Vettore (o matrice) casuale (o aleatorio): vettore (o matrice) i cui elementi sono variabili aleatorie

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1 Variabili (vettori e matrici) casuali Variabile casuale (o aleatoria): Variabile che può assumere un insieme di valori ognuno con una certa probabilità La variabile aleatoria rappresenta la popolazione in esame X var. discreta valori X, X,..., X N con prob. (p, p,..., p N ) X var. continua valori in (a, b) con funzione di densità di prob.f=f(x) Vettore (o matrice) casuale (o aleatorio): vettore (o matrice) i cui elementi sono variabili aleatorie Il Valore atteso di una variabile aleatoria discreta X che può assumere i valori x,..., x n è E[X] = nx P i x i P i = P (X = x i ) i= (stessa cosa se matrice di variabili aleatorie) 49

2 Media, Varianza Proprietà di E[X]: E[X + Y ] = E[X] + E[Y ], E[AXB] = AE[X]B Sia X = [X,..., X p ] vettore casuale Media: µ i = E[X i ], i =,... p, µ T = [µ,..., µ p ] Varianza: (per componenti) σ i,i σ i = E[(X i µ i ) ] = px P (X i = x i,j )(x i,j µ i ), j= i =,... p Covarianza tra le due variabili casuali X i, X j : σ i,j = E[(X i µ i )(X j µ j )], i, j =,..., p = X X i,x j (x i µ i )(x j µ j )p i,j (x i, x j ) p i,j funzione di probabilità congiunta 5

3 In forma matriciale: matrice di varianza/covarianza della popolazione 3 σ, σ, σ,p σ, σ, σ,p Σ = Cov(X) = = E[(X µ)(x µ) T ] 7 5 σ p, σ p, σ p,p Σ è sim. definita positiva: a T Σa > per ogni a (autovalori di Σ sono reali e strettamente positivi) Matrice di Correlazione della popolazione: ρ = (ρ i,j ) ρ i,j = σ i,j σi,i σj,j simmetrica X, X sono indipendenti ρ, = ρ misura la quantità di associazione lineare 5

4 Sia {X T, X T,..., X T n } campione di n osservazioni di vettori casuali Campione casuale: Se X T, X T,..., X T n sono osservazioni indipendenti di una stessa funzione densità composta f(x) = f(x, x,..., x p ) le misure da prove diverse non devono influenzarsi reciprocamente Stimatore corretto: Una statistica a è uno stimatore corretto (o unbiased) della variabile aleatoria α se E(a) = α 5

5 Supp. X T, X T,..., X T n osservazioni indipendenti di una popolazione con media µ e matrice di covarianza Σ Statistiche campionarie: X è uno stimatore corretto di µ: E( X) = µ La Matrice di covarianza di X è: S n stimatore distorto (biased) di Σ: Cov( X) = n Σ E(S n ) = n n Σ n n S n stimatore corretto (unbiased) di Σ : S = n n S n E( n n S n) = Σ 53

6 La distribuzione normale multivariata Richiamo dal caso univariato: funzione di densità f(x) = πσ e ( x µ σ ) < x < + πσ costante di normalizzazione (per Probabilità=) µ media, σ varianza della popolazione N (µ, σ ): insieme delle variabili casuali che seguono tale distribuzione 54

7 Estensione al caso multidimensionale Osservazione: x µ = (x µ)(σ ) (x µ) σ Nel caso di x vettore casuale: (x µ)σ (x µ) T µ R p valore atteso di x Fattore di normalizzazione per funzione di densità: p (π)p Σ ( Σ = detσ) f(x) = p (π)p Σ e (x µ)σ (x µ) T < x i < N p (µ, Σ) insieme delle variabili con f come funzione densità 55

8 Alcune proprietà variabili casuali normali X, X non sono correlate (Σ diagonale) f(x) = f(x ) f(x ) OSS: L insieme delle x tali che (x µ)σ (x µ) T = c con c costante è ellissoide centrato in µ ed assi ±c λ i v i es. σ, = (x µ ) σ, + (x µ ) σ, = c OSS: Se σ, = σ, allora il valore di σ, cambia la forma del grafico 56

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10 Curve di livello Esempio: p =. Caso in cui σ, = σ,. det (Σ λi) = σ, λ σ, σ, σ, λ A = (λ σ, σ, )(λ σ, + σ, ) = λ = σ, + σ,, v A λ = σ, σ,, v A Nota: σ, > λ max e ±c λ v asse maggiore Nota: σ, < λ max e ±c λ v asse maggiore 58

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12 Calcolo delle curve di livello in termini di Probabilità La Distribuzione χ (p = ) χ = (n )s σ (p > ) χ p distribuzione di Z + Z + + Z p con Z i N (, ) χ p(α): il α% della distribuzione χ con p gradi di libertà 6

13 ν=.3 f(χ).5. ν=4.5 ν=6. ν= χ 6

14 Calcolo delle curve di livello in termini di Probabilità (X µ)σ (X µ) T è distribuito come χ p: Posto Z = Σ (x µ) Z T = [Z,..., Z p ] Z i è N (, ) (X µ)σ (X µ) T = Z + Z + + Z p (Distanza Euclidea per [Z,..., Z p ]) La regione degli X tali che (X µ)σ (X µ) T χ p(α) contiene ( α)% della probabilità 6

15 Caso univariato (p = ): Distribuzione campionaria di X p > : X in N (µ, σ ) X è N µ, n σ «X in N p (µ, Σ) X è N p µ, n Σ «Inoltre (non trattiamo): Distribuzione campionaria della covarianza 63

16 Teorema del limite centrale Siano X,, X n oss. indip. di una popolazione con media µ e cov. Σ. Per n grande (rel. a p), n( X µ) Np (, Σ) (per n grande, X ha una distribuzione quasi normale) OSS: X in N p (µ, Σ) n( X µ) è N p (, Σ) OSS: Per n p grande, Σ S e n( X µ)s ( X µ) T χ p (per n grande, ns ( X µ) Z ) 64

17 Valutazione della normalità X T = (X,..., X p ) variabile aleatoria Test quasi normalità di X i, i =,..., p (inter. confidenza, istogramma, Q-Q plot, Coeff. Corr. ecc.) Studio di coppie (X i, X j ): X normale (X i, X j ) normali e linee di livello di X i, X j ellissi Test χ p(α) (p = ) per (x x)s (x x) T χ (α) α =.5 approx. 5% delle osservazioni devono stare nell ellisse χ plots 65

18 Test di Normalità in una variabile: Q-Q plot P [Z z i ] = Z zi π e z / dz Tab..5: Iris Setosa, lunghezza petali 66

19 Funzione Matlab: (x i ) i=,n normplot (x i, z i ) Coeff. corr..986 (valori perturbati) Normal Probability Plot Probability Data Funzione nel sito: qqplot.m per Coeff. di correlazione (x i, z i ). 67

20 Test di normalità bivariata: xt x T A A Si ha x A S A S A Inoltre χ (.5) =.39. L interno dell ellisse è (x x)s (x x) T χ x 9.3 x.5 T x 9.3 x.5 A.39 68

21 variabile x.5 χ (.5) variabile x 69

22 Per x = [x, x ] T = [6.7, 3.3]: (x x) T S (x x) = 3.67>.39. Per altri punti: (x x)s (x x) T = 6.3,.7,.8,.69,.34, 3.8,.55,.47,. 6 su stanno dentro l ellisse e quindi non scartiamo l ipotesi di normalità. 7