Equazioni goniometriche riconducibili a equazioni elementari

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Ladislao Buono
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1 Equazioni goniometriche riconducibili a equazioni elementari Le equazioni non elementari, in cui sono presenti più funzioni goniometriche, si riconducono a equazioni elementari nel seguente modo: 1. Si esprimono le diverse funzioni presenti nell equazione mediante una sola di esse, utilizzando le formule goniometriche evitando di introdurre radicali.. Si risolve l equazione ottenuta rispetto a tale funzione considerata come incognita 3. Si risolvono le equazioni elementari che si ottengono Esempio 1 sen x + 5cosx 4 = 0 Per evitare di introdurre nell equazione radicali trasformiamo tutto in coseno utilizzando la prima relazione fondamentale L equazione data diventa sen x + cos x = 1 sen x = 1 cos x (1 cos x) + 5cosx 4 = 0 cos x + 5cosx 4 = 0 Posto cos x 5cosx + = 0 t = cosx t 5t + = 0 t 1 = 5± 5 16 t 4 1 = t = 1 Otteniamo due equazioni elementari cosx = cosx = 1 La prima delle quali è impossibile e la seconda ha soluzioni x = ± π 3 + kπ

2 Esempio Sapendo che L equazione diventa tgx + ctgx 3 = 0 ctgx = 1 tgx tgx = 0 tgx tg x 3tgx + = 0 Assumendo come incognita tgx e risolvendo l equazione di grado, otteniamo tgx = 1 tgx = x = 45 + k180 x = arctg + k180 Esempio 3 Scomponiamo in fattori 1 + senx cosx cosxsenx = 0 (1 cosx) + senx(1 cosx) = 0 (1 cosx)(1 + senx) = 0 Per la legge di annullamento del prodotto possiamo scrivere 1 cosx = senx = 0 cosx = 1 senx = 1 = cosx = 1 x = kπ senx = x = 5 4 π + kπ 7 π + kπ 4

3 Esempio 4 sen(45 + x) sen(x 45 ) 1 = 0 Applichiamo le formule di addizione sen45 cosx + cos45 senx (senxcos45 cosxsen45 ) 1 = 0 cosx + senx ( senx cosx) 1 = 0 cosx + senx cosx + cosx 1 = 0 cosx 1 = 0 cosx = x = ±45 + k360 Esempio 5 1 cosx senx = 0 Applicando le formule di duplicazione otteniamo 1 (1 sen x) senx = sen x senx = 0 sen x senx = 0 senx(senx 1) = 0 Per la legge di annullamento del prodotto abbiamo senx = 0 senx 1 = 0 senx = 0 x = kπ

4 senx 1 = 0 senx = 1 x = π 6 + kπ x = 5 π + kπ 6 Esempio 6 senx + sen x = 0 In questo esempio pur comparendo la stessa funzione goniometrica, gli argomenti sono diversi. Pertanto bisogna cercare di renderli uguali utilizzando formule che evitino di introdurre radicali. Per questo motivo non utilizzeremo le formule di bisezione ma le formule di duplicazione. L equazione data si può scrivere come E per le formule di duplicazione scriviamo sen x + sen x = 0 Scomponendo sen x cos x + sen x = 0 sen x (cos x + 1) = 0 Per la legge di annullamento del prodotto sen x = 0 cos x + 1 = 0 sen x = 0 x = kπ x = kπ cos x + 1 = 0 cos x = 1 x = ± π + kπ 3 x = ± 4 π + 4kπ 3

5 Esempio 7 cos x + cosx 1 = 0 In questo caso è possibile applicare le formule di bisezione 1 + cosx + cosx 1 = cosx + cosx 1 = 0 cosx = 0 cosx = 0 x = ±90 + k360 Equazioni lineari in seno e coseno Le equazioni lineari in seno e coseno sono del tipo Nel caso in cui c = 0 l equazione diventa asenx + bcosx + c = 0 asenx + bcosx = 0 che è un equazione omogenea di 1 grado. In questo caso cosx 0 altrimenti, se fosse uguale a zero, l equazione si ridurrebbe a asenx = 0 E poiché quando il cosx = 0 il senx = ±1, l equazione sarebbe soddisfatta per a = 0, contro l ipotesi a 0. Assodato che cosx 0 l equazione omogenea si risolve dividendola per coseno e ottenendo Da cui a tgx + b = 0 tgx = b a x = arctg ( b a ) + kπ

6 Esempio senx 3cosx = 0 Dividendo per cosx 0 otteniamo tgx = 3 x = π 3 + kπ Nel caso in cui i parametri a,b,c siano tutti diversi da zero si può procedere in diversi modi. Primo metodo (formule parametriche) E possibile esprimere senx e cosx in funzione di tg x utilizzando le formule parametriche che sono razionali senx = t 1 t ; cosx = 1 + t 1 + t con t = tg x Tali formule si possono applicare solo per valori di x per cui esiste tg x, cioè x π + kπ x π + kπ Questo vuol dire che applicando le formule parametriche per risolvere l equazione lineare non è possibile trovare le soluzioni x = π + kπ in quanto per tali valori le formule perdono di significato. Occorre, pertanto, prima di tutto, verificare se l equazione ammette come soluzione x = π + kπ. Risolvendo, poi, l equazione si ottengono le restanti soluzioni. Verifichiamo se x = π + kπ sono soluzioni dell equazione data senπ + cosπ 1 = = 0 0 L equazione non ha per soluzione x = π + kπ

7 Applichiamo le formule parametriche per determinare le altre soluzioni Facciamo il m.c.m. t 1 + t + 1 t 1 = t t + 1 t 1 t = 0 t t = 0 t t = 0 t(t 1) = 0 t = 0 t = 1 tg x = 0 tg x = 1 x = kπ x = π 4 + kπ x = kπ x = π + kπ Secondo metodo (metodo grafico) Si pone a sistema l equazione data con la prima relazione fondamentale della goniometria Posto poi { sen x + cos x = 1 cosx = X e senx = Y Si ha { X + Y 1 = 0 X + Y = 1

8 Le soluzioni dell equazione sono date dai punti di intersezione della retta con la circonferenza e sono le stesse di prima, cioè x = kπ x = π + kπ Terzo metodo (metodo dell angolo aggiunto) Ricordando che Si trasforma in asenx + bcosx rsen(x + α) con r = a + b e tgα = b a Conviene rendere positivo il coefficiente a eventualmente cambiando di segno l equazione. In questo modo α sarà un angolo del primo o quarto quadrante. Nel nostro caso a>0 per cui L equazione r = = e tgα = 1 α = π 4 Equivale a sen (x + π ) 1 = 0 4

9 sen (x + π 4 ) = 1 sen (x + π 4 ) = x + π 4 = π 4 + k360 x + π 4 = π π 4 + kπ x = kπ x = π + kπ Equazioni omogenee di grado in seno e coseno Una equazione del tipo a sen x + b senx cosx + c cos x = 0 Si dice omogenea di grado in seno e coseno poiché tutti i termini sono di grado. Escludiamo il caso a = 0 c = 0 Perché l equazione, scomposta come prodotto di fattori, si risolve applicando la legge di annullamento del prodotto. Nel caso in cui a 0 c 0 L equazione diventa equivalente a quella ottenuta dividendo tutto per cos x, cioè a tg x + b tgx + c = 0 Esempio 1 sen x (1 + 3)senx cosx + 3cos x = 0 Dividiamo i due termini per cos x Posto tgx = t abbiamo tg x (1 + 3)tgx + 3 = 0 t (1 + 3)t + 3 = 0

10 Risolvendo l equazione di grado otteniamo t = 1 t = 3 tgx = 1 tgx = 3 x = π 4 + kπ x = π 3 + kπ Esempio 1 3sen x senx cosx + 3cos x 3 = 0 L equazione data non è omogenea per la presenza del termine noto. Tuttavia è possibile renderla omogenea moltiplicando il termine noto per l unità, cioè per sen x + cos x 3sen x senx cosx + 3cos x 3(sen x + cos x) = 0 3sen x senx cosx + 3cos x 3sen x 3cos x = 0 Sommando i termini simili si ha 3sen x senx cosx = 0 Che è un equazione omogenea che si risolviamo scomponendo e applicando la legge di annullamento del prodotto. senx( 3senx cosx) = 0 senx = 0 3senx cosx = 0 senx = 0 3tgx 1 = 0 senx = 0 tgx = 3 3 x = kπ x = π 6 + kπ

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