Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 1/21

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1 Contenuto Integrali doppi. Teorema di Fubini Cambio di variabili: coordinate polari. Cambio di variabili: caso generale. Coordinate sferiche. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 1/21

2 Somme di Riemann per funzioni di una variabile Somma di Riemann di f, associata alla partizione P = {x 0, x 1,..., x n } e alla scelta di punti x i : S f (P) = m j=1 f (x j )(x j x j 1 ) = m j=1 f (x j ) x j Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 2/21

3 Integrale di funzioni di una variabile Se accade che le somme di Riemann di f si avvicinano quanto si vuole a un numero A, pur di prendere sufficientemente piccola la massima delle lunghezze x j = x j x j 1 e qualunque sia la scelta dei punti xj, allora si dice che la funzione f è integrabile (secondo Riemann) e che il numero A è il suo integrale. Si scrive: b a f (x) dx = lim max 0 j f (x j ) x j Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 3/21

4 Integrale doppio Somme di Riemann di f = f (x, y), definita su un rettangolo R = [a, b] [c, d]: f (xij, y ij ) x i y j R i,j f (x, y) dx dy = lim max 0 i,j f (x ij, y ij ) x i y j Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 4/21

5 Varie interpretazioni Un integrale doppio è dunque un limite di somme di Riemann. Vedremo che può avere molteplici interpretazioni: Un volume; Una massa totale di una lamina (quando si integra un densità superficiale di massa); L area di una superficie; La quantità totale di carica sulla superficie di un conduttore; eccetera. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 5/21

6 Una interpretazione: volume. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 6/21

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8 Teorema di Fubini per f = f (x, y) su un rettangolo R R f (x, y) dx dy = b a [ d c ] f (x, y) dy dx Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 8/21

9 Teorema di Fubini per f = f (x, y) su un rettangolo R R f (x, y) dx dy = d c [ b a ] f (x, y) dx dy Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 9/21

10 Integrale su un dominio D limitato Se D f R, f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy D R dove f = f su D ed è uguale a zero fuori da D. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 10/21

11 Integrale su un dominio normale D rispetto asse x D f (x, y) dx dy = b a [ g 2 (x) g 1 (x) ] f (x, y) dy dx Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 11/21

12 Integrale su un dominio normale D rispetto asse y D f (x, y) dx dy = d c [ h 2 (y) h 1 (y) ] f (x, y) dx dy Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 12/21

13 Elemento d area da in coordinate polari da = r dr dϑ Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 13/21

14 Integrazione su un rettangolo polare Suddivisione di un rettangolo polare R in sotto-rettangoli polari infinitesimali, di area da = r dr dϑ: Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 14/21

15 Integrazione in coordinate polari Se R è rettangolo polare, ossia è del tipo seguente e f è una funzione integrabile su R, allora: f (x, y) dxdy = R b β a α f (r cos ϑ, r sin ϑ) drϑ Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 15/21

16 Esempio Esempio Calcolare il volume del solido limitato dal piano z = 0 e dal paraboloide z = 1 x 2 y 2 Il dominio D nella figura di sopra è un rettangolo polare. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 16/21

17 Esempio: calcolo in coordinate polari Usando coordinate polari, si ottiene: V = (1 x 2 y 2 ) dx dy = = D 2π π 1 [ r (r r 3 2 ) dr = 2π 2 r ] 1 (1 r 2 )r dr dϑ 0 = π/2 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 17/21

18 Formula del cambio di variabili: caso generale Se (u, v) (x, y) = g(u, v) = (g 1 (u, v), g 2 (u, v)) è un diffeomorfismo che trasforma la regione B del piano (u, v) nella regione g(b) = A del piano (x, y): e f è una funzione integrabile su A, allora f (x, y) dxdy = f (g(u, v)) det g (u, v) dudv A=g(B) B Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 18/21

19 Determinante della matrice Jacobiana Nella formula precedente (cambio di variabili nell integrale doppio) il termine det g (u, v) è il valore assoluto del determinante della matrice Jacobiana g (u, v) = g 1 u g 2 u g 1 v g 2 v Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 19/21

20 Elemento di volume in coordinate sferiche dv = r 2 sin φ dr dθ dφ Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 20/21

21 Applicazione: volume della sfera Il volume della sfera B R di raggio R è B R dv = R 2π π 0 0 [ R = 2π [ r 3 = 2π 3 0 ] R 0 = 2π R3 3 2 = 4 3 πr3 0 r 2 sin φ dr dθ dφ ] [ r 2 π dr 0 ] π [ cos φ ] sin φ dφ 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 21/21