INTERPOLAZIONE. Introduzione

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1 Introduzione INTERPOLAZIONE Quando ci si propone di indagare sperimentalmente la legge di un fenomeno, nel quale intervengono due grandezze x, y simultaneamente variabili, e una dipendente dall altra, si determinano, mediante esperienze, per certi valori x o, x 1, x 2,.x n della x di un certo intervallo [a,b], i valori corrispondenti y o, y 1, y 2,.y n della y. Per avere l idea dell andamento del fenomeno, è utile costruire sul piano xy i punti: A 0, A 1, A 2,,A n, immagini di queste coppie ordinate di valori (x, y). Se si potessero effettuare e registrare le misure per tutti i valori consentiti alla x, si potrebbe tracciare con esattezza la curva rappresentatrice del fenomeno considerato. In pratica ci si limita a considerare un gruppo di valori: x o, x 1,...x n abbastanza prossimi fra loro, in modo che anche i corrispondenti punti A 0, A 1, A 2,,A n siano vicini, e poi si congiungono tali punti con un tratto continuo di linea che costituisce un diagramma approssimato a quello rappresentativo del fenomeno, nell intervallo [a, b] a cui sono state estese le osservazioni sperimentali. E evidente che la funzione y = f(x), che rappresenta analiticamente il fenomeno, non è conosciuta, a priori non si sa nemmeno se esiste, ma si sa soltanto, in base a una serie di esperienze, che in corrispondenza agli (n+1) valori: x o, x 1,.x n di un certo intervallo [a, b] tale funzione vale, rispettivamente y o, y 1,...y n.. Il problema che si pone, allora, è di trovare una funzione F(x), la più semplice possibile, che sia l espressione esatta o approssimata, della funzione incognita y = f(x), sull intervallo [a, b], e tale che nei punti x o, x 1,.x n assuma gli stessi valori di f(x), cioè tale che sia: (1) F(x o )= y o, F(x 1 )= y 1, F(x 2 )= y 2,., F(x n )= y n,. I punti x o, x 1,.x n si chiamano punti di interpolazione, e la funzione F(x) si chiama funzione interpolatrice (della funzione f(x)). Da quanto detto, segue che, geometricamente, trovare la F(x) significa trovare una curva di equazione y = F(x) passante per i punti: per i quali passa la funzione y = f(x). (x o,, y o ), (x 1, y 1 ),, (x n, y n,), 1

2 1. Interpolazione lineare Il caso più semplice di interpolazione è quello dell interpolazione lineare, in cui la funzione incognita è approssimata, nell intervallo definito da due punti consecutivi A 0 (x 0, y 0 ), A 1 (x 1, y 1 ), mediante la retta passante per A 0 e A 1. L interpolazione lineare consiste, in pratica, nel sostituire ad un arco A 0 A 1 la corda A 0 A 1. La retta passante per A 0 e A 1 ha equazione: (1) y - y 0 = x - x 0 y 1 - y 0 x 1 - x 0 che può assumere la forma: y = y 0 + x - x 0 (y 1 - y 0 ) oppure : x = x 0 + y - y 0 (x 1 - x 0 ). x 1 - x 0 y 1 - y 0 La formula (1) dell interpolazione lineare si può trasformare in vari modi. Uno di questi è dovuto a Lagrange, che ha affrontato in termini generali il problema. Dalla (1) si ottiene: y = y 0 x - x 1 + y 1 x - x 0 x 0 - x 1 x 1 - x 0 Questo modo di scrivere si presta meglio al calcolo automatico e alle generalizzazioni Se la funzione f(x) da interpolare ammette almeno derivata di ordine due, si dimostra che l errore che si commette nell interpolazione lineare è maggiorato da: R 2 (x) M 2 (x x 0 )(x-x 1 ) 2 dove M 2 è il massimo in valore assoluto della f (x) all interno dell intervallo [x 0, x 1 ] y A 1 P A 0 y 0 y y 1 O x 0 x x 1 x 2

3 2. Interpolazione parabolica o quadratica Si abbiano tre punti: e si voglia trovare la parabola: che passi per tali punti, deve essere: A 0 (x 0, y 0 ), A 1 (x 1, y 1 ), A 2 (x 2, y 2 ), y = f (x) = ax 2 + bx + c (1) y 0 = f (x 0 ); y 1 = f (x 1 ); y 2 = f( x 2 ); (2) in tal caso si parla di interpolazione parabolica o quadratica. Pertanto, l interpolazione parabolica consiste nel sostituire, nell intervallo [x 0, x 2 ], all arco di curva passante per A 0, A 1, A 2, l arco di parabola passante per gli stessi punti. Lagrange ha trovato che alla (1) si può dare un altra forma, più utile per le generalizzazioni e per il calcolo automatico. Si considerino i polinomi particolari di 2 grado: p 0 (x) = ( x x 1 )( x x 2 ) ; p 1 (x) = ( x x 0 )( x x 2 ) ; p 2 (x) = ( x x 0 )( x x 1 ). ( x 0 x 1 )( x 0 x 2 ) ( x 1 x 0 )( x 1 x 2 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 ) Si vede allora che il polinomio: verifica le condizioni (2), infatti si ha : Pertanto si può scrivere : L(x)= y 0 p 0 (x) + y 1 p 1 (x) + y 2 p 2 (x) L(x 0 )= y 0 ; L(x 1 )= y 1 ; L(x 2 )= y 2. L(x) = y 0 ( x x 1 )( x x 2 ) + y 1 ( x x 0 )( x x 2 ) + y 2 ( x x 0 )( x x 1 ) ( x 0 x 1 )( x 0 x 1 ) (x 0 x 1 )( x 0 x 1 ) ( x 0 x 1 )( x 0 x 1 ) che è la formula di interpolazione di Lagrange, relativa ai tre punti A 0 (x 0,y 0 ), A 1 (x 1,y 1 ), A 2 (x 2, y 2 ). Tale formula è generalizzabile per n punti A 0 (x 0,y 0 ), A 1 (x 1,y 1 ), A 2 (x 2, y 2 ),..An(x n, y n ). Nel caso dell interpolazione parabolica, se la funzione f(x) da interpolare ammette almeno derivata di ordine tre, si dimostra che l errore che si commette nell interpolazione è maggiorato da: R 3 (x) M 3 (x x 0 )(x x 1 ) )(x x 2 ) 3! dove M 3 è il massimo in valore assoluto della f (x) all interno dell intervallo [x 0, x 2 ]. 3

4 Formula di interpolazione di Newton. Differenze divise. Nel calcolo numerico è d uso corrente la formula di Newton P n (x) = f(x o )+ f(x o,x 1 ) (x - x o ) + f(x o,x 1,x 2 ) (x - x o ) (x - x 1 )+..+ f(x o,x 1,x 2.,x n ) (x - x o ) (x - x 1 (x - x 2 ) (x - x n-1 ) (1) ove i simboli f(x o,x 1 ), f(x o,x 1,x 2 ), f(x o,x 1,x 2.,x n ) indicano opportuni coefficienti numerici, detti differenze divise, rispettivamente degli ordini 1,2,..n-1. Le differenze divise vengono definite in generale per una qualunque funzione ϕ (x) definita in [a, b], relativamente a una successione di punti x o, x 1, x 2...x n comunque scelti in [a, b], purché fra loro tutti distinti, per mezzo delle formule ricorrenti: ϕ (x 1,x 2 ) = ϕ (x 2 ) - ϕ (x 1 ) x 2 - x 1 ϕ (x 1,x 2, x 3 ) = ϕ (x 2,x 3 ) - ϕ (x 1,x 2 ) x 3 - x 1 ϕ (x 1,x 2, x 3,x 4 ) = ϕ (x 2,x 3,x 4 ) - ϕ (x 1,x 2,x 3 ), ecc. x 4 - x 1 La ϕ (x 1,x 2 ) si dice del primo ordine, la ϕ (x 1,x 2, x 3 ) del secondo ordine, la ϕ (x 1,x 2, x 3,x 4 ) del terzo, ecc. I coefficienti della (1) si possono calcolare mediante un procedimento di calcolo di particolare speditezza, secondo la seguente tabella: 4

5 x f(x) 1 ordine 2 ordine 3 ordine 4 ordine x 0 f(x 0 ) x 1 -- x 0 f(x 0,x 1 ) x 1 f(x 1 ) x 2 - x 0 f(x 0,x 1,x 2 ) x 2 - x 1 f(x 1,x 2 ) x 3 - x 0 f(x 0, x 1, x 2,x 3 ) x 2 f(x 2 ) x 3 - x 1 f(x 1,x 2,x 3 ) x 2 - x 0 x 3 - x 2 f(x 2,x 3 ) x 4 - x 1 f(x 1, x 2,x 3,x 4 ) f(x 0, x 1, x 2,x 3,x 4 ) x 3 f(x 3 ) x 4 - x 2 f(x 2,x 3,x 4 ).. x 4 - x 3 f(x 3, x 4 ) x 4, f(x 4,) Esercizio Determinare il polinomio P 4 (x) ( di grado 4) che per x = -2, 1, 3, 4, 6, assume rispettivamente i valori 3, 1, 0, 2, 2. Può talvolta essere utile, una volta fissati gli (n+1) punti x i in [a, b], eseguire un certo numero di interpolazioni successive, nel modo seguente. Partire da un qualunque x h con 0 < h < n ed eseguire una prima interpolazione mediante un polinomio di grado h nell intervallo [x o, x h ] utilizzando gli h+1 punti (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..(x h, y h ) del piano xy. Eseguire poi una seconda interpolazione mediante un polinomio di grado h+1, nell intervallo [x o, x h+1 ], utilizzando gli h+2 punti (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..(x h+1, y h+1 ); poi una terza interpolazione mediante un polinomio di grado h+2, nell intervallo [x o, x h+2 ], utilizzando gli h+3 punti (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..(x h+2, y h+2 ) e così via. Ogni volta sarà applicata la stessa formula (1), all inizio limitata ai suoi h+1 termini, poi ai suoi h+2 termini e così via. In tal modo ogni successiva interpolazione utilizza il polinomio precedente, aggiungendogli soltanto un termine correttivo. Ciò costituisce un pregio notevole del metodo di Newton. 5

6 Il metodo di Newton si presta ad una utile semplificazione. Formula di Newton relativa al caso di intervalli uguali Se i punti x i sono equintervallati di una quantità h, cioè se si ha x i = x 0 + ih (i = 1,2,.. n-1), si può dare per il polinomio P n (x), di grado n, un espressione più semplice e più atta al calcolo numerico. E opportuno pertanto definire per ricorrenza le differenze d ordine 1, 2, 3,.., ponendo: Df f i =f(x i+1 )-f(x i ) (per i n 2) D 2 f f i =Df i+1 - Df i (per i n 3) D 3 f f i =D 2 f i+1 - D 2 f i (per i n 4) D n f 0 =D n-1 f 1 - D n - 1 f 0. Impiegando le differenze di vario ordine così calcolate, si trova: P n (x) = f(x o )+ D f o (x - x o ) + D 2 f o (x - x o ) (x - x 1 ) + D 3 f o (x - x o ) (x - x 1 ) (x x 2 )..+ h 2! h 2 3! h 3 + D n f o (x - x o ) (x - x 1 (x - x 2 ) (x - x n-1 ) n! h n 6