COMPITO n. 1. a) Determinare la distribuzione del numero X di palline nere presenti nell urna.

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1 Università di Siena a.a. 28/9 Docente D. Papini COMPITO n. 1 a) Un dado non truccato viene lanciato due volte. Quant è la probabilità dell evento: al primo lancio esce un numero minore o uguale a 2 ed al secondo lancio un numero maggiore o uguale a 4? [1/6] b) Si hanno tre scatole che contengono: la prima due banconote da e1, la seconda una banconota da e1 ed una da e5, la terza due banconote da e5. Si sceglie a caso una delle tre scatole e si estrae a caso una banconota dalla scatola scelta: risulta estratta una banconota da e1. Quant è la probabilità che la scatola scelta sia la prima? [2/3] c) Una commissione giudicatrice di un concorso è formata da dieci persone di cui quattro sono donne ed i restanti sono uomini. Quantè la probabilità che, estraendo dalla suddetta commissione una sottocommissione di cinque individui, in quest ultima non vi sia nemmeno una donna? [1/42] si lancia quattro volte una moneta che mediamente dà testa una volta su tre; ogni volta che esce testa si inserisce una pallina nera nell urna, mentre ogni volta che esce croce si inserisce una pallina bianca. a) Determinare la distribuzione del numero X di palline nere presenti nell urna. [X B(4, 1/3)] b) Calcolare la probabilità di A = si estrae dall urna una pallina nera. [P (A) = 1/3: Attenzione! Non si ottiene facendo E[X]/4] c) Se dall urna si è estratta una pallina nera, quant è la probabilità che nell urna vi fossero esattamente k palline nere? [(X 1) A B(3, 1/3)] 3. Una fabbrica produce lampadine la cui durata di funzionamento espressa in anni può essere modellata da una variabile aleatoria Y tale che X = 4 Y segua una distribuzione esponenziale di parametro λ = 2. Si chiede di: [F Y (t) = 1 e 2 4 t & f Y (t) = 1 2 t 3/4 e 2 4 t per t > ] b) calcolare la durata media di una lampadina; [3/2] c) sapendo che una lampadina sta ancora funzionando dopo un anno, calcolare la probabilità che funzioni almeno per un altro anno. [e 2( 4 2 1) ] t k e λt dt = k!, k N, λ >.

2 Università di Siena a.a. 28/9 Docente D. Papini COMPITO n. 2 a) Si estraggono, senza restituzione, due carte da un mazzo di carte toscane (ovvero composto da 4 carte divise in quattro semi: cuori, quadri, fiori, un 5 ed una figura. [4/65] b) Due dadi non truccati vengono lanciati contemporaneamente. Quant è la probabilità dell evento: la somma dei risultati è 8? [5/36] c) In un palazzo vivono solo tre famiglie A, B, C, di quattro componenti ciascuna. La famiglia A è composta da quattro maschi, la famiglia B da tre maschi e una femmina, la famiglia C da due maschi e due femmine. Se dal portone del palazzo si osserva uscire una persona di sesso maschile, quant è la probabilità che egli appartenga alla famiglia A? [4/9] si lancia cinque volte una moneta che mediamente dà testa una volta su quattro; ogni volta che esce testa si inserisce una pallina rossa nell urna, mentre ogni volta che esce croce si inserisce una pallina verde. a) Determinare la distribuzione del numero X di palline rosse presenti nell urna. [X B(5, 1/4)] b) Calcolare la probabilità di A = si estrae dall urna una pallina rossa. [P (A) = 1/4: Attenzione! Non si ottiene facendo E[X]/5] c) Se dall urna si è estratta una pallina rossa, quant è la probabilità che nell urna vi fossero esattamente k palline rosse? [(X 1) A B(4, 1/4)] 3. Una fabbrica produce fusibili la cui durata di funzionamento espressa in mesi può essere modellata da una variabile aleatoria Y tale che X = 3 Y segua una distribuzione esponenziale di parametro λ = 1/2. Si chiede di: [F Y (t) = 1 e 3 t/2 & f Y (t) = 1 6 t 2/3 e 3 t/2 per t > ] b) calcolare la durata media di un fusibile; [48] c) sapendo che un fusibile sta ancora funzionando dopo 12 mesi, calcolare la probabilità che funzioni almeno per altri 12 mesi. [e ( )/2 ] t k e λt dt = k!, k N, λ >.

3 Università di Siena a.a. 28/9 Docente D. Papini COMPITO n. 3 a) Si hanno tre urne numerate da 1 a 3, ciascuna contenente cinque palline. L urna numero i contiene i palline bianche e 5 i palline nere, per i = 1, 2, 3. Si sceglie a caso un urna e da questa si estrae una pallina. Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia bianca. [6/15] b) Si estraggono, senza restituzione, due carte da un mazzo di carte toscane (ovvero composto da 4 carte divise in quattro semi: cuori, quadri, fiori, un sei ed una figura. [4/65] c) Una persona ha due figli, di cui il maggiore è femmina. Nell ipotesi che la determinazione del sesso di ciascun figlio equivalga a due eventi indipendenti, calcolare la probabilità che anche il secondo figlio sia di sesso femminile. [1/2] si lancia quattro volte una moneta che mediamente dà testa due volte su cinque; ogni volta che esce testa si inserisce una pallina nera nell urna, mentre ogni volta che esce croce si inserisce una pallina bianca. a) Determinare la distribuzione del numero X di palline nere presenti nell urna. [X B(4, 2/5)] b) Calcolare la probabilità di A = si estrae dall urna una pallina nera. [P (A) = 2/5: Attenzione! Non si ottiene facendo E[X]/4] c) Se dall urna si è estratta una pallina nera, quant è la probabilità che nell urna vi fossero esattamente k palline nere? [(X 1) A B(3, 2/5)] 3. Una fabbrica produce televisori la cui durata di funzionamento espressa in anni può essere modellata da una variabile aleatoria Y tale che X = 5 Y segua una distribuzione esponenziale di parametro λ = 2. Si chiede di: [F Y (t) = 1 e 2 5 t & f Y (t) = 2 5 t 4/5 e 2 5 t per t > ] b) calcolare la durata media di funzionamento di un televisore; [15/4] c) sapendo che un televisore sta ancora funzionando dopo tre anni, calcolare la probabilità che funzioni almeno per un altro anno. [e 2( ) ] t k e λt dt = k!, k N, λ >.

4 Università di Siena a.a. 28/9 Docente D. Papini COMPITO n. 4 a) Una commissione giudicatrice di un concorso è formata da dodici persone di cui cinque sono donne ed i restanti sono uomini. Quantè la probabilità che, estraendo dalla suddetta commissione una sottocommissione di sei individui, in quest ultima non vi sia nemmeno una donna? [1/132] b) Si hanno tre scatole che contengono: la prima due banconote da e5, la seconda una banconota da e1 ed una da e5, la terza due banconote da e1. Si sceglie a caso una delle tre scatole e si estrae a caso una banconota dalla scatola scelta: risulta estratta una banconota da e1. Quant è la probabilità che la scatola scelta sia la terza? [2/3] c) Un dado non truccato viene lanciato due volte. Quant è la probabilità dell evento: al primo lancio esce un numero minore o uguale a 3 ed al secondo lancio un numero maggiore o uguale a 5? [1/6] si lancia cinque volte una moneta che mediamente dà testa tre volte su quattro; ogni volta che esce testa si inserisce una pallina verde nell urna, mentre ogni volta che esce croce si inserisce una pallina rossa. a) Determinare la distribuzione del numero X di palline verdi presenti nell urna. [X B(5, 3/4)] b) Calcolare la probabilità di A = si estrae dall urna una pallina verde. [P (A) = 3/4: Attenzione! Non si ottiene facendo E[X]/5] c) Se dall urna si è estratta una pallina verde, quant è la probabilità che nell urna vi fossero esattamente k palline verdi? [(X 1) A B(4, 3/4)] 3. Una fabbrica produce led la cui durata di funzionamento espressa in mesi può essere modellata da una variabile aleatoria Y tale che X = Y segua una distribuzione esponenziale di parametro λ = 1/5. Si chiede di: [F Y (t) = 1 e t/5 & f Y (t) = 1 1 t 1/2 e t/5 per t > ] b) calcolare la durata media di un led; [5] c) sapendo che un led sta ancora funzionando dopo trenta mesi, calcolare la probabilità che funzioni almeno per altri dieci mesi. [e ( 4 3)/5 ] t k e λt dt = k!, k N, λ >.

5 Università di Siena a.a. 28/9 Docente D. Papini COMPITO n. 5 a) In un palazzo vivono solo tre famiglie A, B, C, di quattro componenti ciascuna. La famiglia A è composta da tre femmine ed un maschio, la famiglia B da due maschi e due femmine, la famiglia C da quattro femmine. Se dal portone del palazzo si osserva uscire una persona di sesso femminile, quant è la probabilità che essa appartenga alla famiglia B? [2/9] b) Due dadi non truccati vengono lanciati contemporaneamente. Quant è la probabilità dell evento: la somma dei risultati è 6? [5/36] c) Si estraggono, senza restituzione, due carte da un mazzo di carte toscane (ovvero composto da 4 carte divise in quattro semi: cuori, quadri, fiori, un due ed una figura. [4/65] si lancia quattro volte una moneta che mediamente dà testa due volte su tre; ogni volta che esce testa si inserisce una pallina blu nell urna, mentre ogni volta che esce croce si inserisce una pallina gialla. a) Determinare la distribuzione del numero X di palline blu presenti nell urna. [X B(4, 2/3)] b) Calcolare la probabilità di A = si estrae dall urna una pallina blu. [P (A) = 2/3: Attenzione! Non si ottiene facendo E[X]/4] c) Se dall urna si è estratta una pallina blu, quant è la probabilità che nell urna vi fossero esattamente k palline blu? [(X 1) A B(3, 2/3)] 3. Una fabbrica produce cellulari la cui durata di funzionamento espressa in anni può essere modellata da una variabile aleatoria Y tale che X = 3 Y segua una distribuzione esponenziale di parametro λ = 3/2. Si chiede di: [F Y (t) = 1 e 3 3 t/2 & f Y (t) = 1 2 t 2/3 e 3 3 t/2 per t > ] b) calcolare la durata media di funzionamento un cellulare; [16/9] c) sapendo che un cellulare sta ancora funzionando dopo un anno, calcolare la probabilità che funzioni almeno per un altro anno. [e 3( 3 2 1)/2 ] t k e λt dt = k!, k N, λ >.

6 Università di Siena a.a. 28/9 Docente D. Papini COMPITO n. 6 a) Una persona ha due figli, di cui il maggiore è maschio. Nell ipotesi che la determinazione del sesso di ciascun figlio equivalga a due eventi indipendenti, calcolare la probabilità che anche il secondo figlio sia di sesso maschile. [1/2] b) Si estraggono, senza restituzione, due carte da un mazzo di carte toscane (ovvero composto da 4 carte divise in quattro semi: cuori, quadri, fiori, un quattro ed una figura. [4/65] c) Si hanno tre urne numerate da 1 a 3, ciascuna contenente quattro palline. L urna numero i contiene i palline rosse e 4 i palline verdi, per i = 1, 2, 3. Si sceglie a caso un urna e da questa si estrae una pallina. Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia verde. [1/2] si lancia cinque volte una moneta che mediamente dà testa una volta su tre; ogni volta che esce testa si inserisce una pallina rossa nell urna, mentre ogni volta che esce croce si inserisce una pallina azzurra. a) Determinare la distribuzione del numero X di palline rosse presenti nell urna. [X B(5, 1/3)] b) Calcolare la probabilità di A = si estrae dall urna una pallina rossa. [P (A) = 1/3: Attenzione! Non si ottiene facendo E[X]/5] c) Se dall urna si è estratta una pallina rossa, quant è la probabilità che nell urna vi fossero esattamente k palline rosse? [(X 1) A B(4, 1/3)] 3. Una fabbrica produce lettori di DVD la cui durata di funzionamento espressa in mesi può essere modellata da una variabile aleatoria Y tale che X = 3 Y segua una distribuzione esponenziale di parametro λ = 2/3. Si chiede di: [F Y (t) = 1 e 2 3 t/3 & f Y (t) = 2 9 t 2/3 e 2 3 t/3 per t > ] b) calcolare la durata media di un lettore DVD; [81/4] c) sapendo che un lettore sta ancora funzionando dopo dieci mesi, calcolare la probabilità che funzioni almeno per altri dieci mesi. [e 2( )/3 ] t k e λt dt = k!, k N, λ >.