Interpolazione e metodo dei minimi quadrati

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1 A. A Interpolazione e metodo dei minimi quadrati prof. ing. Antonio Comi Department of Enterprise Engineering Tor Vergata University of Rome

2 Relazioni tra variabili Molto spesso si verifica che esiste una relazione tra due (o più) variabili. Per esempio: il tempo di percorrenza di un arco e il numero di veicoli che lo utilizzano È frequente desiderabile esprimere questa relazione in forma matematica determinando una relazione che leghi le varibili

3 Interpolazione Per determinare una relazione che leghi le variabili, un primo passo è la raccolta di dati che mostrino valori corrispondenti delle variabili considerate. Per esempio, supponiamo che X e Y indichino rispettivamente il flusso su un genero arco e il tempo di percorrenza. Allora un campione di N osservazioni fornirebbe i valori di flusso X1, X,.. XN ed i corrispondenti tempi di percorrenza Y1, Y, YN. Il passo seguente è quello di riportare i punti (X1, Y1), (X, Y),, (XN, YN) su un sistema di coordinate cartesiane. Il diagramma corrispondente è detto diagramma a dispersione. 3

4 Interpolazione Esempio di diagramma di dispersione Curva interpolante Curva interpolante Esempio di relazione lineare Esempio di relazione non-lineare Il problema di trovare l'equazione di una curva che interpoli i dati è detto interpolazione 4

5 Esempi di equazioni interpolanti Le variabili X ed Y sono chiamate variabile indipendente e variabile dipendente Retta Y = a1x + a0 Parabola o curva quadratica Y = a0 + a1* X + a *X.. 5

6 Metodo dei Minimi Quadrati (1/) Consideriamo di aver più osservazioni dello stesso fenomeno. Per un dato valore di X, ad esempio X1, ci potrà essere una differenza tra il valore di Y1 ed il corrispondente valore determinando con la curva C. Indichiamo con D1 questa differenza (errore) che può essere positiva o negativa o nulla. Analogamente otteniamo le deviazioni per tutti i punti sperimentali (Di) Curva interpolante (C) (Xi, Yi) Di (X1, Y1) D

7 Metodo dei Minimi Quadrati (/) Una misura della "bontà di interpolazione" effettuata per mezzo della curva C è fornita dalla somma D D i + D N. L'interpolazione è tanto migliore quanto più piccola è tale somma. La curva che è la migliore interpolante è detta curva dei minimi quadrati. RETTA DEI MINIMI QUADRATI 7

8 Retta minimi quadrati [1/3] La retta dei minimi quadrati interpolante l'insieme di punti (X1, Y1), (X, Y),, (XN, YN) può essere espressa nella forma Y = a0 + a1 * X dove a0 e a1 sono costanti che vengono determinate risolvendo simultaneamente le equazioni 0 1 Y = a N + a X = XY a X a X che sono dette equazioni normali della retta dei minimi quadrati 8

9 Retta minimi quadrati [/3] Le equazioni normali possono essere trovate per mezzo delle seguenti espressioni a a = ( Y ) ( X ) ( X ) ( XY ) N X ( X ) 0 = ( ) ( ) N X ( X ) N XY X Y 1 le sommatorie sono estese da 1 a N 9

10 Retta minimi quadrati [3/3] Mediante una opportuna trasformazione, le equazioni normali possono essere scritte come segue: ( xy) ( x ) ( xy ) ( x ) y = x oppure y = x con x = X X e y = Y Y In particolare, se X è tale che X = 0, cioè X = 0, si ha Y XY = Y + X X 10

11 Y Esempio [1/3] Si costruisca la retta che interpoli i dati di cui in tabella X Y X Y = a0 + a1 * X 11

12 X Y Esempio [/3] X= 56 Y= 40 X XY Y X = 54 XY= 364 Y = 56 Y = a N + a X 0 1 = XY a X a X N = 8 40 = a 8 + a = a 56 + a a a 0 1 = =

13 Esempio [3/3] a XY ˆ 364 = = = Xˆ 54 1 a 1 = Xˆ = X X Ricordando che la retta ottenuta è parallela a quella iniziale e che la traslazione è stata effettuata di una quantità pari al valore della media di X (=7), si ha: 5 = a a 0 = =

14 Indicatore di bontà di accostamento R = coefficiente di determinazione devianza totale di Y è la somma dei quadrati degli scarti dei valori di Y dalla media Y devianza totale = devianza residua = devianza spiegata = ( Y Y) ( Y Yˆ ) ( Yˆ Y), dove è il valore di Y stimato, dove è il valore di Y stimato devianza spiegata R = devianza totale 14

15 Esempio Coefficiente di determinazione devianza totale Y stimato devianza spiegata 16,000 1,18 14,579 9,000,455 6,479 1,000 3,091 3,645 1,000 4,364 0,405 0,000 5,636 0,405 4,000 6,73 1,60 9,000 7,545 6,479 16,000 9,455 19,843 = 56 = 40 = 53,454 devianza spiegata 53, 454 R = = = 0,954 devianza totale 56 15