Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia. Corso di Statistica Medica. Correlazione. Regressione Lineare
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1 Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia Corso di Statistica Medica Correlazione Regressione Lineare Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 1
2 Campo di applicazione Analisi della relazione tra due variabili continue. Es: relazione tra altezza e peso Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 2
3 Campo di applicazione Le variabili sono associate? -> correlazione Come varia il valore di una variabile in conseguenza del variare di un altra variabile? -> regressione Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 3
4 Correlazione Dato un insieme di osservazioni definite da due variabili continue, valutiamo la forza dell associazione tra le due variabili disegnando il diagramma di dispersione e calcolando il coefficiente di correlazione. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 4
5 Correlazione Il diagramma di dispersione si disegna riportando i valori delle osservazioni su un sistema di assi cartesiani, in cui l asse x rappresenta una delle due variabili e l asse y l altra variabile. Il diagramma consente di collocare ogni osservazione nello spazio definito dai valori possibili delle due variabili. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 5
6 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza 36,0 34,0 32,0 circonferenza cranica 30,0 28,0 26,0 24,0 22,0 20, lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 6
7 La forma della nuvola di punti così ottenuta consente una valutazione visiva del grado di associazione tra le due variabili. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 7
8 36,0 Relazione tra circonferenza cranica alla nascita ed età materna 34,0 32,0 circonferenza cranica 30,0 28,0 26,0 24,0 22,0 20, età materna Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 8
9 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza 36,0 34,0 32,0 circonferenza cranica 30,0 28,0 26,0 24,0 22,0 20, lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 9
10 Il coefficiente di correlazione di Pearson (r) consente la valutazione formale del grado di associazione. L intervallo dei valori possibili di r è: -1 <= r <=1 Se r=1 o r=-1 tutti i punti giacciono su una retta Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 10
11 36,0 34,0 Relazione tra circonferenza cranica alla nascita ed età materna r = 0,15 32,0 circonferenza cranica 30,0 28,0 26,0 24,0 22,0 20, età materna Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 11
12 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza 36,0 34,0 r = 0,72 32,0 circonferenza cranica 30,0 28,0 26,0 24,0 22,0 20, lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 12
13 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 13 ( )( ) ( ) ( ) = = = = n i n i i i n i i i y y x x y y x x r La formula del coefficiente di correlazione di Pearson (r)
14 Relazione tra concentrazione plasmatica i colesterolo e trigliceridi Colesterolo Trigliceridi (x) x y 1 3,45 6,24-2,459-0, ,5 6,18-2,409-0, ,95 5,2-2,959-1, ,77 6,11-2,139-0, ,67 6,36-2,239-0, ,31 5,67-0,599-1, ,1 5,48-0,809-1, ,85 5,67 1,941-1, ,79 9,4 2,881 2, ,3 8,4 6,391 1,667 medie: 5,669 6,471 (y) ( ) y i xi ( ) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 14
15 Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi trigliceridi colesterolo Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 15
16 Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi Colesterolo (x) Trigliceridi ( y) xi y i ( x) ( y y) ( x) (y) x i * ( x ) i x i 2 ( y y) i 2 3,45 6,24-2,459-0,493 1, , , ,5 6,18-2,409-0,553 1, , , ,95 5,2-2,959-1,533 4, , , ,77 6,11-2,139-0,623 1, , , ,67 6,36-2,239-0,373 0, , , ,31 5,67-0,599-1,063 0, , , ,1 5,48-0,809-1,253 1, , , ,85 5,67 1,941-1,063-2, , , ,79 9,4 2,881 2,667 7, , , ,3 8,4 6,391 1,667 10, , , Sommatorie: 26, , ,46149 r= 0, Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 16
17 Esercizi Correlazione Pag. 304 n. 1 Pag. 304 n. 5 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 17
18 Regressione Stima della variazione media di una variabile in conseguenza della variazione unitaria di un altra variabile Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 18
19 Variabile indipendente -> causa Variabile dipendente -> effetto Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 19
20 Variabile indipendente -> causa -> ascisse Variabile dipendente -> effetto -> ordinate Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 20
21 effetto y V. d i p e n d e n t e Var. indipendente x causa Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 21
22 Obiettivo dell analisi di regressione: Individuare la retta che meglio predice il valore di y (variabile dipendente), noto il valore di x (variabile indipendente). y=a+bx Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 22
23 y=a+bx a -> intercetta b -> pendenza Come stimiamo i valori dei due coefficienti? Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 23
24 Il valore atteso di x è la sua media y Media di x x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 24
25 Il valore atteso di y è la sua media Media di y x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 25
26 La retta che meglio predice y x passa per la media di x e di y y Media di x e media di y x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 26
27 Per un punto passano infinite rette! Quale retta scegliamo? Con quale criterio? y x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 27
28 y x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 28
29 y valore y_osservato valore y_predetto x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 29
30 Residuo (o scarto) = valore y_osservato valore y_predetto La retta migliore minimizza la somma dei quadrati dei residui y Metodo detto dei minimi quadrati valore y_osservato valore y_predetto x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 30
31 a = y bx ( )( ) x x y y ( ) x b = i 2 i x i Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 31
32 Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi Colesterolo (x) Trigliceridi ( y) xi y i ( x) ( y y) ( x) (y) x i * ( x ) i x i 2 1 3,45 6,24-2,219-0,231 0, , ,5 6,18-2,169-0,291 0, , ,95 5,2-2,719-1,271 3, , ,77 6,11-1,899-0,361 0, , ,67 6,36-1,999-0,111 0, , ,31 5,67-0,359-0,801 0, , ,1 5,48-0,569-0,991 0, , ,85 5,67 2,181-0,801-1, , ,79 9,4 3,121 2,929 9, , ,3 8,4 6,631 1,929 12, , medie: 5,669 6,471 26, ,54389 b= 0, a= 4, Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 32
33 variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo 10 trigliceridi (y) colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 33
34 variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo trigliceridi (y) colesterolo (x) b = 0,32 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 34
35 variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo trigliceridi (y) a=4, colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 35
36 variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo trigliceridi=4,67 + 0,32* colesterolo 10 trigliceridi (y) colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 36
37 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 37 Formule abbreviate ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) = x x y x y x y i n i a i i i i i ( ) ( )( ) ( ) ( ) = x x y x y x i n i n b i i i i 2 2 Queste formule sono più convenienti per il calcolo a mano Si basano sulle formule abbreviate per il calcolo della varianza
38 Requisiti dell analisi di regressione Y è una variabile casuale Omoscedasticità (omogeneità della varianza di y x) Distribuzione normale di y x Linearità della relazione tra x ed y Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 38
39 In questo esempio abbiamo dati campionati da una popolazione in cui le tre assunzioni sono soddisfatte Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 39
40 Variabilità della retta di regressione. y è una variabile casuale x di solito non è una variabile casuale. Il ricercatore può scegliere soggetti con i valori della x più adatti per lo studio. Pertanto siamo interessati a valutare la variabilità di y Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 40
41 Varianza intorno alla retta di regressione (stima campionaria) s ( ) y yˆ 2 i i = n 2 2 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 41
42 Residuo (o scarto) = valore y_osservato valore y_predetto Varianza = scarti ^ 2 / g.l. y valore y_osservato scarto valore y_predetto x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 42
43 s ( ) y yˆ 2 i i = n 2 2 y ˆ = a + i bx i Sostituisco: s 2 ( y a bx ) = i n 2 i 2 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 43
44 Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi Colesterolo Triglicerid att(y) y-att(y) (y-att(y))^2 (x) i (y) 1 3,45 6,24 5, , , ,5 6,18 5, , , ,95 5,2 5, ,4071 0, ,77 6,11 5, , , ,67 6,36 5, , , ,31 5,67 6, , , ,1 5,48 6, , , ,85 5,67 7, , , ,79 9,4 7, , , ,3 8,4 8, , , somma degli scarti^2 8, b= 0, s(b)^2= 1, a= 4, Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 44
45 Omoscedasticità: la varianza di y è costante per tutto l intervallo x. E un requisito per la corretta applicazione della regressione lineare (v.oltre) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 45
46 Errore standard di b ES( b) = s 2 ( x x) 2 i Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 46
47 Colesterolo (x) Trigliceridi ( ) (y) x xi 2 att(y) y-att(y) (y-att(y))^2 1 3,45 6,24 4, , , , ,5 6,18 4, , , , ,95 5,2 7, , ,4071 0, ,77 6,11 3, , , , ,67 6,36 3, , , , ,31 5,67 0, , , , ,1 5,48 0, , , , ,85 5,67 4, , , , ,79 9,4 9, , , , ,3 8,4 43, , , , ,54389 somma degli scarti^2 8, b= 0, s(b)^2= 1, a= 4, ES(b)= 0, Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 47
48 Errore standard di b ES( b) = s 2 ( x x) 2 i L errore standard di b si riduce, a parità di s, quando la variabilità di x è maggiore! Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 48
49 Intervallo di Confidenza e tests t per il coefficiente di regressione t = distanza tra il valore di b stimato (b) e quello previsto dall ipotesi nulla (ß, di solito H0: ß =0), in unità di errore standard di b (SE(b)) t = b β SE(b) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 49
50 Intervallo di Confidenza del coefficiente di regressione L intervallo di confidenza si calcola nel modo consueto (v. lezione precedente) t ha (n-2) gradi di libertà ed il valore è scelto in modo corrispondente all errore di I tipo, con test a 2 code CI = b ± t crit SE(b) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 50
51 Colesterolo (x) Trigliceridi ( ) (y) x xi 2 att(y) y-att(y) (y-att(y))^2 1 3,45 6,24 4, , , , ,5 6,18 4, , , , ,95 5,2 7, , ,4071 0, ,77 6,11 3, , , , ,67 6,36 3, , , , ,31 5,67 0, , , , ,1 5,48 0, , , , ,85 5,67 4, , , , ,79 9,4 9, , , , ,3 8,4 43, , , , ,54389 somma degli scarti^2 8, b= 0, s(b)^2= 1, a= 4, ES(b)= 0, IC(95%)_b= 0, , Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 51
52 variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo trigliceridi=4,67 + 0,32* colesterolo IC(95%)_b= 10 0,06-0,57 trigliceridi (y) colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 52
53 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza circonferenza cranica 36,0 34,0 32,0 30,0 28,0 26,0 24,0 a=8,02 b= 0,51 ES(b)=0,05021 (IC 95%_b: 0,41-0,61) y= 8,02 + 0,51x 22,0 20,0 18, lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 53
54 Valore di y predetto dalla retta di regressione data y=a+bx, dopo aver ricavato a e b possiamo predire il valore atteso di y, corrispondente ad un dato valore di x. Il calcolo si effettua sostituendo il valore di x nella formula, noti a e b e risolvendo l equazione. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 54
55 Valore di y predetto dalla retta di regressione Es. il valore di circonferenza cranica predetto per un bambino di lunghezza 41 cm è ŷ =8,02+0,513 * x ŷ ŷ =8,02+0,513 * 41 =29,05 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 55
56 Intervallo di confidenza dei valori predetti PI ( ) 2 x x i ( ) x x 1 = yˆ ± t s 1+ + gl, α 2 2 n i Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 56
57 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza Es. il valore di circonferenza cranica predetto per un bambino di lunghezza 41 cm è ŷ =29,05 ŷ IC( )= 25,47-32,63 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 57
58 Intervallo di confidenza dei valori predetti PI ( ) 2 x x i ( ) x x 1 = yˆ ± t s 1+ + gl, α 2 2 n i La predizione ha un errore maggiore allontanandosi dalla media di x La predizione ha un errore minore con un ampia variabilità di x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 58
59 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 59
60 atteso_y Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 60
61 Cautele nella predizione La predizione non è valida fuori dell intervallo osservato di x La predizione è più incerta agli estremi della distribuzione di x Per migliorare la precisione della predizione debbo aumentare la somma dei quadrati degli scarti (devianza) di x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 61
62 Outliers ed osservazioni influenti Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 62
63 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza Ho due outliers, indicati come: 1 e 2 36,0 34,0 2 32,0 30,0 circonferenza cranica 28,0 26,0 24,0 22,0 1 20,0 18, lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 63
64 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza Se escludo outlier 1 36,0 34,0 32,0 30,0 circonferenza cranica 28,0 26,0 24,0 22,0 1 20,0 18, lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 64
65 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza 36,0 34,0 Se escludo outliers 1 e ,0 circonferenza cranica 30,0 28,0 26,0 24,0 22,0 1 20,0 18, lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 65
66 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza Tutti i dati: a=8,02 b= 0,51 Escluso outlier 1: a=4,91 b=0,60 Esclusi outlier 1 e 2: a=4,46 b=0,61 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 66
67 Valutazione del modello R 2 : proporzione della varianza che è spiegata dal modello di regressione = coefficiente di correlazione ^2 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 67
68 variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo trigliceridi=4,67 + 0,32* colesterolo 10 r =0,716 R 2 =0,51 trigliceridi (y) colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 68
69 Verifica dei modelli Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Distribuzione normale degli errori Linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 69
70 Verifica dei modelli Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Distribizione normale degli errori Linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 70
71 Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 71
72 Verifica delle assunzioni del modello La verifica delle assunzioni del modello viene condotta esaminando la distribuzione dei residui Se la varianza è costante per tutta la distribuzione della x,anche i residui saranno distribuiti in modo uniforme. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 72
73 Verifica delle assunzioni del modello Distribuzione uniforme dei residui Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 73
74 Distribuzione uniforme dei residui Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 74
75 Distribuzione non uniforme dei residui Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 75
76 Distribuzione non uniforme dei residui Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 76
77 Verifica dei modelli Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Distribuzione normale degli errori Linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 77
78 Distribuzione normale dei residui (errori) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 78
79 Distribuzione non normale dei residui (errori) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 79
80 Distribuzione non normale dei residui (errori) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 80
81 Verifica dei modelli Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Distribizione normale degli errori Linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 81
82 Perchè parliamo di regressione lineare? La variazione lineare è spesso una spiegazione adeguata Variazioni non lineari diventano tali dopo una trasformazione matematica di una delle variabili La variazione lineare è un punto di partenza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 82
83 Non-linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 83
84 Non-linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 84
85 Trasformazioni normalizzanti e linearizzanti Radice quadrata Logaritmo Inversa (meglio se ulteriormente moltiplicata per -1) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 85
86 Trasformazioni normalizzanti e linearizzanti Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 86
87 Trasformazioni normalizzanti e linearizzanti Dati trasformati Inversa negativa Log Radice Dati originali Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 87
88 Esercizi regressione Pag.326 n 1 Pag.326 n 3 Pag.326 n 4 Pag.326 n 6 Pag.326 n 10 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 88
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