Segno di espressioni quoziente di due espressioni elementari Vediamo di ragionare su un esempio pratico. Consideriamo un'espressione del tipo

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1 Segno di espressioni quoziente di due espressioni elementari Vediamo di ragionare su un esempio pratico. Consideriamo un'espressione del tipo x < 0.Vogliamo trovare l'insieme dei valori che posso assegnare alla x perchè x 4 l'espressione sia minore di zero. Essendo questa espressione quoziente di due termini sara' minore di zero quando i due termini che la compongono hanno segno diverso, cioè una maggiore di zero e l'altra minore oppure viceversa. per il segno di un quoziente valgono le stesse regole che per il prodotto: piu' diviso piu' uguale piu' piu' diviso meno uguale meno meno diviso piu' uguale meno meno diviso meno uguale piu' Quindi dovrei risolvere i due sistemi: x - > 0 x - 4 < 0 x - < 0 x - 4 > 0 Capisci che questo sarebbe un metodo molto pesante, soprattutto se invece del prodotto di due termini l'espressione fosse il prodotto di 3,4,5... termini. Allora mettiamo in un grafico il segno di ognuno dei termini e poi scegliamo gli intervalli dove i segni sono concordi (entrambi positivi od entrambi negativi) Poniamo sempre tutti i fattori componenti maggiori di zero per trovare i segni, indicando poi su un grafico dove sono positivi e dove negativi; poi se dovremo risolvere una disequazione positiva prenderemo gli intervalli dove il quoziente è positivo; se dobbiamo cercare dove la disequazione è negativa prenderemo gli intervalli dove il prodotto dei fattori diventa negativo Risolvo la prima disequazione x - > 0 x > il primo fattore è positivo per x maggiore di due Risolvo la seconda x - 4 > 0 x > 4 il secondo fattore è positivo per x maggiore di quattro x () x > (4) Espressione () (4) L'espressione è negativa dove i due fattori sono uno positivo ed uno negativo, quindi avremo: < x < 4 oppure in altra notazione - 1 -

2 Ricapitolando: Se devi risolvere una disequazione fratta Poni il numeratore ed il denominatore maggiori di zero Costruisci un grafico dove metti tutti i valori positivi e negativi trovati In fondo al grafico fai il calcolo dei segni del quoziente fra i singoli fattori Se la disequazione è maggiore di zero consideri come soluzione i valori in cui il quoziente dei fattori è positivo Se la disequazione è minore di zero consideri come soluzione i valori in cui il quoziente dei fattori è negativo Risolvi i seguenti esercizi x 3 > 0 x + 1 x 4 0 x + 3 x > x x x < 0 ( x + )( x 5) x 1 ( x )( x 3) ( x 5)( x + 1)

3 Disequazioni con moduli La trattazione del modulo è sempre la stessa sia che si tratti di equazioni di primo grado, che di disequazioni. In pratica devi suddividere la retta reale in parti e in ogni parte devi considerare la disequazione (l'equazione) tale che la parte interna del modulo sia maggiore di zero. Accetterai pero' solo le soluzioni che cadono entro gli intervalli in cui sono valide le disequazioni (le equazioni) vediamo un esempio x + x-3 > 0 Il modulo x-3 è sempre definito positivo, quindi dov'è positivo lo prendo com'è, dov'è negativo lo cambio di segno x-3 = x-3 se x 3 x-3 = -x+3 se x < 3 Nota: quando risolvi il modulo devi mettere una delle parti anche uguale a zero oltre che maggiore o minore, è indifferente se mettere l'uguale assieme col maggiore od assieme col minore, l'importante è metterlo (io lo mettero' sempre assieme col maggiore) Quindi divido la retta reale nei due intervalli da meno infinito a 3 compreso ove la disequazione diventa x - x + 3 > 0 da 3 a piu' infinito ove la disequazione diventa x + x - 3 > 0 Cioè devo risolvere i due sistemi x - x + 3 > 0 e x + x - 3 > 0 Risolvo il primo x - x + 3 > 0 x > -3 facendo lo schema - 3 -

4 Risolvo il secondo x + x - 3 > 0 ottengo -3 < x > 1 facendo lo schema ottengo Ora metto assieme le soluzioni dei due sistemi ed ottengo x >

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