Esercizi sui vettori liberi (i, j, k è una base ortonormale positiva)

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1 Esercizi sui vettori liberi (i, j, k è una base ortonormale positiva) Esercizio 1 Siano v e w due vettori non paralleli.sapendo che v è un versore e che v w =3 trovare l espressione di tutti i vettori ortogonali a v e complanari con v e w. Esercizio 2 trovare l espressione di tutti i vettori x che soddisfano alla condizione x w t =1 dove w =2i +j - k e t =i + k. Esercizio 3 Sia w o e v w = t w : mostrare che v -t w. Esercizio 4 Siano P O=i +j - k, Q O=i +(h+1)j +2 k e R O=2i - k. Trovare il valore di h per il quale i vettori sono complanari e per tale valore l area del quadrilatero O, P, Q, R Esercizio 5 Dati v =2i + k, w =j, t =2i +3j +(h 1) k trovare il valore di h per il quale il volume del parallelepipedo individuato da v, w e t sia minimo. Esercizio 6 Siano v, w e t non complanari. Trovare il valore di h per il quale h v +w, w +t, t sono complanari. Esercizio 7 Mostrare che se t v = v +t allora v = t. Esercizio 8 Siano v e w ortogonali e x tale che x v =x v. Mostrare che x è complanare con v e w. Esercizio 9 Supponiame che valga la seguente relazione Mostrare che x k. Esercizio 10 Consideriamo il sistema { x v t= 1 x w i j +j x +x i =o Mostrare che se x è complanare con v e t il sistema non è risolubile mentre in caso contrario ammette una sola soluzione. Esercizio 11 Siano v =i -j +2 k =P 1 O, w =2i - k =P 2 O, t =i -2j +h k =P 3 O. Stabilire per quali h il volume della piramide O, P 1, P 2, P 3 è minimo. Esercizio 12 Sia x v. È vero che il vettore (x v ) v è v? Esercizio 13 Sapendo che la terna {3 i+2 j+2k, h j+2k, i+ j+k} e la terna { i+3 j k, h i+ j+k, j+k} sono entrambe positive che cosa si può dire sul parametro h? Esercizio 14 Siano v e w assegnati diversi dal vettore nullo e che v +w non sia parallelo ne a v ne a w. Quali sono i vettori t paralleli a v e w? 1

2 Esercizio 15 Siano v, w, t non complanari. Cosa si puo dire di un vettore che e contemporaneamente complanare con v e w e con w e t? Esercizio 16 Siano v,w e t complanari. Per quali vettori s l equazione, nelle variabili x 1, x 2, x 3, x 1 v + x 2 w + x 3 t = s e risolubile? Nel caso in cui sia risolubile quante soluzioni ammette (una soluzione e una terna x 1, x 2, x 3 )? Esercizio 17 Siano v,w e t non complanari. E vero che v, v + w, v + w +t sono ancora complanari? Esercizio 18 Supponiamo che l insieme dei vettori complanari con v e w (non paralleli) abbia un elemento in comune con l insieme dei vettori complanari con t e s abbia un elemento in comune. Mostrare che allora necessariamente hanno infiniti vettori in comune. Esercizio 19 Nelle ipotesi dell esercizio 5 cosa si po dedurre sui vettori v,w,t e s? Esercizio 20 ) Sia O un punto fissato. Si definisce baricentro dei punti P 1,..., P n il punto G determinato dalla relazione G O = 1 n n (P i O) Mostrare che la definizione del punto G non dipende dalla scelta del punto O. Esercizio 21 Sia T la funzione che a un vettore v associa v +w (con w fissato). a) Mostrare che T e biunivoca b) Trovare l inversa di T. c) Descrivere geometicamente l insieme costituito dai vettori che sono i trasformati dei vettori paralleli ad un vettore assegnato t. Esercizio 22 Si consideri l insieme U dei vettori paralleli al piano del foglio. Siano assegnati inoltre due vettori v =P O e t =Q O. Successivamente prendiamo i vettori di w di U tali che (v + w) t Scrivendo w =R P studiare che cosa descrive l insieme dei punti R (al variare di w ). Esercizio 23 Siano v, w non paralleli e t ortogonale a v e w. Mostrare che v, w e t sono linearmente indipendenti. 1 2

3 Esercizio 24 Siano v e t due versori. Mostrare che s = v -( v t ) e ortogonale a v se e solo se v e parallelo a t. Esercizio 25 Siano v,w, t una base dello spazio dei vettori liberi. Costruire una base ortogonale il cui primo elemento sia v e il secondo elemento sia complanare a v e w. Esercizio 26 Siano v, w e t tre versori tali che v t =1/2 e w t =1. Calcolare l angolo convesso tra w e t. Sia da qui in avanti i, j, k una base ortonormale destrorsa. Esercizio 27 Sia x =ai +bj +c k e v =2i -j + k. Trovare la proiezione ortogonale di x secondo v. Esercizio 28 Siano x =i -hj +3 k e v =i -j - k, w =2i - k. Trtovare il valore di h per il quale x e complanare con v e w. Esercizio 29 Siano x =i -j -h k e v =i - k, w =j - k. trovare i valori di h per i quali x, v e w formano una base. Esercizio 30 Esprimere il vettore x =i +2j +3 k in termini della base i,i +j + k Esercizio 31 Sia v un vettore non nullo ortogonale a t, w ed s. Mostrare che quest ultimi sono complanari. Esercizio 32 Siano v, t, w tre versori tali che v t = 1/2 e w t = 1. Calcolare l angolo convesso determinato da v e w. Esercizio 33 Siano v e w due versori. Può accadere che v + w = 1 e v w = 3? Esercizio 34 Dati due vettori v, w non paralleli, trovare un espressione per la proiezione ortogonale di un generico vettore t lungo la direzione individuata dalla bisettrice dell angolo convesso formato da v e w. Esercizio 35 Dato un vettore t, mostrare che l applicazione dall insieme dei vettori liberi in sè stesso definita da T (v) = (v t)t non è iniettiva. Esercizio 36 Mostrare che i vettori (v w) v, v, w non formano mai una base. Esercizio 37 Siano v e t non parallleli e sia x tale che (x v) t = 3(x v) t. È lecito concludere che x è necessariamente il vettore nullo? Esercizio 38 Sia v un vettore non nullo assegnato. Determinare l insieme dei vettori x tali che (x v) v = 0. Esercizio 39 Sia v un vettore non nullo e siano w e w tali che w w sia parallelo a v. Mostrare che se w non è parallelo a v, allora l area del parallelogramma individuato da v e w è uguale all area del parallelogramma individuato da v e w. Esercizio 40 Se (v, w, t) è una base positivamente orientata, è vero che anche (v, v + w, t) lo è? 3

4 Esercizio 41 Se v, w e t costituiscono una base, è vero che anche i vettori v w, w e t formano una base? In tutti gli esercizi che seguono, la terna i, j e k sta sempre a indicare una base ortonormale positivamente orientata Esercizio 42 Costruire una base ortonormale della quale il primo elemento sia parallelo a i + j. Esercizio 43 Sia U il piano vettoriale determinato da v = j k e w = i+3j +2k (per piano vettoriale si intende l insieme dei vettori complanari con v e w ). Determinare la proiezione ortogonale del vettore t = i+2j k sul piano vettoriale U. Esercizio 44 Sia U il piano vettoriale determinato da v = i + 3j + 4k e w = 2i + j k. Trovare un espressione per la proiezione ortogonale di un generico vettore x sul piano vettoriale U. Esercizio 45 Trovare l espressione generale della proiezione ortogonale di un vettore x sul piano vettoriale U determinato da due generici vettori non paralleli v e w. Esercizio 46 Determinare il vettore simmetrico di v = i + 2j k rispetto alla direzione determinata da u = i 2j 2k. Esercizio 47 Calcolare i valori di h per i quali i tre vettori v = i j k, w = 3i + hj + 2k e t = i + k sono linearmente indipendenti. Esercizio 48 Siano x = i hj + 2k, v = i j k e w = 2i k. Trovare il valore di h per il quale x è complanare con v e w. Esercizio 49 Siano x = i j hk, v = i k e w = j k. Trovare i valori di h per i quali x, v e w formano una base. Esercizio 50 Siano v = 2i j +k, w = i j k e t = i+hj +k. Determinare per quali valori di h i vettori v, w e t formano una base positivamente orientata. Esercizio 51 Siano v = i hk, w = 2i j + k e t = hi + j k. Determinare per quali valori di h si ha che: a) v, w e t formano una base; b) v, w e t formano una base positivamente orientata; c) v, w e t determinano un parallelepipedo di volume pari a 1 Esercizio 52 Siano v = hi+2j k, w = i 2j k e t = i k. Esistono dei valori per h tali per cui v è complanare con w e t ed è al tempo stesso ortogonale a s = i + j? Esercizio 53 Esprimere il vettore x = i + 2j + 3k come combinazione lineare dei vettori della base { i, i + j, i + j + k }. Esercizio 54 Siano v e w tali che v w t = 0 per ogni vettore t. Cosa si può dire di v e w? Esercizio 55 Siano v e w due versori ortogonali. Quanti sono i vettori x che sono ortogonali sia a v che a w e che risolvono l equazione vettoriale v w x = 2? 4

5 Esercizio 56 Quanti sono i vettori x che risolvono l equazione vettoriale dell esercizio precedente senza essere vincolati da nessun altra condizione? Esercizio 57 Siano v e w non paralleli e si consideri il sistema di equazioni vettoriali { x v w = 0 x v = 0 Descrivere l insieme dei vettori x che risolvono il sistema. Esercizio 58 Siano v e w non paralleli e si consideri il sistema di equazioni vettoriali x v w = 0 x v = 0 x w = 0 Descrivere l insieme dei vettori x che risolvono il sistema. Esercizio 59 Se t v w = w v t, che cosa si può concludere sulla terna t, v, w? Esercizio 60 Se v, w, t sono complanari è vero che anche v + 3w, w + 5t, v + w + t lo sono? Esercizio 61 Siano v e w due vettori paralleli non nulli e sia T l applicazione che trasforma ogni vettore x nel vettore T (x) = x v + x w. Quali sono i vettori x che vengono trasformati da T nel vettore nullo? Esercizio 62 Determinare l insieme dei vettori che sono complanari con i due vettori v 1 = i + k e v 2 = i 2j + 3k e, simultaneamente, complanari con i due vettori w 1 = i j e w 2 = i + 2j + k. Esercizio 63 Siano v = i 2j + k e w = (h + 1)i j k. Determinare h in modo che l angolo convesso formato da v e w sia π 3. Esercizio 64 Sapendo che v, w e v w sono tre versori, determinare l angolo convesso formato da v e w. 5