Esercizi su Regressione e Connessione

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1 Esercizi su Regressione e Connessione Stefano Cabras 31 marzo 2009 Sommario Questa serie di esercizi è principalmente incentrata sulla regressione e la connessione, tuttavia in alcuni esercizi le soluzioni proposte fanno riferimento ad argomenti del corso che saranno impartiti nelle sezioni dedicate alla probabilità e all inferenza. 1 Esercizio La relazione di dipendenza tra il consumo di carburante x (in litri) e lo spazio percorso Y (espresso in Km) per un automobile è del tipo Y = a+bx. L utilizzo dell automobile è tale per cui non rimane mai ferma con il motore acceso; inoltre sappiamo che non è stata mai spinta; non vi sono perdite di carburante dal serbatoio e quindi il carburante viene utilizzato solo per muovere il veicolo. In alcune prove la distanza media percorsa è 20 Km, mentre il corrispondente consumo medio è stato di un litro con uno scarto pari a un Km per lo spazio percorso. 1.1 Determinare il valore di b. Dal testo sappiamo che se x = 0 allora Y = 0 e ciò avviene solo se la retta passa per l origine degli assi. Dunque a = 0. La stima di a è cioè 0 = a = ȳ b x, b = σ xy 2, 0 = ȳ σ xy 2 x, dove ȳ = 20, x = 1, σ 2 x = 1, mentre σ xy è incognita. Quindi da cui 0 = 20 σ xy, σ xy = b = 20. Senza effettuare i calcoli, ma semplicemente interpretando il significato del coefficiente b: numero di Km percorsi con 1 litro si poteva affermare b = 20 Km. 1

2 1.2 Esiste una relazione causale tra Y e x? Evidentemente si, perchè il consumo di carburante è dovuto esclusivamente allo spazio percorso dall automobile. In questo caso la correlazione è anche un indicatore della relazione causa (spazio percorso) ed effetto (consumo di carburante). 2 Esercizio Per verificare l indipendenza tra il contatto con una sostanza tossica (C=Contatto, NC=Non Contatto) e una certa malattia (S=Sano, M=Malato) è stato effettuato uno studio su 100 persone. La metà degli individui è venuta a contatto con la sostanza. Tra gli individui che sono venuti a contatto con la sostanza, il 40% è risultato sano, mentre tra coloro che non sono venuti a contatto con la sostanza la metà risulta malata. 2.1 Supponendo che la popolazione di riferimento sia composta da tutti gli intervistato si dica se la probabilità di ammalarsi aumenta con il contatto con la sostanza tossica. La tebella completa è la seguente: Dobbiamo calcolare il rapporto Sano Malato Contatto Non Contatto k = quindi la probabilità aumenta del 20%. Pr(M C) Pr(M NC) = = 1.2, 2.2 Verificare l ipotesi di indipendenza ai livelli di significatività del 5% e 1% tra il contatto con la sostanza e la malattia. Le frequenze teoriche n ij sono Sano Malato Contatto Non Contatto Quindi 2 2 χ 2 (n ij n ij obs = )2 i=1 j=1 n ij

3 Il χ 2 assuma valori tra (0, n min{(i 1), (J 1)}) (0, 100) e quindi dividendolo per il suo massimo si ottiene un indice che varia tra 0 e 1 chiamato indice di Cramér 3 Esercizio ψ = χ 2 obs n min{(i 1), (J 1)} = Per le variabili statistiche z e h sono noti i momenti primi m h = 0.33, m z = 0.01 e i momenti secondi, m h = 0.233, m z = non centrati ottenuti su una popolazione di 10 individui. Infine è nota la funzione di regressione di z h: z = h. 3.1 Si determini la percentuale di varianza spiegata dalla retta di regressione. Dal testo sappiamo: s h = 10 i=1 h i = 3.3, s z = 10 i=1 z i = 0.1, s h 2 = 10 i=1 h2 i = 2.33, s z 2 = 10 i=1 z2 i = Usando le formule di decomposizione della varianza si ha ( ) σ h = n s h 2 n s h = = ( ) σ z = n s z 2 n s z = = Il coefficiente di correlazione è ρ hz = bσ h 1 σ z = = 0.99, quindi la varianza spiegata dalla retta è il circa il 99%. 3.2 Si determini la derivata prima della retta di regressione di h z. La derivata prima della retta h z non è altro che il suo coefficiente: 4 Esercizio b h z = b z h σ 2 h σ 2 z = = I dati relativi alla distribuzione empirica della coppia di variabili statistiche (X, Y ) sono andati persi. Tuttavia, per le 20 coppie osservate sono note le seguenti statistiche: 3

4 la retta di regressione X y : x = y le varianze campionarie non corrette sono S 2 x = 529, S 2 y = ; l inverso delle medie x 1 = , ȳ 1 = ; la retta di regressione Y x : y = x 4.1 Determinare le varianze campionarie corrette. La varianzia non corretta è S x 2 = 1 n n i=1 (x i x) 2, mentre quella corretta è Sx 2 = 1 n n 1 i=1 (x i x) 2, dunque Analogamente S 2 x = S 2 y = n n 1 S 2 x = n n 1 S 2 y = Si determini la proporzione di varianza non spiegata dalla retta di regressione Y x ottenuta con il metodo dei minimi quadrati. La proporzione di varianza spiegata dal modello è data da R 2 = ( ) 2 ( b S x S y = ) 2 = Quella non spiegata è quindi = circa il 90%. 5 Esercizio Analizzando la relazione tra il peso Y (in gr) e la lunghezza massima x (in mm) è stata ipotizzata una funzione del tipo Y = a + bx. Sappiamo che la funzione, stimata con il metodo dei minimi quadrati, è stata forzata a passare per l origine del sistema di coordinate (Y, x). Le medie osservate sono x = 10, ȳ = 20, la varianza per l altezza è 10, mentre la varianza del peso è σ 2 y = Valutare la bontà di adattamento della retta di regressione. Per valutare la retta di regressione dobbiamo determinare R 2 = ρ 2 = ( y σ x σ y quindi occorre calcolare σ xy. Dal testo sappiamo che se x = 0 allora Y = 0 e ciò avviene solo se la retta passa per l origine degli assi. Dunque a = 0. La stima di a è 0 = a = ȳ b x, b = σ xy 2, ) 2 4

5 occorre quindi risolvere l equazione in σ xy : Quindi ȳ σ xy 2 x = 0 σ xy = σ2 xȳ = = 20 x 100 R 2 = ρ 2 = ( y σ x σ y ) 2 = ( ) 2 20 = 0.04, è l adattamento della retta di regressione è decisamente debole, infatti siamo in grado di spiegare solo il 4% della variabilità del peso. 5.2 Determinare l errore di previsione su un nuovo insetto che è lungo 0,02 metri e pesa 10gr. Occorre calcolare il valore stimato Ŷ per x = 20, dunque Ŷ = b 20 = = L errore di previsione è una sottostima di 6 gr. 6 Esercizio Per verificare l associazione tra rendimento scolastico e un certo libro di testo è stato effettuato uno studio su 100 scolari i cui risultati sono in parte riportati nella seguente tabella: Mediocre Buono Testo adottato Testo non adottato Supponendo che l insieme di tutti gli scolari sia esattamente composto dai 100 scolari intervistati e utilizzando la nozione frequentista di probabilità, si dica se diminuisce la frequenza di un rendimento buono quando il testo è adottato. La tebella completa è la seguente: Mediocre Buono Testo adottato Testo non adottato Indichiamo con E l evento il testo è adottato e con M lo scolaro ha un rendimento buono. Dobbiamo calcolare il rapporto k = quindi la probabilità aumenta del 20%. Pr(M E) 30 = Pr(M Ē) 25 = 1.2, 5

6 6.2 Verificare l ipotesi di indipendenza tra rendimento e adozione del libro. Le frequenze teoriche n ij sono Mediocre Buono Testo adottato Testo non adottato Quindi 2 2 χ 2 (n ij n ij obs = )2 i=1 j=1 n ij Esercizio Nello studio di una retta di regressione Y = a + bx si sa solamente che la pendenza della retta è negativa e che tramite x si spiega il 90% della variabilità di Y 7.1 Determinare il coefficiente di correlazione lineare tra Y e x. Dal testo il valore R 2 = 0.9. Il coefficiente di correlazione a meno del segno è ρ = R 2 = 0.9 = Siccome b < 0 allora deve essere ρ = Sapendo che le varianze osservate sono pari a 9 e 4 rispettivamente per Y e x, determinare la covarianza tra x e Y. Possiamo utilizzare la relazione ρ = cov(x,y) σ xσ y = 8 Esercizio cov(x, y) 3 2 dunque cov(x, y) = = Un produttore di computer vuole capire se la diffusione di due virus (A,B) è associato a un sistema operativo (W,M,L). A tal proposito raccoglie i dati relativi a 355 computer infettati W M L A B

7 8.1 Sulla base della risposta alla domanda del produttore si può dire che il sistema operativo W causa la diffusione di un virus? L associazione tra due variabili non implica un nesso causale. Infatti vi possono essere variabili confondenti come ad esempio l operatore al computer, per cui può risultare che il sistema operativo sia associato al virus, mentre la causa di diffusione è una particolare azione dell operatore. 8.2 Determinare se esiste associazione tra tipo di virus e sistema operativo. Si tratta di effettuare un test χ 2 sull indipendenza. La statistica χ 2 osservata vale 7.26, da confrontare con il valore teorico al 95% χ 2 ν=2,α=0.05 = 5.99, pertanto al 95% l ipotesi di indipendenza tra sistema operativo e virus è rifiutata. Lo stessa ipotesi però non può essere rifiutata al 99%, infatti χ 2 ν=2,α=0.05 = 9.21 > Esercizio Su 10 unità statistiche sono stati rilevati i valori delle variabili X e Y che le caratterizzano, ottenendo le seguenti statistiche: s x = 10 i=1 x i = 3.3, s y = 10 i=1 y i = 0.1, s x 2 = 10 i=1 x2 i = 2.33, s y 2 = 10 i=1 y2 i = La retta di regressione di Y x ha la seguente equazione Y = x 9.1 Si determini il coefficiente di correlazione lineare tra X e Y. Usando le formule di decomposizione della varianza si ha ( ) σ x = n s x 2 n s x = = ( ) σ y = n s y 2 n s y = = Il coefficiente di correlazione è ρ xy = bσ x 1 σ y = =

8 9.2 Si determini la retta di regressione di X y. Il coefficiente della retta X y è mentre b X y = b Y x σ 2 x σ 2 y = = 0.317, a X y = x ȳb X y = = Quindi la retta cercata è X = y. 10 Esercizio Della variabile doppia (X, Y ) sono state osservate su 20 individui: le medie x = 8.5, x = 53; gli scarti campionari non corretti S x = 23, S y = 10.8; la retta di regressione Y x : y = x la retta di regressione X y : x = y 10.1 Determinare le varianze campionarie corrette. S x 1 n = n i=1 (x i x) 2, mentre la varianza campionaria corretta è Sx 2 = 1 n n 1 i=1 (x i x) 2, dunque Sx 2 = n n 1 (S x) 2 = Analogamente S 2 y = n n 1 (S y) 2 = Si determini la varianza residua della retta Y x. La proporzione di varianza spiegata dal modello è data da ( ) 2 ( R 2 = b S x S y = ) 2 = Sappiamo inoltre che R 2 = 1 V R (S y) 2 V R = (S y) 2 (1 R 2 ) = ( ) = Esercizio Nello studio sulla resistenza elastica di un cavo di sezione unitaria, la relazione tra l allungamento Y (in mm) e la forza applicata x (in [N]) è Y = a+bx. I dati originali sono andati persi, però sappiamo che la retta stimata con il metodo dei minimi quadrati ci informa che se non applichiamo forze il cavo non si allunga e che le medie osservate sono x = 10, ȳ = 20, la varianza è σ 2 x = 100, mentre la varianza dell allungamento è σ 2 y =

9 11.1 Valutare la bontà di adattamento della retta di regressione. Per valutare la retta di regressione dobbiamo determinare R 2 = ρ 2 = ( y σ x σ y quindi occorre calcolare σ xy. Dal testo sappiamo che se x = 0 allora Y = 0 e ciò avviene solo se la retta passa per l origine degli assi. Dunque a = 0. La stima di a è 0 = a = ȳ b x, b = σ xy 2, occorre quindi risolvere l equazione in σ xy : Quindi ) 2 ȳ σ xy 2 x = 0 σ xy = σ2 xȳ = = 20 x 100 R 2 = ρ 2 = ( y σ x σ y ) 2 = ( ) 2 20 = 0.04, è l adattamento della retta di regressione è decisamente debole, infatti usando la sola forza applicata, siamo in grado di spiegare solo il 4% della variabilità del numero di pezzi rotti In una prova successiva sono stati applicati 20 [N] e la barra si è allungata di 10mm. Qual è l errore di previsione del modello per questa prova? Occorre calcolare il valore stimato Ŷ per x = 20, dunque Ŷ = b 20 = = L errore di previsione è una sottostima di 6 mm. 9