ANALISI VETTORIALE ESERCIZI SULLE SUPERFICI

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1 ANALII VETTORIALE EERCIZI ULLE UPERFICI Esercizio Calcolare l area della superficie dove Σ {(x, y, z) (x, y) E, z 2 + x 2 + y 2 } E {(x, y) x 2 + y 2 4}. Essendo la superficie Σ data come grafico di una funzione f(x, y) 2 + x 2 + y 2 la sua area si calcola tramite Σ E + (f x ) 2 + (f y ) 2 dxdy + 4x 2 + 4y 2 dxdy. E Passando a coordinate polari (in particolare con ρ da fino a 2, non fino a 4!) si ottiene Σ 2 2π ρ + 4ρ 2 dθdρ 2π 2 [( + 4ρ 2 ) 3/2] π 6 ( ). Esercizio 2 Indicata con la superficie ottenuta per rotazione intorno all asse z del grafico della funzione x z 2, z [, ], determinare una rappresentazione parametrica di, calcolare l area di, calcolare l integrale superficiale z dσ. I punti di sono costituiti, al variare di z [, ], dalle circonferenze di raggio z 2. La rappresentazione parametrica richiesta è dunque x ( v 2 ) cos(u) y ( v 2 ) sin(u) z v v u 2π La matrice Jacobiana è ( v 2 ) sin(u) ( v 2 ) cos(u) v cos(u) v sin(u) v 2 v 2 da cui segue L ( v 2 ) cos(u) M ( v 2 ) sin(u) v N ( v 2 ) v 2

2 e quindi L 2 + M 2 + N 2 v 2 v 2 v 2 Ne segue pertanto Area 2π dσ 2π du { } dv v 2 { } dv 2π (π + 2) v 2 (Naturalmente il precedente procedimento conduce alla formula per il calcolo dell area di una qualunque superficie di rotazione di x f(z), z [, ]: nel nostro caso 2π Area 2π ( v 2 ) f(z) + f 2 (z)dz, + v2 v 2 dv.) L integrale superficiale vale per evidenti motivi di simmetria: z dσ 2π du { } v dv. v 2 Esercizio 3 Calcolare l area della superficie di equazioni parametriche [ π ] x u cos(v), y u sin(v), z u 2, u [, 2], v 2, π. La matrice Jacobiana è ( cos v sin v 2u u sin v u cos v ) da cui segue che L 2 + M 2 + N 2 u 2 + 4u 4 u + 4u 2. Ne segue che Area() dσ π 2 2 u + 4u 2 du 24 ( ) 5 π. Esercizio 4 iano { f(x, y) x 2 + y 2, g(x, y) (3x 2 + 2xy + 5y 2 ) e sia Ω {(x, y, z) : x 2 + y 2, f(x, y) z g(x, y)} R 3, detto ν {ν, ν 2, ν 3 } il versore normale esterno a, calcolare i tre integrali superficiali z ν 3 dσ, x ν dσ, x ν 2 dσ. 2

3 Applichiamo il Teorema della divergenza per il calcolo dei tre integrali. Primo integrale econdo integrale Terzo integrale z ν z dσ Ω {,, z} ν dσ dx dy dz x 2 +y 2 dx dy div{,, z} dx dy dz Ω g(x,y) f(x,y) dz 2π { ρ dρ 4ρ 2 cos 2 (θ) 6ρ 2 sin 2 (θ) 2ρ 2 cos(θ) sin(θ) } dθ π 4π 4 6π π x ν x dσ Ω {x,, } ν dσ dx dy dz 7 2 π x ν y dσ {, x, } ν dσ Ω dx dy dz. Esercizio 5 ia F k ( {x, y, z} x 2 + y 2 + z 2 ) 3 il campo elettrico generato da una carica posta nell origine: calcolare il flusso uscente di F attraverso la superficie sferica l ellissoide il parallelepipedo : x 2 + y 2 + z 2 E : x y2 6 + z2 9 P : x 5, y 6, z 7 Flusso attraverso la superficie sferica :x 2 + y 2 + z 2, ν {x, y, z}. Applichiamo la definizione k ( {x, y, z} {x, y, z} dσ k dσ 4 k π x 2 + y 2 + z 2 ) 3 3

4 Flusso attraverso la superficie ellissoidale: E : x y2 6 + z2 9 : consideriamo la regione B R 3 compresa tra la superficie sferica e la superficie E In B (che non include l origine) il campo F è regolarissimo: dal teorema della divergenza segue quindi div( F ) dx dy dz F ν dσ ovvero, B tenuto conto che B E orientate in verso opposto e che B div(f ), ν dσ (x, y, z) B Ne segue che E ν dσ ν dσ ν dσ 4 k π E Flusso uscente dal parallelepipedo: Nel parallelepipedo (che non include l origine) il campo F è regolarissimo: dal teorema della divergenza segue quindi ν dσ div( F ) dx dy dz P P Esercizio 6 Assegnata la curva x cos(t), C : y 2 sin(t), z 3 cos(t), t [, 2π] determinare il lavoro del campo F {x + y, 2x + z, z + y} lungo C nel verso quello offerto dalla rappresentazione parametrica al crescere di t [, 2π], riconoscere che C è bordo della superficie cartesiana : z 3 x, x 2 + y2 4, calcolare tale lavoro avvalendosi della Formula di tokes, riconoscere il legame tra il lavoro ottenuto e l area di 4

5 Assumiamo il verso quello offerto dalla rappresentazione parametrica al crescere di t [, 2π] : τ sin 2 (t) { sin(t), 2 cos(t), 3 sin(t)} C 2π F τ ds {cos(t) + 2 sin(t), 2 cos(t) + 3 cos(t), 3 cos(t) + 2 sin(t)} 2π { sin(t), 2 cos(t), 3 sin(t)} dt ( sin(t) cos(t) 8 sin 2 (t) + cos 2 (t) ) dt 2π La rappresentazione parametrica di C mostra chiaramente che z 3x e quindi che C è una curva piana appartenente a tale piano. empre dalla rappresentazione parametrica si riconosce che x 2 + y2 4 e quindi che la curva assegnata è il bordo della superficie ottenuta tagliando la colonna ellittica col piano z 3x. Usando il Teorema di tokes C rot( F ) x 2 + y2 4 τ ds i j k rot( F ) ν dσ x y z x + y 2x + z z + y ν ± {3,, } {,, } L analogia con il caso piano suggerisce la scelta del segno + : il versore normale (un ipotetico osservatore posto in piedi come ν) vede girare lungo il bordo nel verso antiorario. Pertanto τ ds dσ C L ultimo integrale superficiale si calcola, tenuto conto che è la superficie cartesiana z 3x, x 2 + y2 4 dσ dx dy 5

6 dσ dxdy 2π x 2 + y2 4 avendo semplicemente usato la formula π a b dell area di un ellisse di semiassi a e b. L area della superficie è area() dx dy 2 π x 2 + y2 4 Tenuto presente che sia il rot( F ) che ν sono costanti su e il loro prodotto scalare vale / è naturale che il lavoro richiesto, tradotto con la formula di tokes, valga Esercizio 7 Assegnata la superficie cartesiana calcolare i suoi termini L 2, M 2, N 2, 2π area() z + 3x + 2y, x, y calcolare l area e confrontarla con quella del quadrato x, y su cui la superficie è assegnata. i tratta di un parallelogramma del piano z + 3x + 2y La matrice da cui si ricavano le tre espressioni L, M, N, i tre minori del secondo ordine, è la seguente ( ) 3 2 Da cui, calcolati come di consueto, L 3 2 3, M 3 2 2, N i noti che il vettore {L, M, N} è normale alla superficie. Riesce L 2 + M 2 + N e quindi i versori normali alla superficie sono ν ± 4 { 3, 2, } L area è, per definizione, area() i noti che x, y 4 dx dy 4 6

7 l area del quadrato Q del piano xy su cui la superficie si rappresenta è, il coseno della normale alla superficie con l asse z vale ν z / 4 è naturale che tra l area del parallelogramma e l area del quadrato Q su cui si proietta valga la relazione area() ν z area(q) Esercizio 8 Assegnata la superficie : x u 2 + v 2, y u 2 v 2, z 2uv, u 2 + v 2 calcolare la matrice jacobiana ( xu y u z u x v y v z v ) calcolare i tre valori L 2, M 2, N 2 esprimere l elemento d area d σ calcolare l area di. Elevando al quadrato le tre espressioni parametriche si riconosce che esse verificano la relazione x 2 y 2 + z 2 che è la nota equazione cartesiana di un cono rotondo. i ha ( ) ( ) xu y u z u 2u 2u 2v x v y v z v 2v 2v 2u L 4u 2 + 4v 2, M 4v 2 4u 2, N 8uv L 2 + M 2 + N 2 32(u 4 + v 4 + 2u 2 v 2 ), dσ L 2 + M 2 + N 2 du dv 4 2(u 2 + v 2 ) du dv area() da cui servendosi delle coordinate polari dσ u 2 +v 2 4 2(u 2 + v 2 ) du dv area() 4 2π 2 dθ ρ 3 dρ 2 2 π Chiunque abbia un po di memoria ricorderá la formula elementare dell area della superficie laterale del cono rotondo di raggio r, altezza h e apotema a r 2 + h 2 area 2 2π r a π r a che nel nostro caso darebbe area π 2, 7

8 la metà del valore 2 2 π trovato sopra. La rappresentazione parametrica fornita produce in realtá il cono contato due volte. Pensate ad esempio al punto P (,, ) prodotto sia dal punto (u, v) (, ) che dal punto (u, v) (, ), ecc. Non è quindi sorprendente che l area venga raddoppiata. Esercizio 9 Assegnato nel piano x z il grafico x + z 2, z consideriamo la superficie ottenuta facendo ruotare tale grafico intorno all asse z determinare le equazioni parametriche di, determinare l area di. Le equazioni parametriche della superficie di rotazione sono ( xz y z z z x θ y θ z θ x ( + z 2 ) cos(θ) y ( + z 2 ) sin(θ) z z ) ( θ [, 2π], z 2z cos(θ) 2z sin(θ) ( + z 2 ) sin(θ) ( + z 2 ) cos(θ) ) L 2 + M 2 + N 2 ( + z 2 ) + 4z 2 dσ ( + z 2 ) + 4z 2 dz dθ Area() 2π dθ ( + z 2 ) + 4z 2 dz 2π Arcinh(2) Esercizio Calcolare la quota del baricentro z G RH RH z d σ d σ della calotta sferica RH : x 2 + y 2 + z 2 R 2, H z R Rappresentazione parametrica della RH : x R sin(ψ) cos(θ) y R sin(ψ) sin(θ) z R cos(ψ) ψ [, arccos(h/r)], θ [, 2π] 8

9 z d σ 2π R 3 RH RH d σ 2πR 2 dσ R 2 sin(ψ) dψ dθ, arccos(h/r) arccos(h/r) cos(ψ) sin(ψ)dψ πr 3 ( (H/R) 2 ) sin(ψ) dψ 2πR 2 ( H/R) Ne segue che: z G RH z d σ RH d σ πr3 ( (H/R)2 ) 2πR 2 ( H/R) (R + H). 2 9