Precorso di Matematica

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1 Precorso di Matematica Lezione 4 Andrea Susa PROPRIETÀ GENERALI DISEQUAZIONI 1

2 Proprietà disuguaglianze Siano,,, allora valgono le seguenti proprietà se <allora +<+ se <e >0, allora < se <e >0, allora < se <e <0allora > DISEQUAZIONI 2

3 Disequazioni Una disequazione è una relazione del tipo: >() ovvero () dove ()e ()sono funzioni qualsiasi. Una disequazione si dice in forma normale se è del tipo 0oppure 0 Risolvere una disequazione significa determinare i valori di per i quali l espressione in forma normale ()assume valori maggiori (o minori) di 0. Disequazioni Tipologie di disequazioni affrontate Disequazioni intere o polinomiali: 0 ovvero 0, con () polinomio di grado 1. 0 Sistemi di disequazioni: 0 Disequazioni frazionarie: polinomi di grado, 1. 0ovvero 0, con ()e () 3

4 DISEQUAZIONI DI I GRADO Disequazioni di I grado metodo algebrico Una disequazione di I grado è un espressione del tipo + 0ovvero + 0, con ovvero / -b/a +>0 ovvero > / -b/a 4

5 Disequazioni di I grado metodo algebrico + 0 ovvero / -b/a +<0 ovvero < / -b/a Disequazioni di I grado metodo algebrico Esempio: calcolare +4>2+3 Allora 2 2<0, quindi <

6 Disequazioni di I grado metodo geometrico Consideriamo la retta y=+, con >0. Vogliamo sapere per quali valori la retta si trova nel semipiano positivo o negativo =+>0 =+<0 Disequazioni di I grado metodo geometrico Consideriamo la retta y=+, con >0. Vogliamo sapere per quali valori la retta si trova nel semipiano positivo o negativo =+>0 =+<0 6

7 Disequazioni di I grado Metodo grafico: =2 2<0 =2 2 1 =2 2>0 =2 2<0 Disequazioni di I grado Esercizi < > > <

8 SISTEMI DI DISEQUAZIONI DI I GRADO Sistemi di disequazioni di I grado Risolvere un sistema di disequazioni di I grado corrisponde a determinare, se esiste, gli intervalli in cui ogni singola disequazione del sistema è verificata. +>0 +>0 con < Il sistema è soddisfatto per > / 8

9 Sistemi di disequazioni di I grado Risolvere un sistema di disequazioni di I grado corrisponde a determinare, se esiste, gli intervalli in cui ogni singola disequazione del sistema è verificata. +>0 +<0 con < Il sistema è soddisfatto per (, ) Sistemi di disequazioni di I grado Esempio: risolvere il sistema Risolvendo otteniamo: 3 12<2+3 +2> 2 15<0 3+2> ( ) 9

10 Sistemi di disequazioni di I grado Esercizi >0 4 6<5 2. 4> < <3(+2) > <3( 2) < < 1 +2< + 5+2< <(2 5) 1+2< >2 (3 2) DISEQUAZIONI FRATTE DI I GRADO 10

11 Disequazione fratte di I grado Risolvere una disequazione fratta corrisponde a determinare gli intervalli per cui il prodotto tra il segno del numeratore e quello del denominatore coincide con il segno della disequazione: 0 ovvero 0 Per la risoluzione: 1. si studiano separatamente numeratore e denominatore con segno positivo 2. Si riporta la variazione dei segni di ciascun polinomio in una tabella 3. Si costruisce il segno della frazione 4. Si scelgono gli intervalli delle soluzioni in base al verso Disequazione fratte di I grado Esempio 2 +3 > Riduciamo allo stesso denominatore Otteniamo 2 +3 >+3 2 = >0 11

12 Disequazione fratte di I grado Risolviamo separatamente numeratore e denominatore 3 1/2 > 1 2 > Siccome la disequazione fratta ha segno positivo, allora le soluzioni sono: < 3e > Disequazione fratte di I grado Esempio Risolviamo >1/ > <0 1 1/2 > ,

13 Disequazione fratte di I grado Esercizi 1. +2< < > < >2 9. () 5. 1<2 10. () > () DISEQUAZIONI DI II GRADO 13

14 Disequazioni di II grado Una disequazione di II grado è un espressione del tipo ++ 0, >0 ++ 0, >0 Gli intervalli delle soluzioni dipendono dal delta dell equazione associata Disequazioni di II grado ++ 0, >0 >0,, le soluzioni dell equazione associata, =0, la soluzione dell equazione associata, R <0, R 14

15 Disequazioni di II grado ++>0, >0 >0,, le soluzioni dell equazione associata <,> =0, la soluzione dell equazione associata, <0, R Disequazioni di II grado ++ 0, >0 >0,, le soluzioni dell equazione associata =0, la soluzione dell equazione associata, = <0, 15

16 Disequazioni di II grado ++<0, >0 >0,, le soluzioni dell equazione associata << =0, la soluzione dell equazione associata, <0, Disequazioni di II grado Esempio: risolvere 2 3 2>0 Il Δ=9+16=25>0, quindi abbiamo due soluzioni, =,2. Le soluzioni: < e >2 16

17 Disequazioni di II grado Esempio: risolvere +2 3<0 Il Δ=4+12=16>0, quindi abbiamo due soluzioni, = 3,1. Le soluzioni: 3 1 3<<1 Disequazioni di II grado Esercizi: > < < < > <2 1 17

18 Risoluzione grafica di disequazioni di II grado Consideriamo una disequazione di II grado del tipo: ++>0 ovvero ++<0 con >0 All equazione di II grado possiamo sempre associare la parabola = ++ con >0 Risolvere la disequazione = ++>0corrisponde a studiare in quali intervalli la parabola si trova nel semipiano superiore delle Risolvere la disequazione = ++<0corrisponde a studiare in quali intervalli la parabola si trova nel semipiano inferiore delle Risoluzione di disequazioni di II grado I caso: = ++, >0 e Δ>0 = ++>0 = ++ = ++<0 18

19 Risoluzione di disequazioni di II grado II caso: = ++, >0 e Δ=0 = ++>0 = ++ = ++<0 Risoluzione di disequazioni di II grado III caso: = ++, >0 e Δ<0 = ++>0 = ++ = ++<0 19

20 Disequazioni di II grado Esercizi < > < < < < SISTEMI DI DISEQUAZIONI 20

21 Sistemi di disequazioni Esempio: 3+2<0 +3>0 I eq: Δ=9 8=1>0, abbiamo due soluzioni, =1,2intervalli interni II eq: > Soluzioni: (1,2) Sistemi di disequazioni Esempio: 2<0 +5>0 16<0 I eq: Δ=8>0, abbiamo due soluzioni, =± 2intervalli interni II eq: > 5 III eq: Δ=64>0, abbiamo due soluzioni, =±4 intervalli interni Soluzioni: ( 2, 2) 21

22 Sistemi di disequazioni Esempio: 2<0 <0 6>0 I eq: Δ=8>0, abbiamo due soluzioni, =± 2intervalli interni II eq: <0 III eq: Δ=24>0, abbiamo due soluzioni, =± 6 intervalli esterni Soluzioni: nessuna soluzione Sistemi di disequazioni Esercizi >0 3<0 +1>0 2. 1<0 1>0 2 3> <0 3 12> >2+3 > < > > >0 2 3<5+2 22

23 DISEQUAZIONI FRATTE Disequazioni fratte Esempio 1: <0 Risolviamo separatamente numeratore e denominatore con il segno positivo: N: 3 2>0, ovvero < D: 2 3>0, Δ=16>0,, = 1,3 intervalli esterni 1 2/3 3 Soluzioni: + + ( 1, )e >3 23

24 Disequazioni fratte Esempio 2: Per primo svolgiamo le operazioni e riduciamo la disequazione in forma normale: ( 2) ( 2) Disequazioni fratte La disequazioni ridotta in forma normale risulta 8+4 ( 2) 0 Risolviamo separatamente numeratore e denominatore con il segno positivo: N: 8+4>0, Δ=48>0,, = ± =4±2 3 int. esterni D: 2>0, Δ=4>0,, =0,2 int. esterni 24

25 Disequazioni fratte N: 8+4>0, Δ=48>0,, = ± D: 2>0, Δ=4>0,, =0,2 int. esterni =4±2 3 int. esterni Soluzioni sono: 0, (2, 4+2 3] Disequazioni fratte Esercizi 1. > () 6. > () 2. > 7. >3 3. < > 4. > < 25