Equazioni e disequazioni con il valore assoluto

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1 Equazioni e disequazioni con il valore assoluto Definizione Il valore assoluto di un numero reale è indicato con la notazione ed è definito: Quindi è sempre positivo o nullo. Per esempio: 5 5 ; ( ) + se se Esempio : se abbiamo Esempio : se abbiamo vuol dire che Esempio : se abbiamo vuol dire che Tutti i numeri reali compresi tra - e hanno valore assoluto minore di. Tutti i numeri reali esterni all intervallo [-;] cioè oppure hanno valore assoluto maggiore di. Il grafico di y Come risulta il grafico della funzione Abbiamo: y? y se se Abbiamo quindi il grafico della retta y quando unito con il grafico della retta y quando. Otteniamo un grafico con uno spigolo e viene detto punto angoloso. 7

2 Equazioni con valori assoluti Esempio : come si può risolvere l equazione? È chiaro che ci sono due casi: oppure Esempio : come si può risolvere? In questo caso non c è nessuna soluzione poiché il valore assoluto è sempre positivo o nullo e non può essere uguale a -. Esempio : consideriamo l equazione +.Ci sono due casi: se + se ( ) + Possiamo scrivere: + ( ) Quindi poiché non è maggiore o uguale a la soluzione non è accettabile e abbiamo solo come soluzione dell equazione ( ). NOTA Possiamo risolvere graficamente l equazione data pensando di intersecare il grafico di y con il grafico di y +. y ( ) se Si osserva che l unica intersezione si trova tra y +e y + e che + + 8

3 9 Esempio : come si risolve? Studiamo i segni di e : Quindi Quindi ho soluzioni: e Esempio 5: risolviamo Quindi ho solo la soluzione. Esempio 6: risolviamo +. Studiamo il segno di e e impostiamo i sistemi:.. L unica soluzione accettabile è 5. accettabile non ( ) ( ) ( ).. acc non acc non ( ) ( ) + ) (

4 Disequazioni con il valore assoluto Esempio : consideriamo per esempio Dovrà essere (ricorda che a a a ) Quindi avremo Esempio : come si risolve? Ricordando che Quindi a a a abbiamo: Intersechiamo le soluzioni delle due disequazioni. Otteniamo alla fine: Esempio : come si risolve? È chiaro che non ci sono soluzioni poiché il valore assoluto è sempre maggiore o uguale a zero e non può essere minore di -. Esempio : come si risolve +? Dobbiamo distinguere due casi, a seconda del segno di : + ( ) + Nota: se nella disequazione sono presenti più valori assoluti si procede in modo analogo a quanto visto nel caso delle equazioni. 5

5 Esercizi. Risolvi le seguenti equazioni contenenti valori assoluti: a) [-;7] b) + [] c) [impossibile] d) 5 + [ ] e) + [-;-] 7 f) 5 [; ] g) 7 + [-8] 5 h) [ ; ]. Risolvi le seguenti disequazioni di primo grado contenenti valori assoluti: a) 5 + [ 9 ] b) + + [ ] c) + [ ] d) [ ] e) 5 7 [ 6] f) + + [ ] g) + + [ ] h) + [ 5] 5

6 ) Risolvi le seguenti disequazioni: Esercizi di ricapitolazione (disequazioni) 5 9 a) + [ ] 7 b) ( ) ( + ) [, ] c) 6 9 [ ] [ ] d) ( + ) ( ) ) a) Disegna nel piano (;y) la zona corrispondente al seguente sistema di disequazioni: b) Determina il sistema di disequazioni che individua la zona rappresentata in figura: y y y 5 A ( ; ), B( ;), C( ;) y + [ ] y + ) Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni contenenti valori assoluti e interpreta graficamente il risultato: a) [ ] b) + [ ] ) Per noleggiare un auto si può scegliere tra due tipi di contratto: contratto A: euro di costo fisso e, euro per ogni Km percorso; contratto B: 5 euro di costo fisso e,5 euro per ogni Km percorso. In quali casi conviene il contratto B? [ indicando con il n di Km percorsi, ] 5