Analisi Statistica Multivariata Modulo Modelli Statistici

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1 Analisi Statistica Multivariata Modulo Modelli Statistici Gianna Monti 8 novembre Approfondimenti Esercizi Esercizio 1 Galton e il suo allievo Karl Pearson condussero alcuni studi in merito alle somiglianze tra genitori e figli. Egli misurò l altezza di 1078 padri e dei rispettivi figli e trovò che i padri avevano un altezza media di 66 pollici, mentre i figli di 67. La varianza delle stature dei padri è di 16, mentre quella relativa alla statura dei figli è 4. Il coefficiente di correlazione osservato è 0.5. Assumendo che i dati seguano una distribuzione normale bivariata, predire l altezza del figlio per un padre alto 70 pollici e per uno alto 64 pollici. Soluzione: 68 e 66.5 Esercizio a) Si supponga che X = (X 1, X ) abbia una distribuzione Normale Bivariata, con matrice di varianze e covarianze: [ ] σ Σ = 1 σ 1 σ 1 σ Esprimendo σ 1 = ρσ 1 σ, individuare gli autovalori di Σ e utilizzarli per trovare delle restrizioni sul coefficiente ρ affinché Σ sia una valida matrice di varianze e covarianze. Soluzione: 1 < ρ < 1. b) Se X = (X 1, X, X 3 ) avesse una distribuzione Normale Tridimensionale, con marginali X i N(µ, σ ), i = 1,, 3, inoltre σ ij costante non dipendente da i, j, individuare gli autovalori di Σ e utilizzarli per trovare delle restrizioni sul coefficiente ρ affinché Σ sia una valida matrice di varianze e covarianze. Estendere il risultato al caso in cui X ha una distribuzione Normale k variata. Soluzione: 1 (k 1) < ρ < 1. Esercizio 3 Le curve di livello di una distribuzione normale multivariata k dimensionale sono ellissoidi definiti dall equazione: (x µ) Σ 1 (x µ) = c 1

2 Questi ellissoidi hanno centro in µ e assi principali ±c λ i a i, dove: Σa i = λ i a i, (i = 1,..., k). Si consideri il caso bivariato k =, con σ 1 = σ. Determinare gli assi dell ellisse di probabilità costante. Soluzione: [ ] 1 ±c σ1 + σ 1 1 e. [ ±c σ1 σ ] Esercizio 4 Nel gioco del golf si considerino tre buche di difficoltà crescente: X 1 interpreta il numero di tiri con cui i concorrenti di una gara affrontano la prima buca ed ha una distribuzione Normale con media pari al suo par, ovvero µ 1 = 3 e varianza σ1 =, X interpreta il numero di tiri con cui i concorrenti affrontano la seconda buca ed ha una distribuzione Normale con media µ = 4 e varianza σ = 3.5 e X 3 interpreta il numero di tiri con cui i concorrenti affrontano la terza buca ed ha una distribuzione Normale con media µ 3 = 5 e varianza σ3 = 4. Inoltre è noto che X = (X 1, X, X 3 ) N 3 (µ, Σ), con: Σ = a) Individuare la distribuzione congiunta della variabile (U, T ) dove U = X X 1 e T = X 3 X ovvero U e T interpretano le differenze di punteggio tra livelli differenti. ( [ ] [ ]) Soluzione: (U, T ) N µ (U,T ) =, Σ 1 (U,T ) =. 7.1 b) Individuare la distribuzione congiunta della variabile (F, G) dove F = 3 i=1 X i e G = X 3 X 1. ( [ ] [ ]) Soluzione: (F, G) N µ (F,G) =, Σ (F,G) =. 6. Esercizio 5 Sia X = (X 1, X, X 3 ) N 3 (µ, Σ), con: Σ = a) C è indipendenza stocastica? b) X 1 e X sono indipendenti? c) Cosa si può dire della relazione tra (X 1, X ) e X 3? Soluzione: Non c è indipendenza stocastica; inoltre X 1 e X non sono indipendenti poiché σ 1, 0, mentre (X 1, X ) e X 3 sono indipendenti, basta partizionare la matrice Σ.

3 Esercizio 6 Data X = (X 1, X, X 3 ) N 3 (µ, Σ), con: Σ = 1 ρ ρ Trovare media e matrice di varianze ([ e covarianze di ] (X 1, X x 3 ). [ µ1 + ρ Soluzione: (X 1, X x 3 ) N (x 3 µ 3 ) (1 ρ, Σ µ (X1,X x 3) = 4 ) ρ ρ 1. Esercizio 7 Per ogni campione di rifiuti di una certa regione vengono registrati il contenuto di energia X 1, il contenuto percentuale di plastica X, di carta X 3 e organico X 4. La variabile multidimensionale X ha distribuzione Normale con: 10 µ = 1 3 e Σ = Al fine di un efficiente progettazione di un inceneritore di rifiuti è necessario conoscere in anticipo il contenuto di energia del materiale da smaltire dati determinati livelli dei rifiuti. Individuare la distribuzione condizionata di X 1, dato (X, X 3, X 4 ) = (1, 1, ). Soluzione: (X 1 x, x 3, x 4 ) N (11.64, 145.9). ]) 3

4 Forme della densità di una Normale Bivariata [ ] σ X = (X 1, X ) N(µ, Σ), con µ = (µ 1, µ ) e Σ = 1 σ 1 σ 1 σ1 = [ ] σ1 ρσ 1 σ ρσ 1 σ σ1. La funzione di densità di una v.c. Normale Bivariata è data da: 1 ϕ(x 1, x ) = πσ 1 σ 1 ρ { [ (x1 ) ( ) ( ) ( ) ]} 1 µ 1 x µ x µ x1 µ 1 exp (1 ρ + ρ ) σ 1 Variabile Casuale Condizionata X 1 x : 1 ϕ (x 1 x ) = σ 1 π(1 ρ ) { 1 exp σ1 (1 ρ ) σ σ (1) [ x 1 µ 1 ρ σ ] } () 1 (x µ ) σ ( ) Ovvero: X 1 x N µ 1 + ρ σ1 σ (x µ ); σ1(1 ρ ). Di seguito esempi di curve di livello di una Normale Bivariata al variare del coefficiente ρ e al variare dei parametri [ σ 1 e σ]. 1 0 Ad esempio: Se µ = (0, 0) e Σ = La funzione di densità congiunta 0 1 è visualizzata in fugura 1 le cui curve di livello in figura. σ 1 4

5 f(x[1], x[]) x[] x[1] Figura 1: Funzione di densità congiunta di una normale bivariata a componenti indipendenti e standardizzate 5

6 x x 1 Figura : Curve di livello di una normale bivariata a componenti indipendenti e standardizzate 6

7 Figura 3: Curve di livello di una normale bivariata con parametri: µ 1 = µ = 0, σ 1 = σ = 1, ρ = 0.5 7

8 Figura 4: Curve di livello di una normale bivariata con parametri: µ 1 = µ = 0, σ 1 = σ = 1, ρ = 0.5 8

9 Figura 5: Curve di livello di una normale bivariata con parametri: µ 1 = µ = 0, σ 1 = σ = 1, ρ = 0.9 9

10 Figura 6: Curve di livello di una normale bivariata con parametri: µ 1 = µ = 0, σ 1 = σ = 1, ρ =

11 Figura 7: Curve di livello di una normale bivariata con parametri: µ 1 = µ = 0, σ 1 = 1, σ =, ρ = 0 11

12 Figura 8: Curve di livello di una normale bivariata con parametri: µ 1 = µ = 0, σ 1 =, σ = 1, ρ = 0 1