Equazioni parametriche goniometriche

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Michele Casati
9 anni fa
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1 Equazioni parametriche goniometriche Discutere un equazione parametrica significa stabilire, al variare del parametro, il numero di soluzioni dell equazione soddisfacenti le limitazioni assegnate all incognita. Se con x indichiamo tale angolo incognito, le limitazioni saranno, di solito, di uno dei seguenti tipi: α < x < β; α x β; α x < β; α < x β Vediamo come si discute un equazione parametrica di 2 grado avente per incognita una funzione goniometrica f(x): a[f(x)] 2 + bf(x) + c = 0 dove i coefficienti a, b, c sono tutti, o in parte, dipendenti da un parametro reale e dove f(x) può essere una delle seguenti quattro funzioni: senx; cosx; tgx; cotgx. La discussione consiste nello stabilire, al variare del parametro, il numero delle soluzioni soddisfacenti le limitazioni assegnate, che supponiamo siano, ad esempio, α < x < β. La discussione viene però effettuata considerando come incognita non x, ma f(x) e quindi occorre tradurre le limitazioni per l angolo x in limitazioni per la funzione goniometrica dell angolo stesso. Bisognerà quindi ricordare che, ad esempio per gli angoli acuti, le funzioni seno e tangente crescono al crescere dell angolo, mentre coseno e cotangente decrescono al crescere dell angolo. Pertanto le condizioni α < x < β, se e sono archi aventi gli estremi nel primo quadrante, equivalgono alle seguenti: senα < senx < senβ ; cosβ < cosx < cosα ; tgα < tgx < tgβ ; cotgβ < cotgx < cotgα. Se invece gli estremi di e cadono in quadranti diversi, occorrerà fare molta attenzione alle variazioni delle diverse funzioni, ricorrendo eventualmente alla circonferenza goniometrica. Dopo aver tradotto le limitazioni per l incognita x in limitazioni della funzione goniometrica incognita, l equazione parametrica si discute con il metodo della parabola fissa o con il metodo del parametro isolato. 1. Metodo del parametro isolato (Fascio improprio e circonferenza). Si discutono con questo metodo le equazioni lineari in seno e coseno a cui sono associati dei fasci impropri; sono quindi equazioni del tipo: asinx + bcosx = f(k), dove i coefficienti a e b sono numeri reali che non dipendono da k e f(x) è una qualsiasi funzione del parametro k. Occorre trasformare questa equazione in quella di un fascio (in questo caso improprio, dato che il parametro compare solo nel termine noto) di rette, vale a dire tutte rette parallele ad una retta base detta generatrice. Si opera in questo modo: a) si pone cosx=x e sinx=y; b) si associa l equazione della circonferenza goniometrica o prima relazione fondamentale della goniometria X 2 + Y 2 = 1 ; c) si considerano le limitazioni sull incognita che diventano limitazioni sulle funzioni senx e cosx. Si deve risolvere, pertanto, il seguente sistema misto parametrico:

2 asinx + bcosx = f(k) { sinx 2 + cosx 2 = 1 o altre eventualità. α < x < β Tale sistema diviene, con le posizioni indicate sopra: Esempio. ay + bx = f(k) { X 2 + Y 2 = 1. α < x < β sinx + cosx + k 1 = 0 Si debba discutere il seguente sistema misto parametrico: { 0 < x < 2 π 3. Esso sinx 2 + cosx 2 = 1 X + Y + k 1 = 0 diventa, con le posizioni di cui sopra: { X 2 + Y 2 = 1, vale a dire le intersezioni tra il 0 < x < 2 π 3 fascio improprio X+Y=1-k e l arco di circonferenza goniometrica compreso tra 0 e 120 (detto arco utile di discussione). Il fascio è costituito da infinite rette parallele ad una generatrice (retta base) che si ottiene ponendo il termine noto uguale a zero nell equazione dello stesso fascio. Nel nostro caso la generatrice è X+Y=0, cioè la bisettrice del 2 e 4 quadrante. Occorre ora trovare l intersezione tra queste rette e l arco di circonferenza che sottende un angolo di 120. Gli estremi dell arco sono i punti A(1,0) e B( 1, ). Come si vede (fig. 1), ogni retta del fascio può intersecare quest arco una volta oppure due. Si avranno tre posizioni limite: passaggio per B, passaggio per A e posizione di tangenza. Se la retta si trova tra quella per A e quella per B si ha una sola intersezione; se la retta è intermedia tra la retta per A e la tangente si hanno due intersezioni; se la retta è al di fuori di questi intervalli non interseca mai l arco in questione. Vediamo allora fra quali valori del parametro (che chiameremo capisaldi) si ha tale intersezione. Le posizioni limite, al di fuori delle quali la retta non interseca l arco utile sono due: Passaggio per A(1,0): 1+0=1-k, da cui segue che ka=0; Passaggio per B( 1, 3 ): = 1 k, da cui segue che k B = 3 3 ; 2 Condizione di tangenza. Usiamo il metodo della distanza, imponendo che la retta X+Y+k- 1=0 disti r=1 dal centro della circonferenza, O(0,0). Si ottiene, ricordando la formula della distanza punto-retta: 1 = k 1, cioè k 1 = 2. Elevando al quadrato si ottiene: (k- 2 1) 2 =2, da cui k 2-2k-1=0, equazione che fornisce le soluzioni k = 1 ± 2.Ora dobbiamo fare attenzione a comprendere quale dei due valori di k fa al caso nostro, dal momento che l equazione ci ha dato due valori, e quindi esistono due tangenti. Queste hanno equazioni: X + Y = 1 (1 ± 2 ) t 1 : y = x + 2, t 2 : y = x 2. Dal disegno ci si può accorgere che la seconda interseca l arco utile nel settore che ci interessa, quindi si conclude che k T = 1 2. Per concludere, allora, diremo che il nostro sistema (o meglio il nostro problema, dato che il sistema misto parametrico discende sempre da un problema) ammette:

3 Due soluzioni per k [1 2, 0[ ; Una soluzione per k [0, ]. Y B k = 1 2 O A(1,0) x k=0 k=1 k = 3 3 2

4 2. Metodo del parametro isolato (fascio proprio e circonferenza) Rientrano in questo caso le equazioni lineari in seno e coseno, a cui sono associati dei fasci propri, quindi equazioni del tipo a(k)sinx + b(k)cosx + c(k) = 0, dove i coefficienti a, b e c dipendono dal parametro k (o almeno lo è uno tra a e b). Il procedimento è lo stesso del numero precedente, con la differenza che occorre studiare il fascio proprio, trovandone le generatrici ed il centro. Poi tutto segue come prima

7 3. Metodo della parabola fissa. Equazioni quadratiche Rientrano in tale gruppo le equazioni quadratiche in una sola funzione, in dipendenza da un parametro. Esempio: cos 2 x kcosx + 2k + 1 = 0. Occorre sempre trasformare questa equazione in quella di un fascio di rette (proprio o improprio), che si deve accoppiare con l equazione della parabola fondamentale y = x 2, per mezzo della posizione, in questo caso: cosx = t; t 2 = y. L equazione diventa allora: t 2 y = t kt + 2k + 1 = 0 { 2 y kt + 2k + 1 = 0. Come si può vedere, dobbiamo intersecare un fascio di rette con la parabola fondamentale, o con un arco di essa, a seconda delle limitazioni fissate all incognita.

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