Integrali di superficie: esercizi svolti

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1 Integrali di superficie: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali superficiali sulle superfici specificate: a z 4 dσ, = x, y, z R 3 : z = x + y, z [ π 3 7 ] 64 7 b c = y 4 dσ, x, y, z R 3 : z = x + y, x π, y, y sin x [ 3 ] 3 π z dσ, = x, y, z R 3 : z = xy, y 3x, x + y [ 4 ] 4 π d x + y dσ, = x, y, z R 3 : z = x + y, x + y < [ π ] e Ω = x + y z 3 dσ, = u, v R : x, y, z R 3 : < u < v, v < x, y, z = sin uv, cos uv, u, u, v Ω, [ log ]

2 Integrali di superficie: esercizi svolti f 4z + dσ, = x, y, z R 3 : z = x + y, x + y < [ π 5 ] Svolgimento a Consideriamo l integrale = dσ, dove z4 x, y, z R 3 : z = x + y, z. La superficie è il grafico della funzione g : R definita da gx, y =, x +y dove = x, y R : 4 x + y. y / / O, / x / Fig. : L insieme. Si ha che = σ, dove σ : R 3 è definita da σx, y = x, y, gx, y = x, y,. x + y dove Nx, y = z 4 dσ = x + y Nx, y dx dy, x, y y x, y. Si ha che Nx, y = x, y y x, y = g x, y, g y x, y, =

3 Integrali di superficie: esercizi svolti 3 Quindi x y =,, x + y 3 x + y 3 = Nx, y = + x + y x + y. x z 4 dσ = + y Nx, y dx dy = x + y + x + y dx dy. Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi Φ : x = ρ cos ϑ y = ρ sin ϑ, ρ, ϑ π, det J Φ ρ, ϑ = ρ. Allora x, y = Φ, dove = ρ, ϑ R : ρ ϑ < π. ρ, ϑ < π. x z 4 dσ = + y + x + y dx dy = ρ 3 + ρ 4 dρ dϑ = ed essendo un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑ e la funzione integranda prodotto di una funzione di ρ e di una di ϑ, si ottiene = π [ dϑ ρ 3 + ρ 4 dρ ] [ = π + ρ 4 ] 3 6 = π b Consideriamo l integrale = x, y, z R 3 : z = x + dσ, dove y 4 y, x π, y, y sin x. La superficie è il grafico della funzione g : R definita da gx, y = x+ y, dove = x, y R : x π, y, y sin x. Si ha che = σ, dove σ : R 3 è definita da σx, y = x, y, gx, y = x, y, x + y.

4 4 Integrali di superficie: esercizi svolti y Ο, π/4 π/ x Fig. : L insieme. dσ = y 4 Nx, y dx dy, y 4 dove Nx, y = x, y y x, y. Si ha che Nx, y = x, y y x, y = Quindi dσ = y 4 g x, y, g y x, y, =, y,, Nx, y = + y. Nx, y dx dy = y 4 Osserviamo che =, dove = x, y R : x π 4, y sin x, dx dy. y = x, y R : π 4 < x π, y. Allora = dσ = y 4 dx dy + y dx dy = y dx dy = y

5 Integrali di superficie: esercizi svolti 5 y Ο, π/4 π/ x Fig. 3: Gli insiemi in rosso e in verde. ed essendo sia che y-semplici, si ottiene = [ π ] 4 sin x dy dx + π y π 4 = = π 4 π 4 c Consideriamo l integrale [ arcsin y ] sin x dx + π π 4 x dx + π [ ] π 4 = 6 x z dσ, dove dy dx = y [ ] arcsin y dx = + π 3 = π. 6 3 = x, y, z R 3 : z = xy, y 3x, x + y. La superficie è il grafico della funzione g : R definita da gx, y = xy, dove = x, y R : y 3x, x + y. Si ha che = σ, dove σ : R 3 è definita da σx, y = x, y, gx, y = x, y, xy. z dσ = x y Nx, y dx dy,

6 6 Integrali di superficie: esercizi svolti y / O, / x Fig. 4: L insieme. dove Nx, y = x, y y x, y. Si ha che Nx, y = x, y y x, y = Nx, y = g x, y, g y x, y, = y, x,, + x + y. Quindi z dσ = x y Nx, y dx dy = x y + x + y dx dy. Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi Φ : x = ρ cos ϑ y = ρ sin ϑ, ρ, ϑ π, det J Φ ρ, ϑ = ρ. Allora x, y ρ ϑ π 3. = Φ, dove = ρ, ϑ R : ρ, ϑ π. 3 z dσ = x y + x + y dx dy = ρ 5 cos ϑ sin ϑ + ρ dρ dϑ =

7 Integrali di superficie: esercizi svolti 7 ed essendo un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑ e la funzione integranda prodotto di una funzione di ρ e di una di ϑ, si ottiene π [ 3 = cos ϑ sin ϑ dϑ Calcoliamo separatamente i due integrali. Si ha che π 3 cos ϑ sin ϑ dϑ = π 3 sin ϑ dϑ = 4 = 6 integrando due volte per parti si ottiene In conclusione 3 π + 3 ; 4 [ ρ 5 + ρ dρ = 3 ρ4 + ρ ] = 3 = 3 z dσ = 6 [ ρ + ρ ] ] ρ 5 + ρ dρ. [ 4 ϑ sin ϑ cos ϑ ] π 3 ρ 3 + ρ 3 dρ = ρ + ρ 5 dρ = 6 [ ρ ] 7 = π = π = 3. 8 d Consideriamo l integrale x + y dσ, dove = x, y, z R 3 : z = x + y, x + y <. La superficie è il grafico della funzione g : R definita da gx, y = x + y, dove = x, y R : x + y <. È quindi la parte del semicono di equazione z = x + y compresa fra il vertice O,, e il piano z =. Si ha che = σ, dove σ : R 3 è definita da σx, y = x, y, gx, y = x, y, x + y.

8 8 Integrali di superficie: esercizi svolti y O, x Fig. 5: L insieme in azzurro. x + y dσ = x + y Nx, y dx dy, dove Nx, y = x, y y x, y. Si ha che Quindi Nx, y = x, y y x, y = x = x + y, y x + y, g x, y, g y x, y, = = Nx, y =. x + y dσ = x + y Nx, y dx dy = x + y dx dy. Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi Φ : x = ρ cos ϑ y = ρ sin ϑ, ρ, ϑ π, det J Φ ρ, ϑ = ρ. Allora x, y = Φ, dove = ρ, ϑ R : ρ < ϑ < π. ρ <, ϑ < π.

9 Integrali di superficie: esercizi svolti 9 x + y dσ = x + y dx dy = ρ 3 dρ dϑ = ed essendo un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑ e la funzione integranda prodotto di una funzione di ρ e di una di ϑ, si ottiene = π [ ] dϑ ρ 3 dρ = [ ] π 4 ρ4 = π. e Consideriamo l integrale = x, y, z R 3 : Ω = x + y dσ, dove z 3 x, y, z = sin uv, cos uv, u, u, v Ω, u, v R : Si ha che = σω, dove σ : Ω R 3 è definita da < u < v, v <. σu, v = sin uv, cos uv, u. v / O, / u Fig. 6: L insieme Ω in azzurro. x + y z 3 dσ = dove Nu, v = u u, v v u, v. Si ha che u, v = v cos uv, v sin uv,, u Ω Nu, v du dv, u3 v, v = u cos uv, u sin uv,, u

10 Integrali di superficie: esercizi svolti i j k u, v u, v = u v v cos uv v sin uv = u sin uvi + u cos uvj. u cos uv u sin uv Quindi Nu, v = u, v u, v = u sin uv, u cos uv, = Nu, v = u. u v Quindi x + y z 3 dσ = essendo Ω u-semplice, si ottiene v = u du dv = Ω u Ω 3 Nu, v du dv = du dv = u [ ] v dv = u [ dv = v log v] v = log. f Consideriamo l integrale = dσ, dove 4z + x, y, z R 3 : z = x + y, x + y < La superficie è il grafico della funzione g : R definita da gx, y = x + y, dove = x, y R : x + y <. È quindi la parte del paraboloide di equazione z = x + y compresa fra il vertice O,, e il piano z =. Si ha che = σ, dove σ : R 3 è definita da σx, y = x, y, gx, y = 4z + dσ = dove Nx, y = x, y y x, y. Si ha che Nx, y = x, y y x, y = Quindi 4z + dσ = Nx, y = x, y, x + y.. + 4x Nx, y dx dy, + 4y g x, y, g y x, y, = x, y,, + 4x + 4y. + 4x + 4y Nx, y dx dy = dx dy. + 4x + 4y

11 Integrali di superficie: esercizi svolti y O, x Fig. 7: L insieme in azzurro. Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi Φ : x = ρ cos ϑ y = ρ sin ϑ, ρ, ϑ π, det J Φ ρ, ϑ = ρ. Allora x, y = Φ, dove = 4z + dσ = ρ, ϑ R : ρ < ϑ < π. ρ <, ϑ < π. + 4x + 4y dx dy = ρ dρ dϑ = + 4ρ ed essendo un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑ e la funzione integranda prodotto di una funzione di ρ e di una di ϑ, si ottiene = π [ ] [ ] ρ dϑ dρ = π + 4ρ + 4ρ 4 = π 5.

12 Integrali di superficie: esercizi svolti Esercizio. Calcolare l area delle seguenti superfici: a = x, y, z R 3 : z = x + y, x + 4y < 8 [ 6 3 π ] b = x, y, z R 3 : x + y + z = R, R > [ 4πR ] Svolgimento a Consideriamo la superficie = x, y, z R 3 : z = x + y, x + 4y < 8. La superficie è il grafico della funzione g : R definita da gx, y = x + y, dove = x, y R : x + y < 8 = x, y R : x 8 + y <. È quindi parte del paraboloide ellittico di equazione z = x + y. y 3 3 x Fig. 8: L insieme in azzurro. Si ha che = σ, dove σ : R 3 è definita da σx, y = x, y, gx, y = x, y, x + y.

13 Integrali di superficie: esercizi svolti 3 l area di è A = Nx, y dx dy, dove Nx, y = x, y y x, y. Si ha che Nx, y = x, y y x, y = Quindi A = Nx, y = g Nx, y dx dy = x, y, g y x, y, = x, y,, + x + 4y. + x + 4y dx dy. Passiamo in coordinate ellittiche nel piano. Poniamo quindi Φ : x = ρ cos ϑ y = ρ sin ϑ, ρ, ϑ π, det J Φ ρ, ϑ = 4ρ. Allora x, y = Φ, dove A = = ρ, ϑ R : Nx, y dx dy = ρ < ϑ < π. ρ <, ϑ < π. + x + 4y dx dy = 4 ρ + 8ρ dρ dϑ = ed essendo un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑ e la funzione integranda prodotto di una funzione di ρ e di una di ϑ, si ottiene π [ ] [ = 4 dϑ ρ + 8ρ dρ = 8π + 8ρ ] 3 = π. b Consideriamo la superficie = x, y, z R 3 : x + y + z = R, con R >. La superficie è la sfera di centro O,, e raggio R. Si ha che = σ, dove σ : R 3 è definita da dove = ϑ, ϕ R : σϑ, ϕ = R sin ϑ cos ϕ, R sin ϑ sin ϕ, R cos ϑ, ϑ π, ϕ π.

14 4 Integrali di superficie: esercizi svolti φ π Ο, π θ Fig. 9: L insieme. l area di è A = Nϑ, ϕ dϑ dϕ, dove Nϑ, ϕ = ϑ ϑ, ϕ ϕ ϑ, ϕ. Si ha che Quindi ϑ, ϕ = R cos ϑ cos ϕ, R cos ϑ sin ϕ, R sin ϑ, ϑ ϑ, ϕ = R sin ϑ sin ϕ, R sin ϑ cos ϕ,, ϕ ϑ, ϕ ϑ, ϕ = ϑ ϕ i j k R cos ϑ cos ϕ R cos ϑ sin ϕ R sin ϑ = R sin ϑ sin ϕ R sin ϑ cos ϕ = R sin ϑ cos ϕi + R sin ϑ sin ϕj + R sin ϑ cos ϑk. Nϑ, ϕ = ϑ, ϕ ϑ ϕ ϑ, ϕ = R sin ϑ cos ϕ, R sin ϑ sin ϕ, R sin ϑ cos ϑ, Quindi A = Nϑ, ϕ = R sin ϑ. Nϑ, ϕ dϑ dϕ = R sin ϑ dϑ dϕ = essendo un rettangolo con lati paralleli agli assi ϑ e ϕ e la funzione integranda prodotto di una funzione di ϑ e di una di ϕ, si ottiene π [ π ] = R dϕ sin ϑ dϑ = πr [ ] π cos ϑ = 4πR.

15 Integrali di superficie: esercizi svolti 5 Esercizio 3. Calcolare il flusso uscente del campo vettoriale F x, y, z = x, y, z dalla superficie costituita dal bordo di = x, y, z R 3 : < z < x y. [ π 3 ] Svolgimento Il flusso uscente del campo vettoriale F dal bordo di può essere calcolato in due modi: con la definizione oppure applicando il Teorema di Gauss, detto anche della divergenza. modo: con la definizione Si ha che =, dove = = x, y, z R 3 : z =, x + y <, x, y, z R 3 : z = x y, x + y <. Quindi F n = F n + F n Z X Y Fig. : L insieme =, con in nero e in verde.

16 6 Integrali di superficie: esercizi svolti Si ha che è il grafico della funzione g : R definita da g x, y = e è il grafico della funzione g : R definita da g x, y = x y, dove = x, y R : x + y <. y O, x Fig. : L insieme in azzurro. Allora si ha che = σ, dove σ : R 3 è definita da σ x, y = x, y, g x, y = x, y, e = σ, dove σ : R 3 è definita da σ x, y = x, y, g x, y = x, y, x y. Per definizione di integrale di flusso si ha che F n = F σ x, y N x, y dx dy, dove N x, y è il vettore normale esterno a nel punto σ x, y uscente da. Si ha che il vettore Nx, y = x, y y x, y è normale alla superficie = σ. Si ha che Nx, y = x, y y x, y = g x, y, g y x, y, =,,. Questo vettore normale è entrante in. Quindi un vettore uscente è N x, y = Nx, y =,,. Ne segue che F n = F σ x, y N x, y dx dy = F x, y,,, dx dy =

17 Integrali di superficie: esercizi svolti 7 = x, y,,, dx dy = Per definizione di integrale di flusso si ha che F n = dx dy = m = π. F σ x, y N x, y dx dy, dove N x, y è il vettore normale esterno a nel punto σ x, y uscente da. Si ha che il vettore Nx, y = x, y y x, y è normale alla superficie = σ. Si ha che Nx, y = x, y y x, y = g x, y, g y x, y, = x, y,. Questo vettore normale è uscente da. Quindi un vettore uscente è N x, y = Nx, y = x, y,. Ne segue che F n = = F σ x, y N x, y dx dy = F x, y, x y x, y, dx dy = x, y, x + y [ x, y, dx dy = x + y + x + y ] dx dy = passando in coordinate polari nel piano = π [ dϑ ρ 3 + ρ 5 ] [ dρ = π ρ4 + ] 6 ρ6 = 4 3 π. In conclusione si ha che F n = F n + F n = π 3. modo: con il Teorema di Gauss o della divergenza Essendo il campo F di classe C e l insieme un aperto con bordo, per il Teorema di Gauss si ha che F n = dove, posto F = f, f, f 3, si ha che divf x, y, z dx dy dz, divf x, y, z = f x, y, z + f y x, y, z + f 3 x, y, z. z Quindi divf x, y, z = + z e F n = divf x, y, z dx dy dz = + z dx dy dz =

18 8 Integrali di superficie: esercizi svolti integrando per fili paralleli all asse z si ottiene dove x y = + z dz dx dy = [z + ] x y z [ = x + y x y + ] dx dy, = x, y R : x + y <. Passando in coordinate polari nel piano si ottiene π [ = dϑ [ F n = x + y x y + ] dx dy = [ ρ5 ρ 3 + ρ ] dx dy = ] [ dρ = 4π ρ6 4 ρ4 + ] 4 ρ = π 3. Esercizio 4. Calcolare il flusso uscente del campo vettoriale F dal bordo dell insieme nei seguenti casi: a F x, y, z = x, y, z, = x, y, z R 3 : x + y + z <, x >, y >, z > [ ] b F x, y, z = x, y, z, = x, y, z R 3 : x + y < z < [ π ] c F x, y, z = x 3, y 3, z 3, = x, y, z R 3 : x + y + z <, z > [ 6 5 π ] Svolgimento a Calcoliamo il flusso uscente del campo vettoriale F x, y, z = x, y, z dal bordo dell insieme = x, y, z R 3 : x + y + z <, x >, y >, z >. Per il Teorema di Gauss o della divergenza si ha che F n = divf x, y, z dx dy dz,

19 Integrali di superficie: esercizi svolti 9 dove, posto F = f, f, f 3, si ha che divf x, y, z = f x, y, z + f y x, y, z + f 3 x, y, z. z Quindi divf x, y, z = 3 e F n = integrando per fili paralleli all asse z si ottiene x y = 3 dz dx dy = 3 dove Ω Ω = x, y R : divf x, y, z dx dy dz = 3 dx dy dz = Ω x y dx dy, < x <, < y < x. y O, x Fig. : L insieme Ω in azzurro. Essendo Ω y-semplice, si ottiene F n = 3 x y dx dy = 3 = 3 Ω [ xy ] x y dx = 3 x x dx = 3 x y dy dx = [ 3 x3 ] =. b Calcoliamo il flusso uscente del campo vettoriale F x, y, z = x, y, z dal bordo dell insieme = x, y, z R 3 : x + y < z <. Per il Teorema di Gauss o della divergenza si ha che F n = divf x, y, z dx dy dz,

20 Integrali di superficie: esercizi svolti dove, posto F = f, f, f 3, si ha che divf x, y, z = f x, y, z + f y x, y, z + f 3 x, y, z. z Quindi divf x, y, z = x + y + e F n = divf x, y, z dx dy dz = x + y + dx dy dz = integrando per fili paralleli all asse z si ottiene = x + y + dz dx dy = x + y + x y dx dy, Ω x +y Ω dove Ω = x, y R : x + y <. y O, x Fig. 3: L insieme Ω in azzurro. Passando in ccordinate polari nel piano si ottiene F n = x + y + x y dx dy = essendo π = π [ cos ϑ dϑ = = π dϑ π Ω ρ cos ϑ + ρ sin ϑ + [ sin ϑ dϑ =, si ottiene ρ ρ 3 ] dρ dϑ = ρ ρ 3 ] [ dρ = π ρ ] 4 ρ4 = π.

21 Integrali di superficie: esercizi svolti c Calcoliamo il flusso uscente del campo vettoriale F x, y, z = x 3, y 3, z 3 dal bordo dell insieme = x, y, z R 3 : x + y + z <, z >. Per il Teorema di Gauss o della divergenza si ha che F n = dove, posto F = f, f, f 3, si ha che divf x, y, z dx dy dz, divf x, y, z = f x, y, z + f y x, y, z + f 3 x, y, z. z Quindi divf x, y, z = 3 x + y + z e F n = divf x, y, z dx dy dz = 3 x + y + z dx dy dz. Z Y X Fig. 4: L insieme. Passiamo in coordinate polari nello spazio. Poniamo quindi x = ρ sin ϑ cos ϕ Φ : y = ρ sin ϑ sin ϕ ρ, ϑ π, ϕ π, det J Φ ρ, ϑ = ρ sin ϑ. z = ρ cos ϑ, Allora x, y, z ρ < ϑ < π ϕ < π. = Φ, dove = ρ, ϑ, ϕ R 3 : ρ <, ϑ < π, ϕ < π.

22 Integrali di superficie: esercizi svolti F n = 3 x + y + z dx dy dz = 3 ρ 4 sin ϑ dρ dϑ dϕ = essendo un parallelepipedo con spigoli paralleli agli assi ρ, ϑ e ϕ e la funzione integranda prodotto di una funzione di ρ, una di ϑ e una di ϕ, si ottiene π π [ ] [ ] = 3 dϕ sin ϑ dϑ ρ 4 π [ ] dρ = 6π cos ϑ 5 ρ5 = 6 5 π.