezza intervallo I 90% = (1, 883 ; 2, 195) e l (I 90% ) = 0, 312 Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 5
6 Se il livello di confidenza è al 99%, l intervallo di confidenza per il parametro µ risulta: x 4 z σ σ < µ < x 4 + z con P [Z 4 z ] = = z = Quindi I 99% = (1.794 ; 2.284), l (I 99% ) = 0.49 > l (I 90% ) Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 6
7 Esercizio Un segnale radio viene emesso con frequenza distribuita normalmente e con valore atteso µ e deviazione standard 30 khz. Supponendo di osservare la seguente serie di frequenze in khz: determinare una stima di µ e la probabilità che la frequenza stia nell intervallo [590 khz, 610 khz]. Determinare poi un intervallo di confidenza per µ al 95 per cento Proof Sia X la v.c. che denota la frequenza del segnale radio emesso, si ha X N (µ, 900). Lo stimatore per µ è X 15, la stima di µ richiesta è x 15 = Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 7
8 Determiniamo ora la P [590 X 610] = [ ] = P Z P [ 0, 68 Z 0, 01] Ne segue che P [590 X 610] = = Per determinare l intervallo di confidenza per la media, essendo la distribuzione normale di varianza nota, si ricorre alla variabile Z 15 = X 15 µ σ 15 N (0; 1) Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 8
9 L intervallo di confidenza bilaterale al livello 0, 95 = 1 α per µ è ( ) I = x 15 z α σ, x z α σ n 2 n con z α 2 = z 0.025, tale che P [Z 15 z ] = Consultando le tavole della normale, troviamo che z = 1.96, quindi sostituendo in I: σ = 30, n = 15, x 15 = risulta I = (595.09, ) Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 9
10 Supponiamo invece di voler ricavare per µ un intervallo di confidenza unilaterale al 95 per cento: Intervallo destro Posto α = P si ha 1 α = P [ ] [ ] X n µ σ > z α = P µ < X n z α, σ n n [µ > X n z α σ n ], con 0.95 = 1 α = P [Z 15 z α ] = z α = z 0.05 = Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 10
11 Sostituendo ( ) σ x 15 z 0.05, + = (597.49, + ). 15 Intervallo sinistro ( ) σ, x 15 + z 0.05 = (, ). 15 Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 11
12 Esercizio [Tema d esame 08/07/ C7] Si ritiene che il ph di una particolare soluzione chimica sia distribuito normalmente con media µ. Effettuando 4 misurazioni sulla soluzione, si sono rilevati i seguenti dati: Se è noto che σ 2 = , si determini un intervallo di confidenza bilaterale per la media µ al 95%. [I = (8, 151; 8, 249)] Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 12
13 Esercizio Un laboratorio farmaceutico deve calcolare la concentrazione µ di principio attivo in un dato composto chimico. I risultati dell analisi non sono certi, ma ripetuti possono mostrare che seguono una distribuzione normale. Dato un campione di ampiezza 3: 3.853; 3.588; in g l, determinare un intervallo di confidenza per la concentrazione µ di principio attivo al 90%. Proof Indichiamo con X la variabile casuale in esame. Per ipotesi si ha: X N ( µ, σ 2). Per determinare l intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza incognita, si ricorre alla variabile T n 1 = X n µ S n distribuita come una t g di Student con g = n 1 gradi di libertà. Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 13
14 Fissato il livello di confidenza 1 α e indicato con t α 2 ;n 1 il percentile ( ) tale che F t α 2 ;n 1 = 1 α 2, dall intervallo di probabilità per la variabile casuale t n 1 si ha: [ ] [ ] X n µ 1 α = P T n 1 < t α 2 ;n 1 = P S < t α 2 ;n 1. n Effettuando alcuni passaggi algebrici all interno delle parentesi e sostituendo i valori campionari osservati, si ottiene x n t α 2 ;n 1 s n < µ < x n + t α 2 ;n 1 s n. Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 14
15 Ricordiamo che s 2 = 1 n 1 n i=1 [ n ] (x i x n ) 2 = 1 xi 2 nx 2 n n 1 i=1 e sostituendo i valori: n = 3, x n = x 3 = , s 2 = 1 2 [ (3.853) 2 + (3.588) 2 + (3.954) 2 3(3.798) 2] (0.199) 2, 1 α = 0.90 = α = 0.10 = α 2 = 0.05 = t 0.05;2 = L intervallo di confidenza per il parametro µ risulta pari a , 199 < µ < = < µ < Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 15
16 Supponiamo di dover determinare un intervallo di confidenza unilaterale per la µ Intervallo sinistro (, x n + t α;n 1 ) s n con 1 α = P [T n 1 > t α;n 1 ] = P [T n 1 < t α;n 1 ]. Sostituendo n = 3, 1 α = 0.90 e α = 0.10 risulta P [T 2 < t 0.10;2 ] = 0.90 = t 0.10;2 = = I = (, 4.004) Intervallo destro ( ) s x n t α;n 1, + n con 1 α = P [T n 1 < t α;n 1 ]. Sostituendo n = 3 e α = 0.10 risulta t 0.10; = I = (3.592, + ). Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 16
17 Esercizio [Tema d esame 19/06/ C6] Il contenuto di acido solforico (in litri) di sette contenitori uguali è il seguente: 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, 9.6. Calcolare la lunghezza dell intervallo di confidenza bilaterale al 95% per il contenuto medio di questo tipo di contenitori. [l (I) = 0, 522] Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 17
18 5 Esercizio [Tema d esame 26/08/ C7] Si ritiene che il ph di una particolare soluzione chimica sia distribuito normalmente con media µ. Effettuando 4 misurazioni sulla soluzione, si sono rilevati i seguenti dati: Se σ 2 non è nota, si determini un intervallo di confidenza bilaterale per la media µ al 90%. [(8, 1501; )] Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 18
19 Esercizio [Tratto dal tema d esame 21/03/ C7] Per una industria di trafilati in alluminio è essenziale, per la qualità del prodotto, che la variabilità dello spessore sia molto bassa. Una nuova apparecchiatura promette una riduzione di tale variabilità; questa viene sperimentata tramite la produzione di un trafilato di spessore µ = 3 mm. Dato il campione 2.88; 2.93; 2.98 in mm, sapendo che la distribuzione dello spessore è normale, determinare l intervallo di confidenza per la varianza dello spessore del trafilato al 95%. Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 19
20 Proof Indichiamo con X la variabile casuale in esame. Per ipotesi si ha: X N ( 3, σ 2). Per determinare l intervallo di confidenza per la varianza di una popolazione normale con media nota, si ricorre alla variabile n (X i µ) 2 i=1 che è distribuita come una variabile casuale Chi-quadro con n gradi di libertà: χ 2 n. Fissato il livello di confidenza 1 α e indicato con χ 2 α;n il percentile tale che [ ] P χ χ 2 α;n = α σ 2 Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 20
21 Si ha P [ ] χ χ 2 α 2 ;n = 1 α 2. 1 α = P χ2 1 α 2 ;n < n (X i µ) 2 i=1 σ 2 < χ 2 α 2 ;n Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 21
22 Sostituendo i valori: n = 3, n (X i µ) 2 i=1 = P χ 2 < σ 2 < α 2 ;n n (X i µ) 2 i=1 χ 2 1 α 2 ;n n (x i µ) 2 = 3 (x i 3) 2 = i=1 (2.88 3) 2 + (2.93 3) 2 + (2.98 3) 2 = , inoltre 1 α = 0.95 = α = 0.05 = α 2 = 0.025, ] [ ] P [χ χ 2 1 α2 ;n = P χ χ ;3 = = χ ;3 = [ ] [ ] P χ χ 2 α 2 ;n = P χ χ ;3 = = χ ;3 = i=1 Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 22
23 Ne segue che l intervallo di confidenza per la varianza al 95% è < σ2 < = < σ2 < Esercizio Le marmitte catalitiche devono essere sottoposte ad un test per verificare se i livelli di certe sostanze tossiche siano entro limiti precisi. Un campione casuale di ampiezza 3 viene estratto dalla produzione settimanale di una ditta produttrice di marmitte catalitiche. Una prova su strada rileva che i valori per una particolare sostanza nociva prodotti da ciascuna marmitta catalitica sono 885, 889, 893, dove l unità di misura è milligrammi al chilometro, Sapendo che l emissione di tale sostanza tossica ha distribuzione normale, si determini un intervallo di confidenza per la varianza al 99%. Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 23
24 Proof Indichiamo con X la variabile casuale in esame. Per ipotesi si ha: X N ( µ, σ 2). Per determinare l intervallo di confidenza per la varianza di una popolazione normale con media incognita, si ricorre alla variabile (n 1) S 2 σ 2 = n ) 2 (X i X n che è distribuita come una variabile casuale Chi-quadro con n 1 gradi di libertà: χ 2 n 1. Fissato il livello di confidenza 1 α e indicato con χ 2 α;n 1 il percentile tale che [ ] P χ χ 2 α;n 1 = α, i=1 σ 2 Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 24
25 si ha P [ χ χ 2 α 2 ;n 1 ] = 1 α 2. 1 α = P 21 (n 1) S2 [χ α2 ;n 1 < σ 2 n ) 2 (x i X n i=1 = P χ 2 < σ 2 < α 2 ;n 1 < χ 2 α 2 ;n 1 ] n ) 2 (x i X n i=1 χ 2 1 α 2 ;n 1 Sostituendo i valori: n = 3, x n = x 3 = = 889, [ 3 ] s 2 = 1 xi 2 3x 2 3 = 1 [ (885) 2 + (889) 2 + (893) 2 3(889) 2] = 16, 2 2 i=1 Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 25
26 inoltre 1 α = 0.99 = α = 0.01 = α 2 = 0.005, ] P [χ χ 2 1 α2 ;n 1 = P [ ] χ χ ;2 = Quindi χ ;2 = [ ] [ ] P χ χ 2 α 2 ;n 1 = P χ χ ;2 = = χ ;2 = Ne segue che l intervallo di confidenza per la varianza al 99% è < σ2 < = < σ2 < 3200, l(i) = con approssimazione alla quarta cifra decimale. Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 26
27 Si osservi come tale intervallo sia di utilità dubbia, vista la sua ampiezza, tale ampiezza è dovuta principalmente alla limitatezza del numero di osservazioni, n = 3 ed alla alta richiesta di confidenza. Esercizio [Tema d esame 10/07/ C6] I pesi, in decagrammi, di 10 confezioni di semi di erba sono: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2, Trovare un intervallo di confidenza bilaterale al 98% per la varianza dei pesi di tutte le confezioni. [I = (0.118; 1.232)] Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 27
28 Esercizio Un laboratorio analizza una certa quantità di un prodotto farmaceutico per determinare la concentrazione di principio attivo in esso presente. Tali analisi non sono perfettamente precise; se vengono ripetute per altre quantità estratte dal medesimo prodotto i risultati seguono una distribuzione normale con media µ, concentrazione del principio attivo nel prodotto, incognita e deviazione standard, caratteristica della procedura analitica usata, nota e pari a σ = 0, 19 g l. Si supponga che il laboratorio farmaceutico sia interessato ad analisi molto precise e stabilisca che, per l intervallo di confidenza per la media al 90%, il margine di errore massimo tollerabile è 0, 02 g l, ovvero che l ampiezza dell intervallo sia minore o uguale a 2 0, 02 g l. Quale numerosità deve avere il campione per soddisfare tale richiesta? Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 28
29 Proof Indichiamo con X la variabile casuale in esame. Per ipotesi si ha: X N ( µ, 0, 19 2). P [ X n z α 2 σ n < µ < X n + z α 2 σ n ] = Sostituendo risulta ( I = x n , x n ), n n e l(i) = x n n x n n = n. Per ipotesi l(i) , quindi n 0.04 = n , ma n è numero naturale, per cui il campione deve avere numerosità maggiore o uguale a 245. Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 29
30 Esercizio [Tema d esame del 12/10/2004-E5] Vengono effettuate in tempi diversi 20 misurazioni della concentrazione di un dato elemento in un materiale, e si osserva una media di 1.23 unità ed una varianza di 0.4 unità al quadrato. Nell ipotesi che questa concentrazione abbia un modello statistico normale con parametri sconosciuti, determinare l intervallo di confidenza per la media al 95%. Proof Indichiamo con X la variabile casuale in esame. Per ipotesi si ha: X N ( µ, σ 2). Si tratta di determinare l intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza incognita, si ricorre alla variabile T 20 1 = X 20 µ S 20 distribuita come una t 19 di Student con 19 gradi di libertà. Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 30
31 Ne segue P [ P x 20 t α 2 ;19 s 20 < µ < x 20 + t α 2 ;19 s 20 ] = α = 0.95 = α = 0.05 = α 2 = [ T 19 t α 2 ;19 ] Quindi I = (0.934, 1.526) = 1 α 2 = = t α 2 ;19 = t 0.025;19 = Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 31
32 Esercizio [Tema d esame del 13/12/2005-E2] Si è misurata 15 volte la temperatura di una stanza ottenendo i seguenti valori temperatura C frequenza Supponendo che la temperatura sia una v.a. normale con varianza σ 2 = 9, determinare un intervallo di confidenza della media al 95%. Quante misure occorre effettuare affinché l intervallo di confidenza della media al 90% abbia lunghezza minore di 1? [ I = (12, 48; 15, 52) ] n > 98 Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 32
33 Esercizio (Tema d esame del 25/07/2006 -E2) Il diametro delle sfere di cuscinetti costruiti in serie da una macchina automatica ha distribuzione normale con media incognita e varianza cm 2 (0, 048) 2. Determinare un intervallo di confidenza al 98% per il diametro medio della produzione di sfere, sapendo che le misurazioni dei diametri di un campione casuale di 256 sfere di cuscinetti costruiti dalla macchina danno un diametro medio di cm 0, 824 (scrivere gli estremi dell intervallo con quattro cifre decimali). Inoltre, qual è l ampiezza minima del campione affinché l intervallo di confidenza al 90% abbia ampiezza minore o uguale a 0, 01 cm? [ I = (0, 8170; 0, 8310) n = 250 ] Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 33
34 Esercizio (Tema d esame del 12/01/2016 -C7) Si ritiene che i tempi di reazione ad un certo stimolo siano distribuiti normalmente con media µ. Di seguito sono riportati i tempi di reazione, espressi in secondi, di un campione casuale Determinare un intervallo di confidenza al 90% per µ. [I = (0, 1093; 0, 4907), l (I) = 0, 3814] Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 34
35 Esercizio (Tema d esame del 14/09/2004 -E5) Le misure dei diametri di un campione casuale di 200 sferette da cuscinetto prodotte da una macchina in una settimana hanno una media campionaria cm ed una deviazione standard campionaria cm. Determinare l intervallo di confidenza per la media della popolazione con livello di confidenza del 95%. [I = (0, 818; 0, 830)] Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 35
36 Esercizio (Tema d esame del 15/04/2019 -C7) La temperatura di un locale è modellabile con una variabile casuale normale di media e varianza sconosciute. In una settimana sono state rilevate le seguenti temperature 19.9 C 19.5 C 19.8 C 20.2 C 19.7 C 20.0 C 19.5 C Determinare l intervallo di confidenza bilaterale per la media al 95%. [( ; )] Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 36
37 Esercizio (Tema d esame del 02/07/2018 -C7) Il peso (in kg) di certi animali da allevamento dopo un anno circa dalla nascita può assumersi essere una variabile casuale normale. In un allevamento sono stati rilevati i seguenti pesi: Calcolare un intervallo di confidenza bilaterale al 95% per il peso medio. [( ; )] Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 37
38 Esercizio (Tema d esame del 15/01/2018 -C6) La concentrazione media di zinco ottenuta da un campione di 36 misurazioni in diversi punti lungo un fiume è 2.6 grammi per millilitro. Sapendo che la deviazione standard è 0.3 grammi per millilitro, calcolare la lunghezza dell intervallo di confidenza bilaterale al 95% per la media della concentrazione di zinco nel fiume. [(0.196)] Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 38
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