ESERCIZI PROBABILITA E CALCOLO COMBINATORIO CON RISULTATI 1. P che estraendo a caso 1 carta da un mazzo di 52 sia una regina?

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1 ESERCIZI PROBABILITA E CALCOLO COMBINATORIO CON RISULTATI 1. P che estraendo a caso 1 carta da un mazzo di 52 sia una regina? [4/52] 2. Estratta una Q, P che ad una seconda estrazione si presenti ancora una Q? (Con o senza reintroduzione) [(12/52)(11/51)] 3. Estraggo a caso 2 carte da un mazzo di 52, quale è la probabilità che: a. Entrambe siano fiori; [(13/52)(12/51)] b. Una sia fiori, l altra picche; [(13/52)(13/51)] c. Entrambe siano nere. [(26/52)(25/51)] 4. In un urna ci sono 9 palline numerate da 1 a 9. estraendo 2 palline a caso, è più probabile che la somma sia pari o dispari? [p(d)=20/45 p(s)=25/45 5. Calcolare D 5,1, D 5,5, D 6,4 6. In un distretto telefonico i numeri devono iniziare con la cifra 2 ed essere di 6 cifre. Quanti numeri telefonici, con cifre tutte diverse tra loro, può avere al massimo quel distretto? [D 9,5 ] 7. Un tesserino ha un codice segreto composto da 5 cifre. Se si ricorda che le prime due sono 4 e 0, che solo la quarta cifra è dispari e che nessuna cifra si ripete, quanti sono i codici possibili? [30] 8. Quanti sono i possibili sottoinsiemi di un insieme A di n elementi? [D* 2,n= 2 n ] 9. Quanti sono i possibili allineamenti estraendo 10 palline, con reimbussolamento, da un urna di 100palline? [D* 100,10 = ] 10. Quante sono le possibili schedine del totocalcio? [D* 3,13 =3 13 ] 11. Quante targhe diverse posso comporre utilizzando 4 cifre e 2 lettere di un alfabeto di 26 lettere? [D* 26,2 D* 10,4 = ] 12. Quanti numeri telefonici diversi di 6 cifre, di cui la prima è 2, posso ottenere? [D* 10,5 =10 5 ] 13. I codici di avviamento postale sono composti da 5 cifre di cui la terza è 0 o 1. quanti sono i CAP possibili? [2D* 10,4 ] 14. Quante cinquine si possono formare con i numeri del Lotto? [C 90,5 = ] 15. Calcolare in quanti modi diversi è possibile scegliere 4 oggetti tra 5, e 1 oggetto tra 7. [C 5,4 ] [C 7,1 ] 16. Quante diagonali ha un poligono convesso di 16 lati? Generalizza il risultato per un poligono di n lati. [C 16,2 =16] 17. In una pizzeria il pizzaiolo usa 7 ingredienti addizionali: acciughe, cipolle, prosciutto, carciofini, funghi, olive, salame. Calcolare quante pizze diverse può preparare con

2 a. 5 ingredienti [C 7,5 ] b. Le acciughe a altri 2 ingredienti [C 6,2 ] c. 4 ingredienti, ma senza salame [C 6,4 ] d. tutti gli ingredienti. [C 7,7 ] 18. Dato il binomio (3a+1/(9a) ) 6 determinare, se esistono, il termine noto, i termini di a -4 e di a -5. [non esiste a -5,per a -4 k=5, e k=3 per a 0 ] 19. Dato il binomio (2x - 3 / (2x 3 ) ) 5 determinare, se esistono, i termini x 6, x 5, il termine noto. [non esiste x 6, per x 5 k=0, non esiste x 0 ] 20. Dato (3x+y) n, determinare n in modo che il 4 coefficiente sia 15 volte il 6 coefficiente. [k=3] 21. Dato (2a + 3b) n, determinare n in modo che il 5 coefficiente sia i 5/6 del 6 coefficiente. [n=13] 22. Determinare il termine medio di ( 1" 3) 8 [k=4] 23. Quanti sono i possibili anagrammi della parola ROMA? [P 4 =4!] 24. Quante sono le possibili! uscite del gioco del lotto? [C 90,5 ] 25. In quanti modi si possono estrarre 10 palline su 100 palline, senza reimbussolamento? [D 100,10 ] 26. In quanti modi si possono estrarre 10 palline su 100 palline, con reimbussolamento? [D* 100,10 ] 27. Quante sono le combinazioni di 4 oggetti su 9? [C 9,4 ] 28. Quante sono le combinazioni di 5 oggetti su 9? [C 9,5 ] 29. Quante bandiere tricolori a righe verticali si possono fare con i 7 colori dell iride? [D 7,3 ] 30. Quanti numeri di 4 cifre si possono scrivere con 1,2,3,4,5 (senza ripetizione)? [P 5 =D 5,4 ] 31. Quante applicazioni iniettive si possono fare tra un insieme di n oggetti e un insieme di m oggetti? [D m,n ] 32. Le molecole di un gas si distribuiscono nel seguente modo in 4 celle comunicanti: 120 in A, 200 in B, 180 in C e 300 in D. Quante sono le possibili configurazioni del gas? [P* 120,200,180,300 ] 33. Quante sono le possibili uscite di 2 TESTA e 1 CROCE in tre lanci di una moneta? [P* 2,1 ] 34. Quanti numeri < si possono scrivere con le cifre 1,2,3,4,5 (senza ripetizione)? [D 5,4 +D 5,3 +D 5,1 =205] 35. Quanti numeri di tre cifre si possono formare con il numero 927, senza ripetere le cifre? [P 3 ]

3 36. In quanti modi si possono allineare n oggetti senza che i primi due occupino i primi due posti? [P n (n-2)!p 2 ] 37. In quanti modi si possono allineare n oggetti senza che i primi tre occupino i primi tre posti?[n!-3!(n-3)!] 38. Quante sono le diagonali in un poligono di n lati? [C n,2 n] 39. Quanti sono i triangoli aventi per vertici i vertici di un poligono di n lati? [C n,3 ] 40. Quanti cin cin si effettuano tra 20 persone? [C 20,2 ] 41. Quante sequenze di 8 cifre si possono fare con le cifre binarie (0,1)? [D* 2,8 ] 42. Quante sequenze di 8 cifre con le cifre binarie hanno 6 esiti 1 e 2 esiti 0? [P* 6,2 ] 43. Quante sequenze di 8 cifre binarie hanno almeno 6 esiti 1? [C 8,6 +C 8,7 +C 8,8 = P* 6,2 +P* 7,1 +P* 8,0 ] 44. Considerate le sequenze di 8 cifre binarie, qual è la probabilità di avere almeno 6 esiti 1? [D* 2,8 ] 45. Si distribuiscono 5 carte da un mazzo di 52 carte. Calcolare la probabilità di ottenere: [tutto su C 52,5 ] a. 4 assi [C 4,4 C 48,1 ] b. 4 assi e 1 re [C 4,4 C 4,1 ] c. 3 dieci e 1 fante [C 4,3 C 4,1 C 48,1 ] d. 1 nove, 2 dieci, 2 fanti [C 4,1 C 4,2 C 4,2 ] e. 3 picche e 2 fiori [C 12,3 C 13,2 ] f. 3 carte di un seme e 2 carte di un altro seme [C 4,1 C 13,3 C 3,1 C 13,2 ] g. almeno un asso [1-(C 48,5 / C 52,5 )] h. un tris [almeno uno 13C 4,3 C 49,2, solo uno 13C 4,3 C 48,2 ] 46. Su biglietti di una lotteria, di cui vinceranno 10 biglietti, ne compero 100. Qual è la probabilità di avere almeno un biglietto vincente? [1-(C 29990,100 / C 30000,100 ] 47. Da un mazzo di 10 carte da 1 a 10 si estraggono a caso 5 carte. Qual è la probabilità che le carte estratte siano tutte da 1 a 5? [(C 1,1 C 1,1 C 1,1 C 1,1 C 1,1 )/ C 10,5 =1/252=(5/10)(4/9)(3/8)(2/7)(1/6)] 48. a) In un piano cartesiano è possibile muoversi spostandosi di una unità o verso destra o verso l alto. Quanti sono i possibili percorsi che conducono al punto (6, 3)? [C 9,6 ] b) Quante sequenze di 9 cifre binarie si possono formare con somma 6? [C 9,6 ] c) Quante sequenze di 9 lanci di una moneta presentano 6 volte Testa? [C 9,6 ] d) Dato un insieme di 9 elementi, quanti sono i sottoinsiemi di 6 elementi? [C 9,6 ] e) Su 900 molecole, 600 devono occupare la cella A e le rimanenti la cella B. Quante sono le possibili configurazioni?

4 49. Un urna contiene 20 palline Bianche, 30 Rosse, 50 Nere. Si estraggono 3 palline. Calcolare la probabilità di ottenere: [su C 100,3 ] a.tutte Rosse [C 30,3 ] b.tutte Nere [C 50,3 ] c.due Rosse e una Nera [C 30,2 C 50,1 ] d. Nessuna Nera [C 50,3 ] e. Almeno una Nera [1-(C 50,3 )/( C 100,3 )] f. Né Nere, né Rosse [C 20,3 ] 50. Calcolare la probabilità che, lanciando due dadi, si presenti almeno una volta la faccia 4. [6/36+6/36-1/36] 51. Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte, o il tre di picche o il 6 di fiori. [1/52+1/52] 52. Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte, o un Re o un Quadri. [13/52+4/52-1/52] 53. Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte, né un 4 né un picche 1-4/52-13/52+1/52] 54. Calcolare la probabilità che, lanciando due dadi, si abbia o somma 6 o si presenti la stessa faccia. [5/36+6/36-1/36] 55. Calcolare la probabilità che, lanciando due dadi, si abbia o somma 5 o si presenti la faccia del primo dado maggiore della faccia del secondo dado. [17/36] 56. Da un mazzo di 52 carte si estraggono 2 carte: calcolare la probabilità che siano entrambe fiori (A), oppure entrambe picche (B), oppure una fiori e una picche (C). Verificare che gli eventi A,B,C sono incompatibili. [p(a)= C 13,2 / C 52,2 =6/102=p(B), p(c) )= C 13,1 C 13,1 / C 52,2 =13/102, p(aubuc) )= C 26,2 / C 52,2 incompatibili] 57. Date 4 palline di cui 2 Bianche e due Nere, se ne estraggono 2: calcolare la probabilità di estrarre due colori diversi. 58. Se p(a)=2p(b), p(aub)=5/8, p(a B)=1/8, determinare p(a) e p(b). [p(a)=1/3, p(b)=1/4] 59. Urna con 20 palline bianche, 30 rosse, 40 nere. Si estraggono 3 palline senza reimbussolamento. Calcolare la probabilità che siano [tutto su C 90,1 ] a. tutte rosse [C 30,3 ] b. tutte nere [C 40,3 ] c. 2 rosse e una nera[c 30,2 C 40,1 ] d. nessuna nera [C 50,3 ] e. Almeno una rossa [1- nessuna rossa] f. Né rosse né nere [C 20,3 ] 60. I pezzi prodotti da una macchina possono avere due tipi di difetti: a o b. Si che P(a)=0,1 e P(non b)=0,8 e P(a b)=0,01. Calcolare la probabilità che un pezzo non abbia difetti. [1-0,1-0,2+0,001 cioè 71%]

5 61. n studenti della classe 4. (con n<=365).calcolare la probabilità che due compiano gli anni lo stesso giorno. [n=10 p=0,117; n=20 p=0,411; n=30 p=0,7; n=40 p=0,9circa; n=50 p=0,97circa; n=60 p=0,99circa; n=366 p=1] 62. Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte: a) 3 picche o 6 fiori [incomp 1/26] b) un seme che non sia di cuori [1-1/4=3/4] c) un 10 o un quadri [4/52+13/52-1/52] d) né un 4, né un picche 1-1/4-13/52+1/52] e) una regina (R) se la carta già estratta è nera (N). R e N sono incompatibili? Sono indipendenti? [p(a/b)=1/13; p(a)=1/13 indipend] 63. In un lancio di due dadi: A= la somma è 6, B= hanno la stessa faccia a) se A, calcolare la probabilità di B [p(b/a)=(1/36)/(5/36)=1/5; p(b)=1/6 dipend] b) se B, calcolare la probabilità di A [p(a/b)=(1/36)/(6/36)=1/6; p(a)=5/36 dipend] c) calcolare la probabilità di A e B[p(A B)=1/36; p(a)p(b)=(5/36)(1/36) dipe] d) calcolare la probabilità di A o B [p(aub)=1/36 compati] Stabilire se, nei vari casi, A e B sono eventi indipendenti. 64. Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte: a) due carte entrambi assi [3/663] b) un asso, avendo estratto già un asso [6/663 dip] c) un asso e poi un altro asso, senza reinserimento[(4/52)(3/51) dip] d) un asso e poi un altro asso, con reinserimento. [(4/52)(4/52) indip] 65. Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte: a) una carta di fiori e una di picche [13/102] b) una carta di fiori, avendo già estratto una carta di picche [13/51] 66. In un lancio di un dado: A= esce 1 o 2. B= pari. a) calcolare la probabilità di A, se si presenta B. A e B sono indipendenti? [p(a/b)=p(a)=1/3 indip] b) calcolare la probabilità di B, se si presenta A. [p(b/a)=p(b)=1/2 indip] c) calcolare la probabilità di A e B.[1/6 indip] 67. Un urna contiene 8 palline Rosse, 3 Bianche, 9 Gialle. Si estraggono 3 palline, calcolare la probabilità che siano : a) tutte e tre Rosse, con e senza reimbussolamento b) tutte e tre Bianche, con e senza reimbussolamento c) due Rosse e una Bianca, con e senza reimbussolamento d) una Bianca, una Rossa e una Gialla (nell ordine) senza reimbussolamento e) una Bianca, una Rossa e una Gialla (senza ordine) senza reimbussolamento f) almeno una Bianca, senza reimbussolamento. 68. In un lancio di due dadi calcolare: a) se la somma dei lanci è 5, la probabilità che il secondo lancio dia un numero minore del primo b) se il primo lancio è maggiore del secondo, la probabilità di avere somma In un lancio di due dadi calcolare la probabilità di: A=4,5,6 al 1 lancio, B=1,2,3,4 al 2 lancio.

6 a) A e B b) A o B c) B, se è avvenuto A d) A, se è avvenuto B 70. In una nazione con 5 regioni, le percentuali di forza lavoro sono: 10% nella regione R 1, 22% nella regione R 2, 19% nella regione R 3, 30% nella regione R 4, 19% nella regione R 5. I tassi di disoccupazione sono rispettivamente: 5%, 2%, 3%, 1%, 8%. Estraendo a caso un lavoratore di quella nazione, quale è la probabilità che sia disoccupato? (teorema delle probabilità totali) 71. In un urna ci sono M palline, di cui k Bianche e M-k Nere. Si estraggono 2 palline, senza reimmissione. Quale è la probabilità che la seconda estratta sia bianca? (teorema delle probabilità totali) 72. Una malattia colpisce il 5% di una popolazione: un test clinico individua la malattia in 90 casi su 100. Lo stesso test risulta positivo su soggetti sani 5 volte su 100. Qual è la probabilità di non soffrire della malattia per una persona di quella popolazione risultata positiva al test? (teorema di Bayes) 73. Si effettua un controllo di qualità esaminando un oggetto estratto a caso tra i prodotti di tre differenti cicli produttivi che forniscono, rispettivamente, il 50%, il 20%, il 30% della produzione totale. Determinare la probabilità che l oggetto osservato sia difettoso, sapendo che i cicli produttivi generano pezzi difettosi nelle percentuali del 2%, 5%, 1% rispettivamente. Qual è la probabilità che il pezzo difettoso provenga dal secondo ciclo? 74. La moneta M 1 è regolare, la moneta M 2 è truccata. Si lancia una moneta a caso. Si è osservata testa. Qual è la probabilità di aver lanciato la moneta regolare? 75. In due scatole ci sono alcune matite così distribuite: in S 1 2 matite Blu, 3 Rosse, 2 Gialle, 1 Verde, 1 Nera, in S 2 3 matite Blu, 2 Rosse, 4 Gialle, 2 Verde, 1 Nera. Estratta una matita a caso, calcolare la probabilità che sia Gialla. Calcolare la probabilità che sia estratta dalla scatola S 1, sapendo che è Nera.