Probabilità. Decisioni in condizioni di incertezza:

Транскрипт

1 Probabilità Decisioni in condizioni di incertezza: Casi quotidiani e no Probabile / certo. Incertezza e futuro / incertezza e quantità-qualità delle informazioni. Probabilità come misura del grado di fiducia che nutriamo nel verificarsi di un evento. 1

2 Probabilità nelle scienze Esiti di un esperimento : errori di misura. Confutazione e/o conferma di ipotesi. n.b. : non solo per teorie probabilistiche, anche in presenza di leggi deterministiche (lancio moneta) 2

3 Lancio di due dadi Se sommo le facce, cosa posso ottenere? Spazio degli eventi 6 5 Quante sono le possibili uscite (esisti)? Modello : 2 (1,1) 4 (1,3), (2,2), (3,1) E 8? Se la somma è S : x+y = S 3

4 Quale sarà la probabilità che esca 4? In quanti modi può uscire 4? analizzando lo spazio degli eventi: Casi favorevoli Casi possibili = 3/36 = 1/12 Quale è la probabilità che esca 5? E 7? E 12? 4

5 E se si lanciano 3 dadi? Quali sono le somme possibili? Quanti sono gli esiti possibili, cioè qual è lo spazio degli eventi? Quante terne danno per somma 5? E 9? E 10? 5

6 1. Probabilità classica, oggettiva o a priori Definizione di Laplace (1814) Essai philosophique des probabilités. I principio probabilità è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello di tutti i casi possibili. II principio ma ciò presuppone che tutti i casi siano egualmente possibili. Se non lo sono si determinino prima le loro rispettive possibilità, la cui esatta valutazione è uno dei punti più delicati della teoria dei casi. Allora la probabilità sarà la somma delle possibilità di ciascun caso favorevole. DEF. Se l esito di un esperimento può presentarsi in s casi (s = numero casi favorevoli) su un totale di n casi (n = numero casi possibili) allora si dice probabilità dell esito il numero p=s/n. 6

7 Esempi: P che estraendo a caso 1 carta da un mazzo di 52 sia una regina? Estratta una Q, P che ad una seconda estrazione si presenti ancora una Q? (Con o senza reintroduzione) Estraggo a caso 2 carte da un mazzo di 52, quale è la probabilità che: Entrambe siano fiori; Una sia fiori, l altra picche; Entrambe siano nere. In un urna ci sono 9 palline numerate da 1 a 9. estraendo 2 palline a caso, è più probabile che la somma sia pari o dispari? 7

8 Continua. Probabilità di riportare croce almeno una volta nel lancio di due monete. (errore di D Alambert ( ) Date le seguenti tre carte: la prima ha un asso di picche su entrambi i lati, la seconda un asso di quadri su entrambi i lati, la terza uno di picche su un lato e uno di quadri sull altro. Se se estrae una a caso e si mostra una sola delle sue facce che presenta un asso di picche. È più probabile che la faccia nascosta sia picche o quadri? Due giocatori A e B egualmente abili si stanno affrontando in un gioco composto di diverse partite: risulta vincitore chi ne vince tre. Valutare la probabilità di vittoria di A, sapendo che all inizio della quarta partita si trova sul punteggio a lui favorevole di 2 a 1. 8

9 Esempio: la zara. Lancio di tre dadi: si scommette sulla somma delle facce. Dante, canto VI del Purgatorio : Quando si parte il giuoco della zara Colui che perde si riman dolente Ripetendo le volte, e tristo impara. Perché più spesso il 10 e l 11 che non il 9 e 12, che corrispondono allo stesso numero di configurazioni? Questo è un famoso errore nella storia delle probabilità, risolto da Galilei nel trattato (1633) Sopra le scoperte dei dadi 9

10 Altri errori nella storia: lanciando 10 dadi contemporaneamente è più facile ottenere 7 volte 5 che lanciando 10 volte un dado dopo TTT al quarto lancio è più facile ottenere C. Lanciando due volte una moneta, poiché la probabilità di ottenere al primo lancio C è 1/2 + 1/2 al secondo lancio, allora la probabilità di ottenere C in due lanci è 1 (perplessità di D Alambert) 10

11 Problema di Monthy Hall: E noto anche come paradosso (anche se non ci sono contraddizioni logiche) perché la soluzione può sembrare controintuitiva. Legato a un gioco televisivo americano dal cui conduttore prende il nome. Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse; dietro ad una si trova un'automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore può scegliere una delle tre porte, vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l'ha ancora aperta, il conduttore dello show che conosce ciò che si trova dietro ogni porta apre una delle altre due, rivelando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all'unica porta restante. 11