Distribuzione Normale
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- Ambrogio Ruggeri
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1 Distribuzione Normale istogramma delle frequenze di un insieme di misure relative a una grandezza che può variare con continuità popolazione molto numerosa, costituita da una quantità praticamente illimitata di individui (popolazione infinita) area dell istogramma uguale a 1 (normalizzata) aumentando il numero di intervallini n = 5, 9, 17,... l istogramma tende a stabilizzarsi intorno a una forma limite: la curva di distribuzione delle frequenze nel caso in figura: y = ae b(x c)2 distribuzione normale o gaussiana
2 Distribuzione Normale Curve Gaussiane y = ae b(x c)2 Se la distribuzione è di tipo gaussiano con si ha media aritmetica µ deviazione standard σ a = 1 σ 2π b = 1 2σ 2 c = µ La corrispondente curva normale sarà y = 1 (x µ) 2 σ 2π e 2σ 2 Curva normale standardizzata: y = 1 2π e x2 2 µ = 0, σ = 1
3 Distribuzione Normale valori di u Nell intervallo [µ uσ, µ + uσ] Fuori dell intervallo [µ uσ, µ + uσ] Nell intervallo [µ + uσ, + ) , 5 0, 2 0, , , , 4 0, , , , 6 0, , , , 8 0, , , , , , , 2 0, , , , 4 0, , , , 6 0, , , , 8 0, , , , , , , 2 0, , , , 4 0, , , , 6 0, , , , 8 0, , , , , , , 2 0, , , % µ σ µ µ + σ Nell intervallo [µ σ, µ + σ] cade circa il 68% delle misure Fissati due valori x 0, x 1 sull asse delle ascisse, l area sottesa dal grafico sull intervallo [x 0, x 1 ] rappresenta la porzione di misure che cadono nell intervallo considerato. 95% µ 2σ µ µ + 2σ Nell intervallo [µ 2σ, µ + 2σ] cade circa il 95% delle misure
4 Distribuzione Normale Esercizi Esercizio 1. Supponendo che la distribuzione dei pesi degli individui di una popolazione sia gaussiana con media µ = 61 Kg e deviazione standard (scarto quadratico medio) σ = 5Kg, (a) scrivere l equazione della gaussiana relativa ai pesi di tale popolazione; (b) calcolare la percentuale di individui il cui peso è compreso tra 59Kg e 63 Kg.
5 Distribuzione Normale Esercizi Esercizio 2. Le altezze h di un gruppo di reclute sono distribuite con buona approssimazione secondo una curva gaussiana con media µ = 170 cm e deviazione standard (scarto quadratico) σ = 5cm. Le divise sono disponibili in 5 taglie: 1. per individui di altezza 161 cm 2. per individui di altezza compresa tra 161 e 167 cm 3. per individui di altezza compresa tra 167 e 173 cm 4. per individui di altezza compresa tra 173 e 179 cm 5. per individui di altezza > 179 cm. Stimare il numero delle divise delle varie taglie sapendo che le reclute sono 750.
6 Distribuzione Normale Esercizi Soluzione: si tratta di stimare la percentuale di reclute che cade in ciascuna delle quattro differenti classi di altezza: 1. per h 161 = σ 3.6% (27 reclute) 2. per 161 < h 167 h ( σ, σ] 23.8% ( 179 reclute) 3. per 167 < h 173 h ( σ, σ] 45.1% ( 338 reclute) 4. per 173 < h 179 h ( σ, σ] 23.8% ( 179 reclute) 5. per h > 179 = σ 3.6% (27 reclute)
7 Tabella Curva Gaussiana valori di u Nell intervallo [µ uσ, µ + uσ] Fuori dell intervallo [µ uσ, µ + uσ] Nell intervallo [µ + uσ, + ) , 5 0, 2 0, , , , 4 0, , , , 6 0, , , , 8 0, , , , , , , 2 0, , , , 4 0, , , , 6 0, , , , 8 0, , , , , , , 2 0, , , , 4 0, , , , 6 0, , , , 8 0, , , , , , , 2 0, , , 0007
8 Tabella Curva Gaussiana aree sottese dalla curva gaussiana sull'intervallo [, + z ] z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,10 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,30 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,40 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,50 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,60 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,70 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,80 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,90 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,00 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,10 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,20 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,30 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,40 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,50 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,60 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,70 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,80 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,90 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,00 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,10 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,20 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,30 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,40 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,50 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,60 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,70 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,80 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,90 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,00 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
9 Esercizi Esercizio 3. Il diametro di certe biglie di acciaio segue una distribuzione gaussiana di media µ = 6.2mm e deviazione standard σ = 0.05mm. Dire quale è la percentuale di biglie con diametro compreso tra 6.3mm e 6.35mm. Soluzione: [6.3, 6.35] = [µ + 2σ, µ + 3σ] 2.15%
10 Teorema del Limite Centrale Problema. Determinare come la media campionaria x e la deviazione standard campionaria s misurano la media µ e la deviazione standard σ della popolazione. È data una popolazione numerica di media µ e deviazione standard σ. Da essa estraiamo dei campioni casuali C 1, C 2,..., C i,..., ciascuno formato da n individui, con n > 30. Possiamo calcolare la media campionaria x i di ciascun campione C i ed ottenere così un nuovo insieme numerico, quello delle medie campionarie. Come si distribuiscono le medie campionarie? Manifestano una tendenza in un certo senso universale, seguendo una legge generale, oppure il loro comportamento dipende dalla distribuzione della popolazione?
11 Teorema del Limite Centrale Teorema. Sia data una popolazione numerica infinita di media µ e deviazione standard σ da cui vengono estratti dei campioni casuali formati ciascuno da n individui, con n abbastanza grande (n > 30). La distribuzione delle medie campionarie tende a una distribuzione gaussiana di media µ x = µ e deviazione standard σ x = σ n. In altre parole, anche in una popolazione che non segue il modello gaussiano, le medie campionarie, se calcolate su campioni abbastanza grandi, tendono a distribuirsi secondo una legge gaussiana.
12 Tabella Curva Gaussiana aree sottese dalla curva gaussiana sull'intervallo [, + z ] z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,10 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,30 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,40 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,50 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,60 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,70 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,80 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,90 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,00 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,10 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,20 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,30 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,40 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,50 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,60 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,70 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,80 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,90 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,00 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,10 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,20 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,30 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,40 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,50 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,60 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,70 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,80 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,90 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,00 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
13 Intervalli di Confidenza Come si utilizza il teorema del limite centrale? Supponiamo di avere un campione casuale abbastanza grande. Calcoliamo la media campionaria x. La distribuzione delle medie campionarie è gaussiana, quindi: il 99% dei dati cade nell intervallo [µ 2.58 σ x, µ σ x ], cioè per il 99% dei campioni: µ 2.58 σ x x µ σ x il 95% dei dati cade nell intervallo [µ 1.96 σ x, µ σ x ], cioè per il 95% dei campioni: µ 1.96 σ x x µ σ x...
14 Intervalli di Confidenza Lette in termini di µ, le disuguaglianze precedenti definiscono gli intervalli di confidenza per la media µ della popolazione: intervallo di confidenza al 99%: x 2.58 σ x µ x σ x intervallo di confidenza al 95%: x 1.96 σ x µ x σ x... L ampiezza degli intervalli di confidenza è espressa in funzione di σ x = σ n che dipende dalla deviazione standard, incognita, della popolazione.
Distribuzione normale
Distribuzione normale istogramma delle frequenze di un insieme di misure relative a una grandezza che varia con continuità popolazione molto numerosa, costituita da una quantità praticamente illimitata
Distribuzione Normale
Distribuzione Normale istogramma delle frequenze di un insieme di misure di una grandezza che può variare con continuità popolazione molto numerosa, costituita da una quantità praticamente illimitata di
Distribuzione Normale
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