Il campo ordinato completo R dei numeri reali. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 1/13

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1 Il campo ordinato completo R dei numeri reali Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 1/13

2 Cosa significa campo? Significa che sono definite due operazioni: somma e prodotto, soddisfacenti: (a + b) + c = a + (b + c) a(bc) = (ab)c a + b = b + a ab = ba a(b + c) = ab + ac Elementi neutri 0 e 1. Per ogni a, e per ogni b 0, a + 0 = a, b 1 = b Esistenza degli opposti (rispetto alla somma): Per ogni a in R esiste un (unico) b in R tale che a + b = 0. Questo numero b si chiama opposto di a e si denota a. Esistenza degli inversi (rispetto al prodotto) dei numeri diversi da zero: Per ogni a in R, a 0, esiste un (unico) b in R tale che ab = 1. Questo numero b si chiama inverso o reciproco di a e si denota a 1 oppure 1/a. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 2/13

3 Cosa significa campo ordinato? Significa che, anzitutto, in R è definita una relazione d ordine, con queste tre proprietà: Per ogni a, b, c R: 1 (Proprietà riflessiva). a a 2 (Proprietà antisimmetrica). Per ogni a, b in R a b e b a = a = b 3 (Proprietà transitiva). Per ogni a, b, c in R, a b e b c = a c Inoltre, questa relazione d ordine deve essere compatibile con la somma e il prodotto, nel senso seguente: 1 Se a < b, allora a + c < b + c (qualunque sia c). 2 Se a < b e c > 0, allora ac < bc. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 3/13

4 Cosa significa campo ordinato completo? Significa che si richiede l assioma di completezza: Assioma di completezza (nella forma di Proprietà di Separazione) Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R che soddisfino la seguente condizione: Per ogni a A, per ogni b B, a < b (1) Allora esiste (almeno) un numero λ in R per il quale si ha, per ogni a A, per ogni b B, a λ b (2) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 4/13

5 R è anche uno spazio metrico Definizione (Distanza in R) La distanza tra due punti x, y R è definita nel modo seguente: d(x, y) = x y Proprietà della distanza Per tutti gli x, y, z R: 1 d(x, y) 0. d(x, y) = 0 se e solo se x = y. 2 d(x, y) = d(y, x) 3 d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Definizione Diciamo che R, munito della distanza d, è uno spazio metrico. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 5/13

6 Succcessioni Definizione Si chiama successione in un insieme A (o di elementi di A) una funzione N a A il cui dominio è l insieme N = {0, 1, 2, 3, 4,...} dei numeri naturali e il cui codominio è A. Alcuni dei modi per denotare una successione: eccetera. (a n ) n N (a n ) a n Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 6/13

7 Succcessioni convergenti in R Definizione Si dice che la successione (a n ) in R tende al numero reale L, (o converge a L, o ha per limite L) e si scrive lim a n = L n + se per ogni ε > 0 esiste r N tale che per tutti gli interi n > r. a n L < ε (ossia, d(a n, L) < ε) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 7/13

8 Riformulazione (equivalente) di convergenza Definizione Sia (a n ) una successione in R e sia L R. Si dice che lim a n = L n + se è soddisfatta questa condizione: Per ogni ε > 0, i termini della successione a n sono contenuti definitivamente (cioè, per tutti gli n sufficientemente grandi) nell intorno (L ε, L + ε) di centro L e raggio ε. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 8/13

9 Prime importanti conseguenze dell assioma di completezza di R (dato nella forma di proprietà di separazione) 1 Esistenza e unicità dell elemento separatore di due classi contigue di numeri reali. 2 Esistenza dell estremo superiore. 3 Convergenza delle successioni monotòne limitate. 4 Proprietà degli intervalli compatti inscatolati. Ciascuna di queste proprietà fornisce un metodo per definire (caratterizzare, individuare) uno specifico numero reale. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 9/13

10 1) Esistenza e unicità dell elemento separatore di due classi contigue di numeri reali. Definizione Diremo che (A, B) è una coppia di classi contigue di numeri reali se A, B R sono sottoinsiemi non vuoti che soddisfano: 1 Ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B. 2 Preso comunque un numero positivo ε, esistono un elemento b B e un elemento a A per i quali b a < ε. Teorema (Classi contigue di numeri reali) Se A e B sono classi contigue di numeri reali, allora esiste un unico λ R che soddisfa a λ b per ogni a A, per ogni b B. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 10/13

11 2) Proprietà di esistenza dell estremo superiore Teorema (Esistenza del sup) Ogni sottoinsieme E R non vuoto e superiormente limitato possiede una minima limitazione superiore. Definizione (Estremo superiore) Se E R è non vuoto e superiormente limitato, la sua minima limitazione superiore si denota sup E e si chiama estremo superiore di E. Se invece E R non è superiormente limitato, si pone sup E = + Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 11/13

12 3) Proprietà delle successioni monotòne limitate Teorema (Successioni monotòne limitate) Sia (a n ) una successione in R non decrescente a 1 a 2 a 3 a n a n+1 e superiormente limitata. Allora essa converge in R a un limite finito, che è l estremo superiore dell insieme dei suoi elementi. Applicazione: Il numero e di Napier In R, la successione a n = ( n ) n (3) è crescente e limitata. Dunque, in R converge. Il suo limite, denotato e, è un numero irrazionale: e = Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 12/13

13 4) Proprietà degli intervalli compatti inscatolati Teorema (Intervalli compatti inscatolati) Sia I n = [a n, b n ] R una successione di intervalli compatti inscatolati I 0 I 1 I n (4) le cui lunghezze b n a n tendano a zero per n + : lim (b n a n ) = 0 (5) n + Allora esiste un unico punto c R che appartiene a tutti gli intervalli I n, n N. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 13/13