Statistica. Congiunte. Capitolo 5. Distribuzioni di Probabilità. Chap 5-1. Statistics for Business and Economics, 6e 2007 Pearson Education, Inc.

Transcript

1 Statistica Capitolo 5 Distribuzioni di Probabilità Congiunte Statistics for Business and Economics, 6e 2007 Pearson Education, Inc. Chap 5-1

2 Distribuzione di Probabilità Congiunta Una variabile casuale doppia (congiunta) discreta è nota se è nota la sua distribuzione doppia di probabilità. Cioè se si conoscono: 1. Le determinazioni della variabile casuale X: x 1, x 2,..x i,,x s. 2. Le determinazioni della variabile casuale Y: y 1, y 2,..,y j,,y t. 3. La probabilità congiunta: p(x i, y j ) P(X xi Y y j ) Cap. 5-2

3 Distribuzione di Probabilità Congiunta X\Y y 1 y j y t P(Xx) x P(X xi Y y j ) x i P(Xx i ).. x s.... P(Yy) P(Yy j ) 1 Cap. 5-3

4 Distribuzione di Probabilità Congiunta P(X x i Y y j ) p ij P(X xi) t j 1 P(X xi Y y j) t j 1 pij P(Y y j) s i 1 P(X xi Y y j) s i 1 pij t j 1 s i 1 P(X xi Y y j) t j 1 s i 1 pij 1 Cap. 5-4

5 Distribuzione di Probabilità Congiunta ESEMPIO: Lancio di una moneta tre volte. XNumero di teste, YNumero delle variazioni nella sequenza Testa Croce P(E) S X Y 1/8 TTT 3 0 1/8 TTC 2 1 1/8 TCT 2 2 1/8 CTT 2 1 1/8 CCC 0 0 1/8 CCT 1 1 1/8 CTC 1 2 1/8 TCC 1 1 Cap. 5-5

6 Distribuzione di Probabilità Congiunta Le distribuzioni marginali: X P(Xx) 1/8 3/8 3/8 1/8 Y P(Yy) 2/8 4/8 2/8 Cap. 5-6

7 Distribuzione di Probabilità Congiunta X\Y P(Xx) 0 1/8? 1 3/8 2 3/8 3 1/8 P(Yy) 2/8 4/8 2/8 1 Cap. 5-7

8 Distribuzione di Probabilità Congiunta P(E) S 1/8 TTT 1/8 1/8 1/8 1/8 TTC TCT CTT CCC 1/8 CCT 1/8 CTC 1/8 TCC P(X2, Y1)2/8 X2 Y1 L intersezione è l evento: { (TTC), (CTT)} Cap. 5-8

9 Distribuzione di Probabilità Congiunta Per cui P(X 2 Y 1) [ (CTT)] P (TTC) P(TTC) + P(CTT) 1/8 + 1/8 2/8 In questo modo si riempiono tutte le celle della distribuzione doppia. Cap. 5-9

10 Distribuzione di Probabilità Congiunta X\Y P(Xx) 0 1/ / /8 1/8 3/ /8 1/8 3/8 3 1/ /8 P(Yy) 2/8 4/8 2/8 1 Cap. 5-10

11 Distribuzione di Probabilità Condizionata La distribuzione di probabilità condizionata della variabile aleatoria Y esprime la probabilità che Y assuma il valore y quando si specifica il valore x per X. P(y x) P(x,y) P(x) Analogamente, la distribuzione di probabilità condizionata di X dato Y y, è: P(x y) P(x,y) P(y) Cap. 5-11

12 Indipendenza Le variabili aleatorie X e Y distribuite congiuntamente sono dette indipendenti se e solo se la loro distribuzione di probabilità congiunta è uguale al prodotto delle loro distribuzioni di probabilità marginali: P(x, y) P(x)P(y) per tutte le possibili coppie di valori di x e y Se k variabili aleatorie sono indipendenti, allora P(x,x,,x ) P(x )P(x ) P(x ) 1 2 k 1 2 k Cap. 5-12

13 Indipendenza Se due variabili casuali X e Y sono indipendenti e si conoscono le distribuzioni di probabilità marginali allora è nota anche la distribuzione di probabilità congiunta (X,Y). Cap. 5-13

14 Indipendenza Esempio: Si abbiano le seguenti distribuzioni di probabilità marginali: X P(Xx) 2/8 3/8 2/8 1/8 Y P(Yy) 1/6 3/6 2/6 Si supponga che X e Y siano indipendenti. Cap. 5-14

15 Indipendenza X\Y P(Xx) 0 2/48 6/48 4/48 2/8 1 3/48 9/48 6/48 3/8 2 2/48 6/48 4/48 2/8 3 1/48 3/48 2/48 1/8 P(Yy) 1/6 3/6 2/6 1 Cap. 5-15

16 Identica Distribuzione Le variabili casuali X e Y distribuite congiuntamente sono dette identicamente distribuite se nella distribuzione di probabilità congiunta le distribuzioni marginali sono uguali. Cioè se le variabili casuali X e Y hanno le stesse determinazioni e le stesse probabilità. Cap. 5-16

17 Identica Distribuzione X\Y 0 2 P(Xx) P(Yy) Le variabili casuali X e Y sono Indipendenti ma NON identicamente distribuite. Sono diverse sia le determinazioni delle due variabili che le probabilità marginali. Cap. 5-17

18 Identica Distribuzione X\Y 0 1 P(Xx) P(Yy) Le variabili casuali X e Y sono Indipendenti ma NON identicamente distribuite. Sono diverse le probabilità marginali. (le determinazioni sono uguali) Cap. 5-18

19 Identica Distribuzione X\Y 0 1 P(Xx) P(Yy) Le variabili casuali X e Y sono Indipendenti ma NON identicamente distribuite. Sono diverse le determinazioni delle due v.c. (le probabilità marginali sono uguali) Cap. 5-19

20 Identica Distribuzione X\Y 0 1 P(Xx) P(Yy) Le variabili casuali X e Y sono Indipendenti e identicamente distribuite. Le distribuzioni di probabilità marginali di X e Y sono uguali. Cap. 5-20

21 Variabili casuali IID Esempio: Si abbiano due variabili casuali X e Y indipendenti e identicamenbte distribuite (iid) alla seguente variabile casuale Z: Z P(Zz) 2/6 3/6 1/6 Si tabuli la distribuzione di probabilità congiunta. Cap. 5-21

22 Variabili casuali IID X\Y P(Xx) -1 4/36 6/36 2/36 2/6 0 6/36 9/36 3/36 3/6 1 2/36 3/36 1/36 1/6 P(Yy) 2/6 3/6 1/6 1 Cap. 5-22

23 Covarianza e Indipendenza La covarianza fornisce una misura della relazione lineare tra due variabili casuali Se due variabili aleatorie sono statisticamente indipendenti, la loro covarianza vale zero Il viceversa non è necessariamente vero Cap. 5-23

24 Covarianza Siano X e Y due variabili aleatorie discrete con medie rispettivamente μ X e μ Y Il valore atteso di (X - μ X )(Y - μ Y ) è chiamato covarianza di X e Y Per variabili aleatorie discrete Un espressione equivalente è Cov(X,Y) E[(X μx )(Y μ )] (x μ )(y μ )P(x, y) Cov(X,Y) E(XY) μ x Y μ y x y xyp(x,y) μ x y x y x μ y Cap. 5-24

25 Correlazione La correlazione tra X e Y è : ρ Corr(X,Y) Cov(X,Y) σ X σ Y ρ 0 ρ > 0 ρ < 0 non c è relazione lineare tra X e Y relazione lineare positiva tra X e Y quando X assume valori alti (bassi) allora anche Y probabilmente assume valori alti (bassi) ρ +1 dipendenza lineare perfetta positiva relazione lineare negativa tra X e Y quando X assume valori alti (bassi) allora Y probabilmente assume valori bassi (alti) ρ -1 dipendenza lineare perfetta negativa Cap. 5-25

26 TEOREMA X 1,X 2,...X n n n E ax ae X ( ) i i i i i1 i1 Cap. 5-26

27 TEOREMA X 1,X 2,...X n Var a X a Var X n n 2 i i i i i1 i1 ( ) Cap. 5-27

28 TEOREMA Se X 1,X 2,...X n non hanno una covarianza zero fra ogni coppia di variabili casuali, nella formula della varianza bisogna tener conto delle covarianze. Si fornisce la formula nel caso di due variabili casuali. Cap. 5-28

29 TEOREMA Siano X e Y due variabili casuali definite sullo stesso spazio campionario, allora Var(aX+bY)a 2 Var(X)+b 2 Var(Y)+2ab Cov(X,Y) oppure, usando il coefficiente di correlazione 2 2 Var(aX+bY) a Var(X) + b Var(Y) + 2ab Corr(X,Y)σ σ X Y Cap. 5-29

30 TEOREMA Siano X e Y due variabili casuali INDIPENDENTI, definite sullo stesso spazio campionario, allora E( XY ) E( X) E( Y) L inverso NON E VERO Cap. 5-30