Matematica per le scienze sociali Successioni e funzioni. Francesco Lagona

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Matematica per le scienze sociali Successioni e funzioni. Francesco Lagona"

Giuliano Costa
5 anni fa
Visualizzazioni

1 Matematica per le scienze sociali Successioni e funzioni Francesco Lagona University of Roma Tre F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) / 8

2 Outline Successioni 2 Funzioni 3 Funzioni elementari 4 Limiti

3 Successioni successioni una successione numerica è una sequenza infinita di numeri reali del tipo a, a 2,..., a n,... esempi di successioni: successione armonica: a n = n, 2, 3,... succesione armonica generalizzata: a n = n p, 2 p, 3 p,... successione aritmetica: a n = a 0 + dn a 0 + d, a 0 + 2d, a 0 + 3d,... successione di Nepero: a n = ( + n ( 2, + 2 (, + 2) 3) 3,... F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 3 / 8 ) n

4 Successioni successioni limitate e monotone una successione si dice limitata inferiormente se esiste un numero m tale che a n > m una successione si dice limitata superiormente se esiste un numero M tale che a n < M una successione si dice limitata se esiste un numero M tale che a n < M una successione si dice monotona crescente se a n a n+ una successione si dice monotona decrescente se a n a n+ F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 4 / 8

5 Successioni successione armonica a n ε a n = n n ε successione limitata tra 0 e successione monotona decrescente comunque scelto ε > 0 esiste un indice n ε tale che n 0 < ε n per tutti gli indici n > n ε lim n n = 0 F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 5 / 8

6 Successioni successioni armoniche generalizzate a n ( n 2) ( n 2) n n 2 è monotona decrescente e limitata (convergente) lim n n 2 n 2 = lim n n = 0 è monotona crescente e illimitata (divergente) lim n n 2 in generale = lim n = + n lim n + p < 0 n p = 0 p > 0 p = 0 F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 6 / 8

7 Successioni successione di Nepero a n e ( + n) n successione limitata tra 2 e 3 successione monotona crescente ( ) n e = lim + n n ponendo h = n/ si ha ( + n ) n = ( ( + ) ) h h n allora lim n ( + ) n = e n F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 7 / 8

8 Funzioni successioni come funzioni una successione a, a 2,..., a n,... puo essere vista come una funzione f : N R che trasforma ogni numero naturale n N nel numero reale f (n) = a n, detto immagine di n secondo f N è il dominio della successione R è il codominio della successione F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 8 / 8

9 Funzioni Funzione reale di variabile reale = siano A e B due sottoisiemi di R detti dominio e codominio una funzione reale di variabile reale f : A B è una legge che associa ad ogni numero A un numero y = f () B il grafico di una funzione f è il luogo geometrico delle coppie di punti (, f ()) F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 9 / 8

10 Funzioni Funzioni biunivoche funzione biunivoca funzione non biunivoca F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 0 / 8

11 Funzioni elementari Funzioni potenza f () = a, a Z = 2 = = 2 = e+05 5e+04 F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) / 8

12 Funzioni elementari Funzioni potenza f () = a, a Q (2 3) = (3 2) = ( 3) = F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 2 / 8

13 Funzioni elementari Funzioni esponenziali f () = a, a > 0, a a= 2 /2 /3 / F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 3 / 8

14 Funzioni elementari Funzioni logaritmiche log a, a > 0, a a= 2 /2 e F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 4 / 8

15 Funzioni elementari Logaritmo sia f : A B un funzione biunivoca che trasforma in y = f () si chiama funzione inversa la funzione f : B A che trasforma y in = f (y) ad esempio la funzione inversa della funzione esponenziale è la funzione logaritmica alcune proprietà dei logaritmi y = f () = a = f (y) = log a y log a (y) = log a + log a y log a ( y ) = log a log a y log a ( b ) = b log a F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 5 / 8

16 f Limiti definizione ε 0.8 δ(ε) sia f una funzione reale di variabile reale diciamo che il limite di f per che tende ad 0 è un numero a lim f () = a 0 se per qualunque ε > 0 esiste un raggio δ(ε) > 0 tale che per ogni nell intorno { : 0 < δ(ε)} si ha f () a < ε F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 6 / 8

17 f Limiti esempio /log() f () = /log() non è definita in 0 = 0 tuttavia: lim 0 log() = F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 7 / 8

18 f f Limiti f f diversi tipi di limite lim f () = a /log() 0 lim f () = ± 0 lim f () = a ± lim f () = ± ± (3 + 2) /( 2) e F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 8 / 8

Documenti analoghi

Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti

Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 30 1 Definizione di successione