Esame di Statistica A-Di Prof. M. Romanazzi

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1 1 Università di Venezia Esame di Statistica A-Di Prof. M. Romanazzi 22 Gennaio 2016 Cognome e Nome N. Matricola Valutazione Il punteggio massimo teorico di questa prova è 30/30 e lode (4/30 per ciascuno degli 8 esercizi). La prova è sufficiente se il punteggio è maggiore o uguale a 18/30. L esame è individuale. Non è consentito consultare libri o appunti di qualsiasi genere. È ammesso l uso della calcolatrice tascabile e del personal computer. Prova orale. La prova orale è obbligatoria se il voto è 18 o superiore a 28. Negli altri casi è a richiesta dello studente. Motivo di esclusione. Durante l esame è vietato l uso di telefoni cellulari o strumenti assimilabili.

2 2 1. In una classe di 25 studenti 8 giocano a calcio, 5 giocano a pallacanestro e 2 praticano entrambi gli sport. Domanda 1 Qual è la probabilità che uno studente scelto a caso non pratichi nessuno dei due sport? Domanda 2 Sappiamo che Nicola, uno studente della classe, gioca a pallacanestro; qual è la probabilità p che giochi anche a calcio? È vero che gli eventi A : giocare a calcio, B : giocare a pallacanestro sono stocasticamente indipendenti (SI)? Giustifica accuratamente. p = Vero, i due eventi sono SI perchè Falso, i due eventi non sono SI perchè 2. È stagione di saldi e e ho deciso di recarmi in tre negozi, A, B e C. In ciascun negozio posso comprare o non comprare un particolare articolo e le probabilità di comprare sono p A = 0.8, p B = 0.2, p C = 0.3. Le decisioni se comprare o no nei tre negozi sono stocasticamente indipendenti. Domanda 1 Indica con X il numero (aleatorio) totale di acquisti. Quali sono i valori possibili e qual è la previsione di X? Valori possibili:, Previsione: Domanda 2 Calcola la probabilità di fare esattamente un acquisto. 3. Per raggiungere il posto di lavoro, il sig. Rossi prende l autobus n. 100 e la durata del tragitto (minuti) è una variabile aleatoria X normalmente distribuita, con parametri µ X = 15, σ X = 3. Domanda 1 Qual è la probabilità che X superi 20 minuti? Domanda 2 Il percorso dell autobus n. 100 ha subito una modifica e la durata del tragitto del sig. Rossi si è ridotta di 5 minuti. Sia Y la durata del tragitto sul nuovo percorso. Qual è la distribuzione di probabilità di Y e quali sono i valori dei parametri µ Y, σ Y? Distribuzione di probabilità di Y : µ Y = σ Y = 4. Il controllo di qualità di un industria lattiero-casearia riferisce che il tasso di fuori controllo delle bottiglie da litro di latte fresco è pari a 3%.

3 3 Domanda 1 Qual è la probabilità che in un campione casuale di 10 bottiglie almeno una sia fuori controllo? Domanda 2 Indica con X n,f C la frequenza relativa delle bottiglie fuori controllo in un campione casuale di n elementi. Sia inoltre p n la probabilità che risulti X n,f C > Quanto vale p n per n = 200? Qual è il valore limite di p n, quando n? p 200 = Valore limite di p n : 5. Da una scatola contenente 5 palline bianche, 5 nere e 5 rosse preleviamo a caso e con reinserimento n palline. Per ogni pallina estratta, se esce il rosso perdiamo un euro, se esce il nero vinciamo un euro, se esce il bianco non vinciamo e non perdiamo nulla. Supponi di eseguire n = 100 estrazioni e indica con T n il corrispondente pagamento totale. Domanda 1 Calcola valore minimo, valore massimo, valore atteso e deviazione standard di T n. Minimo: Massimo: Valore atteso: Deviazione standard: Domanda 2 Nelle stesse ipotesi della domanda precedente, calcola la probabilità che risulti 10 < T n < Il tasso di crescita naturale di una popolazione in un intervallo di tempo fissato è la differenza tra il tasso di natalità e il tasso di mortalità e viene misurato come numero di unità ogni 1000 residenti. Il ramo-foglia della Tabella 1 riporta i valori di questo indicatore rilevati in un campione casuale di n = 75 comuni italiani (fonte: ISTAT, 2014). Come recita la legenda, il punto decimale è spostato di una posizione a destra della linea verticale. n = si legge n i=1 x i = n i=1 x2 i = Tabella 1: Ramo-foglia dei dati campionari.

4 4 Domanda 1 Qual è la frequenza relativa dei comuni con una crescita naturale positiva o nulla? Domanda 2 Descrivi il criterio per rilevare i dati anomali. Controlla se nel campione sono presenti e in caso affermativo elencane i valori. Criterio per i dati anomali Elenco: 7. Riprendi i dati dell esercizio precedente e indica con µ la media del tasso di crescita naturale nella popolazione di tutti i comuni italiani. Considera il test di ipotesi H 0 : µ = 0, H 1 : µ 0. Domanda 1 Riporta la regione di rigetto del test e il valore osservato della statistica test. Regione di rigetto: Valore osservato della statistica test: Domanda 2 Calcola il valore p del test. Il risultato induce a rigettare H 0? Qual è l interpretazione per quanto riguarda la crescita naturale della popolazione italiana Valore p: I risultati inducono (non inducono) a rigettare H 0 perchè Interpretazione 8. Vogliamo confrontare il tasso di disoccupazione degli uomini (X, %) e delle donne (Y, %) nei 28 Stati dell Unione Europea (fonte: ISTAT, 2013). Il diagramma di dispersione è riportato nella Figura 1, insieme con i codici degli Stati. Le medie delle due variabili sono x = 11.18, ȳ = e le deviazioni standard sono s X = 5.31, s Y = Inoltre, il coefficiente angolare b della retta dei minimi quadrati ŷ = a+bx è pari a Domanda 1 Quanto vale il coefficiente di correlazione lineare r X,Y? r X,Y = Domanda 2 Si può affermare che il tasso di disoccupazione negli Stati dell Unione Europea mostra una forte disparità, a svantaggio delle donne? E qual è, a tale proposito, la situazione dell Italia? Ci sono Stati con situazioni particolari? Giustifica dettagliatamente, usando sia i risultati numerici che il diagramma di dispersione. Disparità, a svantaggio delle donne: Situazione dell Italia:

5 5 Tasso di Disoccupazione Unione Europea GR Donne CZ SW BES DE FI UK LU MANE RO AUGE IT SK PR CY BU SL PO LA IR UN LI FR CR SP Uomini 2013 Figura 1: Diagramma di dispersione. Stati con situazioni particolari: Giustificazione: