Matematica di base. Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com

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1 Matematica di base Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com

2 Calendario 21 Ottobre Aritmetica ed algebra elementare 28 Ottobre Geometria elementare 4 Novembre Insiemi e funzioni 11 Novembre Equazioni, disequazioni, geometria analitica 18 Novembre Funzioni esponenziali e logaritmiche 25 Novembre Funzioni trigonometriche 2 Dicembre Calcolo combinatorio e probabilità elementare 9 Dicembre Esercizi di preparazione al primo compitino Matematica di base I lezione 2/12

3 Funzione esponenziale Dato a R +, associando ad ogni numero reale x il numero reale a x, si definisce definito funzione f : R R + tale che f (x) = a x x R Se a = 1 allora la funzione f è costante per ogni x R: f (x) = 1 x = 1. Se invece il numero reale a è positivo e diverso da 1 la funzione f si dice funzione esponenziale di base a. Matematica di base I lezione 3/12

4 Funzione esponenziale - Proprietà Definita su tutto l insieme dei numeri reali ed assume valori positivi: insieme di definizione= R, immagine= R +. La funzione esponenziale è monotona: crescente, se a > 1 decrescente, se 0 < a < 1 Poiché la funzione esponenziale è monotona, essa è anche invertibile e la sua inversa è una funzione logaritmica. f (x) = e x : la base è il numero di Nepero e, un numero irrazionale che vale circa Matematica di base I lezione 4/12

5 Equazione esponenziale elementare Equazione esponenziale: ogni equazione in cui l incognita appare come esponente di almeno uno dei suoi termini. Equazione esponenziale elementare: a x = b con a > 0 e a 1. Se b > 0 e qualunque sia a > 0 (purché a 1), l equazione esponenziale elementare a x = b ammette una e una sola soluzione, la quale è positiva, se a e b sono entrambi maggiori di 1, o entrambi minori di 1; negativa, se uno dei due numeri a e b è maggiore di 1 e l altro minore di 1; uguale a 0, se b = 1. Matematica di base I lezione 5/12

6 Logaritmi e loro proprietà Dati due numeri positivi a e b, con a 1, l equazione a x = b ammette una e una sola soluzione. Questa soluzione si chiama logaritmo in base a di b e si indica con log a b. Il numero b si chiama argomento del logaritmo e deve essere un numero positivo, in quanto a x > 0 per ogni x reale. Non è possibile calcolare nell insieme dei numeri reali il logaritmo di zero o di un numero negativo. log a a = 1 log a 1 = 0 Matematica di base I lezione 6/12

7 Logaritmi e loro proprietà Il logaritmo del prodotto (b, c > 0): Il logaritmo del quoziente (b, c > 0): log a b c = log a b + log a c log a b c = log a b log a c Il logaritmo di una potenza ad esponente reale e base positiva: Potenza nella base del logaritmo: log a b c = c log a b log a k b = 1 k log a b Date due possibili basi a e b vale la seguente relazione: log a c = log b c log b a Matematica di base I lezione 7/12

8 Logaritmi e loro proprietà 1. Il numero log A) è uguale a 7 log 7 20 B) è uguale a 20 C) è maggiore di 3, ma minore di 7 D) è maggiore di 7 E) è uguale a 1 + log Sia x un numero reale positivo. Allora 5 log 10 x 3 è uguale a: A) 8 log 10 x B) 5 (log 10 x) 3 C) 3 log 10 x 5 D) 5 3 log 10 x E) 5 (log 10 x + 3) Matematica di base I lezione 8/12

9 Funzione logaritmica Funzione logaritmica di base a (a > 0 e a 1): f (x) = log a x Non è definita su tutto R, il suo insieme di definizione è R + = {x R : x > 0}, mentre la sua immagine è R. La funzione logaritmica è monotona: crescente, se a > 1; decrescente, se 0 < a < 1. La funzione logaritmica è monotona, quindi invertibile e la sua inversa è una funzione esponenziale. Una funzione logaritmica molto utilizzata è la funzione logaritmo naturale, y = ln x, che ha come base il numero e; tale funzione è l inversa della funzione esponenziale y = e x. Matematica di base I lezione 9/12

10 Equazioni e disequazioni 3. E data l equazione 3 x 2 = 81. L insieme di tutte le sue soluzioni reali è: A) {2} B) { 2, +2} C) { log 3 27, + log 3 27} D) {+ log 3 27} E) { ln 27, + ln 27} 4. La disequazione è verificata per A) nessun valore reale di x B) x < 1 C) x > 1 D) x < 0 E) x < 1 (1.5) x < Matematica di base I lezione 10/12

11 Equazioni e disequazioni 5. Risolvi le seguenti disequazioni esponenziali: a) b) c) d) e) 2 x 1 64 ( ) 3 x x 5 2 x x 1 3 x x x x Matematica di base I lezione 11/12

12 Equazioni e disequazioni 6. Risolvi le seguenti disequazioni logaritmiche: a) b) c) log 2 (x 2 3 x + 3) 0 log x x + 3 x 1 1 ln(x 2) 1 + ln(x 2) 2 d) e) log 1/3 x + 1 log1/3 4 x log x 2 x 6 0 Matematica di base I lezione 12/12