Esercitazioni di Statistica Dott.ssa Cristina Mollica niroma1.it. Probabilità

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1 Esercitazioni di Statistica Dott.ssa Cristina Mollica niroma1.it Probabilità Esercizio 1. Un esperimento casuale consiste nel lanciare tre volte una moneta. Si determini lo spazio campionario Ω nel caso si osservino: a) le sequenze di testa e croce; b) il numero di teste nei tre lanci. a) Ω = { CCC, CCT, CTC, TCC, CTT, TCT, TTC, TTT } b) Ω = { 0, 1, 2, 3 } Esercizio 2. Da un sacchetto di 3 palline contrassegnate da 1 a 3 estraiamo due palline. Si determini lo spazio fondamentale nel caso a) si reintroduca la prima pallina estratta nel sacchetto; b) non si reintroduca la prima pallina estratta nel sacchetto. a) Ω = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) } b) Ω = { (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2) } Esercizio 3. Si scelga a caso una carta da un mazzo di 52 carte. Definiamo i seguenti eventi: A = {la carta scelta è un asso} e B = {la carta scelta è di cuori}. Determinare se i due eventi sono incompatibili e se sono indipendenti. Incompatibilità: gli eventi A e B sono incompatibili se e solo se (A B) = Ø. L'evento (A B) coincide con l'evento {la carta scelta è un asso di cuori}, pertanto gli eventi sono compatibili. - P(A B) = P({la carta scelta è un asso di cuori}) = 1/52. - P(A) = 4/52, P(B) = 13/52, P(A) P(B) = 1/52. Quindi gli eventi sono indipendenti. Esercizio 4. Si lanciano due monete non truccate. Definiamo i seguenti eventi: A = {prima moneta testa} e B = {seconda moneta testa}.

2 Determinare se i due eventi sono incompatibili e se sono indipendenti. Incompatibilità: (A B) = {T, T} Ø, pertanto gli eventi sono compatibili. - P(A B) = P({T, T}) = 1/4 - P(A) = P({T,T} {T,C}) = 1/2; P(B) = P({T,T} {C,T}) = 1/2; P(A) P(B)= 1/2 1/2 = 1 / 4. Quindi gli eventi sono indipendenti. Esercizio 5. Si lanciano due dadi non truccati. Definiamo i seguenti eventi: A = {la somma dei dati dà 10} e B = {il primo dado dà 6}. Determinare se i due eventi sono incompatibili e se sono indipendenti. Incompatibilità: (A B) = {6,4} Ø, pertanto gli eventi sono compatibili. - P(A B) = P({6,4}) = 1/36; - P(A) = P({4,6} {6,4} {5,5}) = 3/36 = 1/12; P(B) = P({6,1} {6,2} {6,3} {6,4} {6,5} {6,6}) = 6/36 = 1/6 P(A) P(B) = 1/12 1/6 1/36 = P(A B), quindi gli eventi non sono indipendenti. In alternativa, possiamo verificare se P(A B) = P(A): dato che P(A B) = 1/6 1/12 = P(A) gli eventi non sono indipendenti. Esercizio 6. Si estraggono due carte da un mazzo di 52 carte. Calcolare la probabilità che la seconda carta estratta sia di cuori se la prima carta estratta è di cuori sia nel caso di estrazione con reimmissione che nel caso di estrazione senza reimmissione. Definiamo gli eventi C I = {la prima carta estratta è di cuori} e C II = {la seconda carta estratta è di cuori} - Estrazione con reimmissione: P(C II C I ) = 13 / Estrazione senza reimmissione: P(C II C I ) = 12 / 51. Esercizio 7. Si calcoli P(A B) se a) P(A B) = 0; b) se A B; c) se B A.

3 P(A B) = P(A B) / P(B) - P(A B) = 0 / P(B) = 0 - se A B, (A B) = A quindi P(A B) = P(A) / P(B) - se B A, (A B) = B quindi P(A B) = P(B) / P(B) = 1 Si possono visualizzare in modo semplice questi risultati usando i diagrammi di Venn. Esercizio 8. Determinare la probabilità di ottenere almeno una volta il numero 3 su 4 lanci indipendenti di uno stesso dado. P({almeno un 3 su 4 lanci}) = 1 - P({nessun 3 in 4 lanci}) = 1 - P({non esce 3 al primo lancio} {non esce 3 al secondo lancio} {non esce 3 al terzo lancio} {non esce 3 al quarto lancio}). Ad ogni lancio, la probabilità che non esca la faccia '3' è pari a 5/6, e gli esiti dei singoli lanci sono indipendenti, quindi la probabilità cercata è pari a 1 - (5 / 6) 4. Esercizio 9. Abbiamo un campione di 500 aziende classificate secondo il fatturato Y e il numero di dipendenti X Y X < > 500 < > Definiamo i seguenti eventi: A = {avere un fatturato non superiore a 100} B = {avere un numero di dipendenti maggiore di 15} a) calcolare P(A), P(B), P(A B), P(A B), P(A B), P(B A) b) Verificare se A e B sono incompatibili c) Verificare se A e B sono indipendenti - P(A) = ( ) / 500 = P(B) = 110 / 500 = P(A B) = (0 + 40) / 500 = P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = ( ) / 500 = P(A B) = (0 + 40) / 110 = P(B A) = (0 + 40) / 350 = 0.11

4 - (A B) Ø, pertanto gli eventi sono compatibili. - P(A B) = = P(A) P(B), pertanto gli eventi non sono indipendenti. Esercizio 10. Un azienda vende i suoi prodotti in tre regioni: A, B e C. Le vendite si ripartiscono con le seguenti percentuali: Regione Vendite A 40% B 35% C 25% Per valutare la situazione finanziaria si rileva per ciascuna regione la percentuale di crediti rimasti insoluti con i seguenti risultati: Regione Crediti insoluti A 5% B 2% C 3% Sapendo che un cliente non ha adempiuto al pagamento del credito concessogli a fronte di un acquisto effettuato, determinare la probabilità che l operazione in questione provenga dalla regione A. Definiamo l'evento I = {il credito rimane insoluto}. Utilizzando il teorema di Bayes, possiamo scrivere P(A I) come P(A) P(I A) / P(I), P(I) = P(I A) + P(I B) + P(I C) = P(I A) P(A) + P(I B) P(B) + P(I C) P(C) = P(A I) = / = 0.02 / = Esercizio 11. Le statistiche mostrano che chi segue il corso di Statistica ha una probabilità di superare l esame pari a 0.85 mentre chi non segue il corso di Statistica supera l esame con probabilità pari a 0.3. Sapendo che il 75% degli studenti iscritti al secondo anno di economia segue il corso di Statistica calcolare: a) la probabilità che uno studente iscritto al secondo anno non superi l esame; b) la probabilità che, se uno studente iscritto al secondo anno non supera l esame, lo stesso non abbia seguito il corso di Statistica. Definiamo gli eventi C = {lo studente segue il corso} e E = {lo studente viene promosso}. Indichiamo le corrispondenti negazioni con

5 Cˉ = {lo studente non segue il corso} e Eˉ = {lo studente non viene promosso} Sappiamo che P(E C) = 0.85, che P(E Cˉ) = 0.3 e che P(C) = 0.75, pertanto valutando i corrispondenti eventi negati ricaviamo P(Eˉ C) = 0.15, P(Eˉ Cˉ) = 0.70 e P(Cˉ) = Sfruttando il teorema di Bayes possiamo calcolare la probabilità d interesse attraverso il seguente rapporto P(Cˉ Eˉ) = (P(Eˉ Cˉ)P(Cˉ) )/P(Eˉ )=( P(Eˉ Cˉ)P(Cˉ) )/( P(Eˉ Cˉ)P(Cˉ) + P(Eˉ C)P(C) ) = ( )/ ( ) = 0.175/ =