La probabilità matematica

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1 1 La probabilità matematica In generale parliamo di eventi probabili o improbabili quando non siamo sicuri se si verificheranno. DEFINIZIONE. Un evento (E) si dice casuale, o aleatorio, quando il suo verificarsi dipende unicamente dal caso. DEFINIZIONE. Un evento si dice: certo quando è possibile stabilire con assoluta certezza il suo verificarsi; impossibile quando non potrà mai realizzarsi; incerto negli altri casi. Area 3 - Capitolo 2 - PAG

2 1 La probabilità matematica Definiamo in termini matematici la probabilità dell evento E: << esce il numero 5 >>. ESEMPI! Consideriamo il lancio di un dado. Poiché i possibili esiti del lancio sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, e uno solo è il caso favorevole diremo che la probabilità dell evento è.! Se consideriamo lo stesso evento nell estrazione di un numero della tombola, dobbiamo considerare 90 possibili esiti e uno solo favorevole; in questo caso la probabilità è ! Calcoliamo la probabilità dello stesso evento nell estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte. Il numero complessivo di esiti è 40, mentre quello di esiti favorevoli è 4 (uno per ogni seme) quindi la probabilità dell evento è oppure, semplificando la frazione,. Area 3 - Capitolo 2 - PAG

3 1 La probabilità matematica In generale: DEFINIZIONE. La probabilità p(e) di un evento E è data dal rapporto fra il numero f di casi favorevoli all evento e il numero complessivo n dei casi possibili. In simboli: p( E) = f n PROPRIETÀ. La probabilità di un evento certo è sempre uguale a 1. PROPRIETÀ. La probabilità di un evento impossibile è sempre uguale a 0. PROPRIETÀ. La probabilità di un evento casuale è sempre un numero compreso fra 0 e 1. In simboli: 0 p( E) 1 Area 3 - Capitolo 2 - PAG

4 DEFINIZIONE. Due eventi E 1 e E 2 si dicono incompatibili quando il verificarsi del primo esclude il verificarsi del secondo ovvero i due eventi non si possono verificare contemporaneamente. TEOREMA. La probabilità di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di ciascun evento. In simboli: p t = p 1 + p p n ESEMPIO Mettiamo in un sacchetto una pallina rossa, tre palline nere e due palline verdi e calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina rossa o una pallina nera. Probabilità di estrarre una pallina rossa p r = 1 6 Probabilità di estrarre una pallina nera p n = 3 6 = 1 2 p t = p r + p n = = 4 6 = 2 3 Area 3 - Capitolo 2 - PAG

5 DEFINIZIONE. Due eventi E 1 e E 2 si dicono compatibili quando il verificarsi del primo non esclude il verificarsi del secondo ovvero è possibile che i due eventi si verifichino contemporaneamente. ESEMPIO Calcoliamo la probabilità che nell estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte essa sia una figura (E f ) oppure una carta di denari (E d ). In questo caso i due eventi sono compatibili perché bisogna conteggiare anche l evento che la carta estratta sia una figura di denari p c = 3 40 I casi favorevoli ai singoli eventi sono: 12 per E f (3 per ogni segno), pertanto 10 per E d (le dieci carte di denari nel mazzo), pertanto p f = = 3 10 p d = = 1 4 Continua Area 3 - Capitolo 2 - PAG

6 I casi favorevoli all evento totale (E t <<esce una figura o una carta di denari>>) sono 19 (le dodici figure + le altre sette carte di denari), quindi: p t = In questo caso la probabilità totale p t è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi (p f + p d ) diminuita della probabilità dell evento comune ai due eventi (p c ). cioè: p t = p f + p d p c = = In generale: TEOREMA. La probabilità di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità di ciascun evento diminuita della probabilità dell evento comune ai due eventi. In simboli: p t = p 1 + p 2 p c Area 3 - Capitolo 2 - PAG

7 DEFINIZIONE. Due eventi E 1 e E 2 si dicono complementari quando il verificarsi del primo esclude il verificarsi del secondo ma sicuramente uno dei due si verificherà. ESEMPIO Vogliamo calcolare la relazione tra la probabilità con cui, da un mazzo di 40 carte, venga estratta una figura (E f ) e la probabilità con cui venga estratta una carta contrassegnata da un numero (E n ). p( E f ) = = 3 10 La loro somma è p( E n ) = = 7 10 p( E f ) + p( E n ) = = 1 Area 3 - Capitolo 2 - PAG

8 In generale: REGOLA. La somma delle probabilità di due eventi complementari è sempre uguale a 1. In simboli: ( ) + p( E 2 ) = 1 p E 1 Dalla regola precedentemente definita è facile dedurre il seguente: TEOREMA (DELLA PROBABILITÀ CONTRARIA). Se p è la probabilità di un evento E 1, allora la probabilità del suo evento complementare E 2 è data dalla formula p( E 2 ) = 1 p( E 1 ) Area 3 - Capitolo 2 - PAG