Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13. Il Concetto di Distribuzione Condizionata ( )

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1 Il Concetto di Distribuzione Condizionata Se B è un evento, la probabilità di un evento A condizionata a B vale: ponendo: P A B = ( ) P A B P B A = { x} si giunge al concetto di distribuzione condizionata della v.a. : = ( ) F x B P x B Per derivazione si ottiene la densità condizionata di : d d f x B F x B P x B dx dx = = { } 375

2 Il Concetto di Distribuzione Condizionata (segue) Data una v.a., per il Teorema della Probabilità Totale segue che, se B 1,B,...,B N è una partizione di S, allora: ( < + ) = P( x x dx B1) P( B1) P x x dx = < P x < x + dx B P B P x < x + dx B P B N N N = 7 Quindi la densità di probabilità di una v.a. può essere espressa in funzione delle densità condizionate: B 1 B 4 B B 3 = { } + { } + + { } f x f x B P B f x B P B... f x B P B 1 1 N N S B 5 B 6 B 7 376

3 Esempio di Densità Condizionata Se v.a. modella il diametro dei pezzi prodotti da una fabbrica che ha due diverse macchine di produzione M 1 e M, per cui: M produce pezzi con diametro N ( η, σ ) M produce pezzi con diametro N ( η, σ ) definiti gli eventi: B = { Il pezzo è prodotto da M } 1 1 se P( B1 ) B = { Il pezzo è prodotto da M } = p e P( B ) = 1 p, la v.a. ha la seguente d.d.p.: 377

4 Esempio di Densità Condizionata (segue) ( x η ) ( x η ) p 1 1 p = + σ 1 π σ1 σ π σ f x exp exp N(η 1 = 5, σ 1 = 1 mm) N(η = 9, σ = 0.8 mm) Densità condizionata Densità di Probabilità Diametro (mm) p = 0.8, ( η 1 = 5 mm, σ 1 = 1 mm), ( η = 9 mm, σ = 0.8 mm) 378

5 Densità Condizionata: Troncamento di una Distribuzione Dalla definizione di densità condizionata risulta: Se per l'evento condizionante è: { < + } = P x x dx B f x B dx B = { a < b} il campo di variabilità di viene troncato f x a< b dx= Quindi f ( x B) = 0 se { x a} oppure { x b} f x a< b = { < + < } P{ a< b} P x x dx, a b >, altrimenti è: f ( x) F b F a 379

6 Esempio di Troncamento di una Distribuzione diametro dei pezzi prodotti: N ( η, σ) { } B = Si accettano solo pezzi con diametro ( η σ ) < ( η+σ ) Densità di probabilità di condizionata all evento B. f x B = f x η σ< η+σ = ( x η) 1 1 exp η σ< x η+σ = F ( η+σ) F ( η σ) πσ σ 0 altrove 380

7 Esempio di Troncamento di una Distribuzione Gaussiana Densità di probabilità In rosso: f ( x x η σ ) < con η = 0, σ = 1 381

8 Esempio di Troncamento di una Distribuzione Gaussiana.5 Densità di Probabilità In rosso: f x x η < σ con η = 0, σ = 1 38

9 Esempio di Troncamento di una Distribuzione Gaussiana Densità di Probabilità In rosso: f ( x x η σ ) < con η = 0, σ = 1 383

10 Distribuzione Condizionata di Due Variabili Aleatorie La distribuzione di una variabile aleatoria condizionata ad una variabile aleatoria è definita come: Verifica: Ricordando che: P A B = ponendo: ( ) P A B P B F ( y x) 1 F = f x x ( x,y) B B y y A A A B x x + dx x x + dx A = { y }, B = { x < x +Δ x} 384

11 Distribuzione Condizionata di Due Variabili Aleatorie (segue) La P( A B ) è pari alla F ( ) y x e vale: ( ) lim ( ) F y x = F y x < x+δ x = Δx 0 ( +Δ, ) (, ) 1 F x x y F x y = lim f x Δx Δx 0 che coincide con la definizione data F ( y x) 1 F = f x x ( x,y) y y F ( x,y ) x x + dx ( + ) F x dx,y x x + dx 385

12 Densità Condizionata di Due Variabili Aleatorie Per derivazione rispetto a y di F ( ) condizionata: 1 f ( y x ) = f ( x ) x y y x si ottiene la densità F ( x,y) sostituendo la definizione di densità congiunta: f ( y x) = f f ( x,y) ( x) f y x. A volte f ( y x ) è scritta come 386

13 Interpretazione della Densità Condizionata Dato un intervallo ΔΔ x y sul piano x, y: 1 1 f y x P y y y x x x P C B Δy Δy ( ) { < +Δ < +Δ } = ( ) f ( y x) 1 Δy ( ) P B C P B 387

14 Interpretazione della Densità Condizionata (segue) ( y x) P( B C) = P{ x< x+δ x,y< y+δ y} P( B) = P{ x< x+δ x} P{ x< x+δ x,y< y+δ y} P{ x< x+δx} f ΔΔ x y Δx che, passando al limite per Δx 0, Δy 0, è l espressione: ( ) f y x = f f ( x, y) ( x) 388

15 Teorema della Probabilità Totale per una Coppia di v.a. Ricordando che: + f ( y) = f ( x,y) dx dall'espressione della densità condizionata f ( y x ) segue: + f ( y ) = f ( y x) f ( x) dx quest ultima espressione è il Teorema della Probabilità Totale per una coppia di variabili aleatorie. 389

16 Formula di Bayes per una Coppia di Variabili Aleatorie Dal Teorema della Probabilità Totale per una coppia di variabili aleatorie segue la formula di Bayes: f = f ( y x) f ( x) ( x y) f ( y) f ( y x) f ( x) + = = f y x f x dx 390

17 Definizione: Valori attesi condizionati Dato un evento A, si definisce valore atteso della v.a. condizionata ad A la quantità: Definizione: + E[ A] = y f ( y A) dy Date due variabili aleatorie e si definisce il valore atteso di condizionato a la quantità: E = y f ( y x) dy che si può estendere a una funzione g( ): + = ( ) + E g g y f y x dy 391

18 Definizione: Curva di Regressione Il valore atteso di condizionato a è una funzione ( x) + [ ] E x =φ x = y f y x dy φ che definisce la curva di regressione di su. y () x x x+dx x 39

19 Significato della Curva di Regressione y =φ x E y x o x 0 Rappresentazione della f x,y con curve di livello 393

20 Significato della Curva di Regressione (segue) La curva di regressione φ ( x) per ogni x, rappresenta il baricentro delle masse di probabilità appartenenti alla striscia ( x,x + dx) del piano( x,y ). Proprietà: verifica: [ ] [ ] E φ = E E = E E φ = f x y f y x dy dx = [ ] = y f x, y dydx = = y f y dy = E 394

21 Definizione: La Bivariata Gaussiana Una coppia ( 1, ) di variabili aleatorie è una bivariata gaussiana se: f ( x,x ) = k exp q ( x,x ) dove q (, ) è una forma quadratica definita positiva. La densità congiunta si può ricavare considerando una coppia di variabili aleatorie gaussiane ed indipendenti (, 1 ) 1 Trasformazione Lineare ( 1, ) 395

22 Siano 1, variabili aleatorie indipendenti Gaussiane Standard 1 1 ( ) f y 1 1, y = exp y1 + y π con a e b costanti positive. 1 = a 1 + b = - a 1 + b. Il coefficiente di correlazione tra 1 e vale: Se a = 1, b = 1 Se 1 ρ a =, r [ ] E b a 1 1 = = σ1 σ b + a r = ρ b = con ρ costante compresa tra -1 e +1. = ρ r 1 396

23 1 f x,x 1 = 1 ρ a =, x x x + x f, 1 a b ab b e sono congiuntamente gaussiane con varianze unitarie e coefficiente di correlazione pari a ρ. = 1 + ρ 1 1 f 1 x 1,x = exp x 1 ρ x1x + x 1 1 ρ π ρ 397

24 La Bivariata Gaussiana (segue) La densità congiunta di ( 1, ) si può scrivere nella forma: 1 1 f 1 x 1,x = exp q πσ σ 1 ρ 1 con: 1 q= ρ + 1 ρ σ σ σ σ ( x ) 1 1 x1 1 x x 1 1 Saturando rispetto ad si ha la marginale: con = E[ ] e Var [ ] x1 1 f ( x ) 1 1 = exp σ 1 π σ1 σ =

25 La Bivariata Gaussiana (segue) La densità condizionata di dato 1: con: f x,x f x x = = exp q f x 1 1 σ 1 ρ π ( x ) 1 1 x1 1 x x x1 1 ( ) 1 q = ρ + 1 ρ ovvero: 1 ρ σ1 σ1σ σ σ1 q 1 x x = ρ + 1 ρ σ1 σ

26 La Bivariata Gaussiana (segue) La densità condizionata risulta quindi: σ x + ρ x f x x1 exp σ = σ 1 ρ π σ 1 ρ Ovvero una densità gaussiana con: Valor atteso (curva di regressione φ ( x 1 )): σ E x x [ ] =φ = +ρ ( ) σ1 (retta di regressione) Varianza: [ ] ( ) 1 = σ ρ Var 1 400

27 La Bivariata Gaussiana (segue) Commenti sulla Bivariata Gaussiana: Se ρ= 0 si ha una coppia di v.a. gaussiane indipendenti; Se ρ = 1 la v.a. è completamente determinata da è la bivariata è a lama di coltello. x Retta di regressione σ pendenza =ρ σ x1 Curve di livello per una Bivariata gaussiana con ρ =

28 Bivariata Gaussiana: η =η = 0, σ =σ =, r = 0 1 x y f ( x,y) = exp + π σ σ σ σ 40

29 Bivariata Gaussiana: η =η = 0, σ =σ =, r = 0 Curve di livello 403

30 Bivariata Gaussiana: η =η = 0, σ = 4, σ = 1, r = x xy y f ( x, y) = exp ( ) r + π σ 1 r σ 1 r σ σ σ σ 404

31 Bivariata Gaussiana: η =η = 0, σ = 4, σ = 1, r = 0 Curve di livello 405

32 Bivariata Gaussiana: η =η = 0, σ =, σ =, r = x xy y f ( x, y) = exp ( ) r + π σ 1 r σ 1 r σ σ σ σ 406

33 Bivariata Gaussiana: η =η = 0, σ =, σ =, r = 0.7 y σ ( η ) η = r x σ Curve di livello e retta di regressione: y = 0.7x 407

34 Bivariata Gaussiana: η =η = 0, σ = 4, σ = 1, r = x xy y f ( x, y) = exp ( ) r + π σ 1 r σ 1 r σ σ σ σ 408

35 Bivariata Gaussiana: η =η = 0, σ = 4, σ = 1, r = 0.7 Curve di livello e retta di regressione: y = 0.175x 409

36 Bivariata Gaussiana: η =η = 0, σ =, σ =, r = x xy y f ( x, y) = exp ( ) r + π σ 1 r σ 1 r σ σ σ σ 410

37 Bivariata Gaussiana: η =η = 0, σ =, σ =, r = 0.99 Curve di livello e retta di regressione: y = 0.99x 411

38 Bivariata Gaussiana: η =η = 0, σ = 4, σ = 1, r = x xy y f ( x, y) = exp ( ) r + π σ 1 r σ 1 r σ σ σ σ 41

39 Bivariata Gaussiana: η =η = 0, σ = 4, σ = 1, r = 0.99 Curve di livello 413

40 Esempio: (importante nella teoria dell affidabilità) La variabile aleatoria è Esponenziale negativa con valore atteso 1 λ. Trovare la densità di condizionata all evento: { t} Soluzione Se x > t f x > t dx = P x < x + dx > t = { } { } >. P x< x+ dx > t P x< x+ dx f x dx = = = P > t P > t P > t f x > t = f ( x) ( > t) P altrimenti la densità condizionata è nulla. x > t 414

41 Esempio: (segue) Sostituendo: f xu x t dx λexp λxu x t dx f ( x > t) dx= = P > t exp λt λ ( x t) f x > t =λ e U x t = f x t cioè la densità condizionata è uguale alla marginale calcolata in ( x t), cioè non si ha memoria del passato. λ f ( x ) ( > ) f x t 0 t x 415