Esperimentazioni di Fisica 1. Prova in itinere del 12 giugno 2018

Transcript

1 Esperimentazioni di Fisica 1 Prova in itinere del 1 giugno 018

2 Esp-1 Prova in Itinere n. - - Page of 6 1/06/ (1 Punti) Quesito L incertezza da associare alle misurazioni eseguite con un certo strumento di misura diretta del volume di un corpo solido è costante e vale δ = 0. cm 3. Questa incertezza è dovuta alla determinazione dello zero della scala dello strumento. Con questo strumento si eseguono due misurazioni i cui risultati sono V 1 = 3.5 cm 3 e V = 35.6 cm 3. Trascurando gli altri eventuali contributi all incertezza delle misurazioni, si calcoli l incertezza sulla grandezza R = V 1 /V. Soluzione. [unc040] Le due misurazioni di volume si esprimono come: Il valore del rapporto R è: V 1 = (3.5 ± 0.) cm 3, V = (35.6 ± 0.) cm 3 R = V 1 V = = Poiché l incertezza è dovuta alla determinazione dello zero e le misure sono eseguite con lo stesso strumento è ragionevole assumere che le due misure siano correlate con coefficiente di correlazione prossimo a 1. Applicando la formula della propagazione delle incertezze si ottiene: ( ) ( ) R R u R = δ + δ + ρ R ( R R δ = δ + R ) (ρ = 1) V 1 V V 1 V V 1 V Tenendo conto che Si ottiene infine: In conclusione si ha: u R = ( ) R V 1 δ ( V V 1 V = 1 ( ) R V V ) = 0. R = ± = V 1 V = (1 Punti) Quesito. Nell esperimento in cui si misurano le caratteristiche di una molla con il metodo dinamico si confrontano i dati sperimentali con il modello matematico: T = 4π k (m + m eq) (1) dove m è la massa applicata alla molla e T il relativo periodo di oscillazione del sistema massa più molla. Il parametro m eq tiene conto della parziale partecipazione della massa della molla al moto oscillatorio. Nell esperimento sono stati acquisiti un certo numero di coppie di dati (T i, m i ). Alle coppie (T i, m i) si adatta tramite il metodo dei minimi quadrati la funzione lineare y = a + bx, con y = T e x = m. Le sommatorie del metodo dei minimi quadrati (con la notazione adottata nel corso) risultano avere i seguenti valori: S 0 = s 4, S x = kg s 4, S xx = kg s 4 Calcolare k e m eq con le loro incertezze. S y = s, S xy = kg s

3 Esp-1 Prova in Itinere n. - - Page 3 of 6 1/06/018 Soluzione. [unc039] La stima dei parametri a e b data dal metodo dei minimi quadrati si ottiene risolvendo il sistema: { S 0 a + S x b = S y S x a + S xx b = S xy Utilizzando la forma matriciale si ottiene: ( ) â = ˆb ( S0 S x S x S xx ) 1 ( Sy S xy ) = 1 ( Sxx S x S x S 0 ) ( Sy S xy ) dove = S 0 S xx (S x ) = è il determinante della matrice dei coefficienti delle incognite. Numericamente: ( ) ( ) ( ) ( ) â = ˆb = Da cui si ottiene: k = 4π = kg s, m eq = â = kg ˆb ˆb Dalla matrice di covarianza dei parametri, data dalla matrice inversa dei coefficienti, si calcolano le incertezze su k e m eq : ( ) ( ) 1 Var[a] Cov[a, b] S0 S = x Cov[b, a] Var[b] S x S xx per cui: e u meq in conclusione: =m eq (ua a = kg u k = k u b b = = kg s 1.98 ) + ( ua a ) + Cov[ab] = ab k = (0.6 ± 0.019) kg s, m eq = (0.008 ± ) kg 3. (1 Punti) Quesito. Le misure di una grandezza fisica x sono distribuite secondo una Breit-Wigner: f(x) = Γ Γ + (x x o ) Date due misure x 1, x della grandezza x, calcolare la stima di massima verosimiglianza del parametro Γ, supponendo noto il parametro x o. Per semplificare la notazione utilizzare le posizioni y 1 = x 1 x o, y = x x o.= Soluzione. [lkl005] La stima di massima verosimiglianza si ottiene massimizzando la funzione di verosimiglianza che nel caso in esame dipende da un unico parametro Γ. Ponendo come suggerito y 1 = x 1 x o e y = x x o, la funzione di verosimiglianza in questo caso si scrive: ( ) Γ Γ L(Γ) = ln Γ + y1 Γ + y = ln(γ + y1) ln(γ + y) + ln Γ

4 Esp-1 Prova in Itinere n. - - Page 4 of 6 1/06/018 Annullando la derivata rispetto a Γ si ha: d dγ L = Γ Γ + y1 Γ Γ + y + Γ = 0 da cui Γ [Γ + y 1 + Γ + y ] =(Γ + y 1)(Γ + y ) Γ 4 + Γ (y 1 + y ) =Γ 4 + Γ (y 1 + y ) + y 1y Γ = y 1 y = x 1 x o x x o 4. (1 Punti) Quesito. Si vuole verificare se due distinte sorgenti radioattive indicate con A e B abbiano la stessa attività. La sorgente A posta di fronte ad un contatore fa registrare 390 conteggi in 15 s. La sorgente B posta di fronte allo stesso contatore fa registrare 1187 conteggi in 45 s. Considerare verificata l ipotesi (le sorgenti hanno la stessa attività) se la differenza tra le attività misurate è contenuta nell intervallo di confidenza che contiene il livello di confidenza del 90%. Soluzione. [chi015] L attività dell sorgente A è: λ A = = 6.0 Cont./s Poiché i decadimenti radioattivi seguono la statistica di Poisson l incertezza dell attività della sorgente A è 390 u A = = Cont./s 15 Inoltre si può assumere che la distribuzione di λ A sia gaussiana per il limite della distribuzione di Poisson. Riassumendo per la sorgente A si ha: Per la sorgente B si ottiene in modo analogo: λ A = (6.0 ± 1.3) Cont.s/s λ B = = 6.37 Cont./s L incertezza dell attività della sorgente B è 1187 u B = = Cont./s 45 A maggior ragione si può assumere che la distribuzione di λ B sia gaussiana per il limite della distribuzione di Poisson. Riassumendo per la sorgente B si ha: λ B = (6.37 ± 0.77) Cont.s/s La differenza λ = λ A λ B tra le due attività, nell ipotesi che le due attività siano uguali, è una gaussiana con valore medio nullo e deviazione standard u A + u B = 1.5Cont./s. La variabile standardizzata z calcolata per i valori misurati è quindi: z = λ u A + u B = = Ricordando che l intervallo di confidenza in z che corrisponde ad un livello di confidenza del 90% è 1.96, si può ritenere verificata l ipotesi di uguaglianza dell attività delle due sorgenti.

5 Esp-1 Prova in Itinere n. - - Page 5 of 6 1/06/ (6 Punti) Quesito. Il risultato di un esperimento in cui la grandezza y è stata misurata in funzione della grandezza x è riportato nella figura assieme ad un fit quadratico a tre parametri (curva continua). Le incertezze delle misure non sono note ma si suppone che siano sono tutte uguali fra loro. Il fit del tipo y = a + bx + cx, è stato eseguito in modo non pesato (ovvero tutti i pesi sono stati presi uguali a 1) e sono stati stimati i tre parametri (a, b e c) della parabola. Nella tabella sono riportati i valori delle misure e i rispettivi valori attesi ottenuti da l fit. Stimare l incertezza delle misure y i, esplicitando sotto quali condizioni la stima è valida y y fit x y exp fit x Soluzione. [chi016] Indicando con u l incertezza, non nota, di ognuna delle misurazioni delle y i e ipotizzando inoltre che tali misure siano distribuite in modo normale si può scrivere il χ del fit ottenuto come: χ = 5 [y i y th (x i )] i=1 = 1.98 u u = 1 u [ ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ] = Con le ipotesi fatte, il valore atteso del χ è dato dal numero dei gradi di libertà che nel caso in esame è ν = 5 3 =. Quindi per la stima di u si può usare l equazione da cui: χ = 1.98 u = 1.98 u = = (6 Punti) Quesito. Enunciare e dimostrare la legge dei grandi numeri (nota anche come teorema di Bernulli).

6 Esp-1 Prova in Itinere n. - - Page 6 of 6 1/06/018 Soluzione. [prb006] Vedi il paragrafo 6.. degli appunti in rete. 7. (6 Punti) Quesito. La vita media di una lampadina è distribuita in modo normale con una deviazione standard σ = 5. ore Da un campione di 6 lampadine prese a caso è stata ottenuta una durata media di 1014 ore. Stimare l intervallo di confidenza del valore medio della popolazione di riferimento con il 99% di livello di confidenza. Soluzione. [coin003] Poiché è noto che la vita media delle lampadine esaminate è gaussiana con una deviazione standard σ = 5 h, l intervallo di confidenza relativo al campione di dimensione 6 si ottiene utilizzando la variabile normale standardizzata z definita come: z = d / 6 = d dove d indica la variabile aleatoria che descrive la durata di vita di una lampadina e 5/ 6 = 3.17 h è la deviazione standard della stima della media (1014 h). Dalle tabelle si ricava che l ampiezza in z dell intervallo che contiene il 99% di livello di confidenza è.581, quindi l intervallo cercato è: (µ µ ) = ( )h 8. (6 Punti) Quesito. La prova di funzionamento di un campione di 00 esemplari di un componente elettronico mostra che 19 di essi sono difettosi. Determinare l intervallo di confidenza con il 95% di livello di confidenza della frazione difettosa dell intera produzione del componente (molte decine di migliaia di pezzi). Soluzione. [coin004] L esito della prova del funzionamento dei 00 componenti è descritto da una distribuzione binomiale con stima di probabilità di successo ˆp = 19/00 = 0.095, stima del valore medio ˆµ = np = 19 e stima della varianza s = npq = 00(19/00)(181/00) = 17. (deviazione standard s = s = 4.1). La deviazione standard della stima ˆp è: s npq n = = 0.01 n Data la dimensione del campione si può assumere che la distribuzione della probabilità di trovare un componente difettoso sia normale con valore medio e deviazione standard Il livello di confidenza del 95% per una distribuzione normale standardizzata è contenuto nell intervallo di confidenza di ampiezza 1.96 in z. Nel caso in esame l intervallo di confidenza cercato è: ( ) = ( )