CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 ESERCIZI. Carlo Ravaglia

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1 CORSO DI ANALISI MATEMATICA ESERCIZI Carlo Ravaglia 8 febbraio 6

2 iv

3 Indice 4 Calcolo differenziale 4 Derivate parziali 4 Derivate parziali 4 Massimi e minimi 4 Massimi e minimi di funzioni 43 Derivate parziali di ordine superiore 43 Derivate parziali di ordine superiore 44 Differenziabilità e derivata 3 44 Dominio, matrice jacobiana e derivata 3 44 Matrice jacobiana e derivata Derivata della funzione composta Gradiente e differenziale 8 45 Derivate direzionali 45 Derivate direzionali 46 Diffeomorfismo 3 46 Diffeomorfismo e derivata della funzione inversa 3 47 Estremanti relativi 7 47 Estremanti relativi in R 7 47 Estremanti relativi in R Forme differenziali lineari 35 5 Forme differenziali esatte 35 5 Forme differenziali esatte in R 35 5 Forme differenziali esatte in R Forme differenziali esatte in R N 38 5 Campi di vettori esatti 38 5 Campi di vettori esatti Integrale di forme differenziali su traiettorie Integrale di forme differenziali su traiettorie 39 6 Equazioni implicite 4 6 Problema con equazione implicita 4 6 Problema con equazione implicita in R 4 v

4 vi INDICE 6 Problema con una equazione implicita in R Problema con un sistema di due equazioni implicite in R Sottovarietà differenziali di R N 45 7 Sottovarietà differenziali di R N 45 7 Sottovarietà differenziale; spazio tangente, spazio normale, varietà lineare tangente, varietà lineare normale 45 7 Spazio tangente, spazio normale, varietà lineare tangente, varietà lineare normale ad una sottovarietà in forma parametrica Sottovarietà e derivate direzionali 55 7 Massimi e minimi 57 7 Massimi e minimi di funzioni di due variabili 57 7 Massimi e minimi di funzioni di tre variabili 66 8 Equazioni differenziali 3 8 Equazioni del primo ordine 3 8 Problemi di Cauchy per equazioni del primo ordine 3 8 Equazioni di ordine superiore al primo 5 8 Problemi di Cauchy per equazioni di ordine superiore al primo 5 9 Equazioni differenziali lineari 7 9 Equazioni del primo ordine 7 9 Problema di Cauchy per un equazione del primo ordine 7 9 Sistemi di equazioni differenziali lineari 9 Integrale generale per i sistemi di due equazioni 9 Autovettori e integrale generale per i sistemi di due equazioni 93 Problema di Cauchy per i sistemi di due equazioni 3 94 Autovettori e problema di Cauchy per i sistemi di due equazioni 4 95 Problema di Cauchy per i sistemi di tre equazioni 6 93 Equazione di ordine superiore 6 93 Integrale generale di un equazioni differenziale lineare 6 93 Problema di Cauchy per equazioni di ordine superiore al primo a coefficienti costanti Problema di Cauchy per equazioni di ordine superiore al primo a coefficienti costanti con parametri Problema di Cauchy per equazioni lineari a coefficienti non costanti 55 Integrale di Riemann 57 Integrale di Riemann per funzioni di variabile 57 Calcolo di derivate 57 Integrale di Lebesgue 59 Integrali multipli 59 Integrali doppi 59 Convergenza di integrali doppi 75

5 INDICE vii 3 Integrali tripli 76 Misure di sottoinsiemi di R N 88 Misure di sottoinsiemi di R 88 Misure di sottoinsiemi di R 3 89 Integrale di funzioni su varietà 97 Integrali di funzioni su varietà 97 Integrali curvilinei di funzioni in R 97 Integrali curvilinei di funzioni in R Integrali di superficie di funzioni 4 Misura di sottoinsiemi di una varietà 9 Lunghezza di una curva 9 Area di una superficie 3 Integrale di forme differenziali 5 3 Integrale di forme differenziali 5 3 Integrali curvilinei di forme differenziali in R 5 3 Integrali curvilinei di forme differenziali in R Integrali di superficie di -forme 7 4 Teorema di Stokes 35 4 Teorema di Stokes applicato alle curve 35 4 Integrali curvilinei di forme differenziali esatte 35

6 viii INDICE

7 Capitolo 4 Calcolo differenziale 4 Derivate parziali 4 Derivate parziali Esercizio Sia f : {(x, y, z R 3 ; x } R, (x, y, z x 5 sin y + z x ; per (x, y, z dom(f, calcolare x f x (x, y, z + y f y si dimostri che esiste k R tale che x f x si determini tale k (x, y, z + y f y f (x, y, z + z (x, y, z ; z f (x, y, z + z (x, y, z = kf(x, y, z ; z Risoluzione Sia (x, y, z dom(f Si ha f x (x, y, z = 5x4 sin y +z x + x 5 cos y +z x (y + z ( x = 3 5x 4 sin y +z x x (y + z cos y +z x, f y (x, y, z = x5 cos y +z y x x = x 3 y cos y +z x, f z (x, y, z = x5 cos y +z z x x = x 3 z cos y +z x x f x (x, y, z + y f y f (x, y, z + z z (x, y, z = 5x 5 sin y +z x x 3 (y + z cos y +z x + x 3 y cos y +z + x3 z cos y +z = 5x 5 sin y +z x = 5f(x, y, z k = 5

8 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE 4 Massimi e minimi 4 Massimi e minimi di funzioni Esercizio Dire se esistono il massimo ed il minimo della seguente funzione: f : {(x, y R ; y, y x, x + y } R, (x, y x + xy in caso affermativo, determinarli Risoluzione Essendo f continua e definita su un compatto, f ammette massimo e minimo D Sia D il dominio di f Sia E l insieme dei punti di massimo o di minimo per f Consideriamo f su D Per ogni (x, y D si ha f x (x, y = x + y, f y (x, y = x { x + y = Si ha grad f(x, y = (, se e solo se, cioè se e solo se (x, y = x = (, Essendo (, D, si ha E D= ; si ha quindi E Fr (D Consideriamo f su Fr (D Posto S = [(,, (, ], S =](,, (, ], S 3 = ](,, (, [, si ha Fr (D = S S S 3 F 3 F F Consideriamo f su S Su S si ha (x, y = (x, e x ; si ha quindi f(x, y = f(x, = x ; sia h : [, ] R, x x ; se (x, y E S, allora x è un estremante per h Sia E l insieme degli estremanti di h Poichè h è strettamente crescente si ha E = {, } Si ha quindi E S {(,, (, }

9 4 MASSIMI E MINIMI 3 Consideriamo f su S Su S si ha (x, y = (x, x e x < ; si ha quindi f(x, y = f(x, x = x + x( x = x; sia h : [, [ R, x x; se (x, y E S, allora x è un estremante per h Sia E l insieme degli estremanti di h Poichè h è strettamente crescente si ha E = {} Si ha quindi E S {(, } Consideriamo f su S 3 Su S 3 si ha (x, y = (x, x e < x < ; si ha quindi f(x, y = f(x, x = x ; sia h 3 :], [ R, x x ; se (x, y E S 3, allora x è un estremante per h 3 Sia E 3 l insieme degli estremanti di h 3 Poichè h 3 è strettamente crescente si ha E 3 = ; si ha quindi E S 3 = Si ha: f(, =, f(, = 4, f(, = max(f = 4 e min(f = Esercizio Data la funzione E {(,, (,, (, } f : {(x, y R ; x, x y x} R, (x, y 3x xy + y, (a dire se f ammette massimo e se f ammette minimo; (b in caso affermativo, determinare il minimo ed il massimo di f Risoluzione (a Sia D = {(x, y R ; x, y x, y x} y x Essendo D compatto ed f continua, f ammette massimo e minimo (b Sia E l insieme dei punti di massimo o di minimo per f Consideriamo f su D Per ogni (x, y D si ha f x (x, y = 6x y, (x, y = x + 4y f y

10 4 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE Si ha grad f(x, y = (, se e solo se { 6x y = x + 4y =, cioè se e solo se (x, y = (, essendo (, D, si ha E D= ; si ha quindi E Fr (D Consideriamo f su Fr (D Posto S = [(,, (, ], S = [(,, (, [, S 3 =](,, (, [, si ha Fr (D = S S S 3 Consideriamo f su S Su S si ha (x, y = (, y e y ; si ha quindi f(x, y = f(, y = 3 y + y ; sia h : [, ] R, y y y + 3; se (x, y E S, allora y è un estremante per h Sia E l insieme degli estremanti di h Per y ], [ si ha h (y = 4y ; si ha h (y = se e solo se y = 4 ; si ha quindi E { 4,, } ; si ha quindi E S {(, 4 }, (,, (, Consideriamo f su S Su S si ha (x, y = (x, x e x < ; si ha quindi f(x, y = f(x, x = 3x x + x = 4x ; sia h : [, [ R, x 4x ; se (x, y E S, allora x è un estremante per h Sia E l insieme degli estremanti di h Poichè h è strettamente crescente si ha E = {} Si ha quindi E S {(, } Consideriamo f su S 3 Su S 3 si ha (x, y = (x, x e < x < ; si ha quindi f(x, y = f(x, x = 3x + x x = 6x ; sia h 3 :], [ R, x 6x ; se (x, y E S 3, allora x è un estremante per h 3 Sia E 3 l insieme degli estremanti di h 3 Poichè h 3 è strettamente crescente si ha E 3 = ; si ha quindi E S 3 = E {(, 4 }, (,, (,, (, Si ha: f(, =, f(, = 4, f(, = 6, f(, 4 = 3 8 max(f = 6 e min(f = 3 Esercizio Data la funzione f : {(x, y R ; y, x y, x + y } R, (x, y xy + 3y y, (a dire se f ammette massimo e se f ammette minimo;

11 4 MASSIMI E MINIMI 5 (b in caso affermativo, determinare il minimo ed il massimo di f Risoluzione (a Sia D = {(x, y R ; y, x y, x + y } y x Essendo D compatto ed f continua, f ammette massimo e minimo (b Sia E l insieme dei punti di massimo o di minimo per f Consideriamo f su D Per ogni (x, y D si ha f x (x, y = y, (x, y = x + 6y f y Si ha grad f(x, y = (, se e solo se se (x, y = (, essendo (, D, si ha E D= ; { y = x + 6y =, cioè se e solo si ha quindi E Fr (D Consideriamo f su Fr (D Posto S = [(,, (, ], S =](,, (, ], S 3 =](,, (, [, si ha Fr (D = S S S 3 Consideriamo f su S Per ogni (x, y S si ha y = e x ; si ha quindi f(x, y = f(x, = x = x + 4; sia h : [, ] R, x x + 4; sia E l insieme dei punti di massimo o di minimo per h ; la funzione h è strettamente crescente; si ha quindi E = {, }; si ha quindi E S {(,, (, } Consideriamo f su S Su S si ha x = y e < y ; si ha quindi f(x, y = f( y, y = ( yy+3y y = y+y +3y y = 5y +y;

12 6 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE sia h :], ] R, y 5y + y; sia E l insieme dei punti di massimo o di minimo per h ; per ogni y ], ] si ha h (y = y + ; quindi h (y = se e solo se y = ; si ha < ; si ha quindi E {, } ; si ha quindi E S {(,, ( 9, } Consideriamo f su S 3 Su S 3 si ha x = y e < y < ; si ha quindi f(x, y = f(y, y = (y y +3y y = y +y +3y y = y +y; sia h 3 :], [ R, y y + y; sia E 3 l insieme dei punti di massimo o di minimo per h 3 ; per ogni y ], [ si ha h 3(y = y + ; quindi h 3(y = se e solo se y = ; si ha < < ; si ha quindi E 3 { } ; si ha quindi E S 3 {( 3 }, E { (,, (,, (,, ( 9, }, ( 3, Si ha: f(, =, f(, = 4, f(, =, f( 9, = f( 3, = 4 max(f = 4 e min(f = 4 4 Esercizio Data la funzione f : {(x, y R ; x, y x 4 } R,, (x, y x 4 xy y, (a dire se f ammette massimo e se f ammette minimo; (b in caso affermativo, determinare il minimo ed il massimo di f Risoluzione (a Sia D = dom(f

13 4 MASSIMI E MINIMI 7 D Essendo D compatto ed f continua, f ammette massimo e minimo (b Sia E l insieme dei punti di massimo o di minimo per f Consideriamo f su D Per ogni (x, y D si ha f x (x, y = 4x3 y, f y (x, y = 4xy Se (x, y E, si ha grad f(x, y = (,, cioè { 4x 3 y = 4xy = Per x = il sistema non ha soluzioni Supponiamo x Si ha y = 4x ; quindi si ha 4x 3 ( 4x = ; quindi 4x 3 6x = ; quindi 4x 3 8x = ; quindi 3x 5 8x = ; quindi 3x 5 = ; quindi x 5 = 3 ; quindi x = y = 4 = Si trova il punto (,

14 8 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE E D {(, } ; Consideriamo f su Fr (D Posto F = [(,, (, ], F =](,, (, ], F 3 =](,, (, ], F 4 = {(x, y R ; x, y = x 4 }, si ha Fr (D = F F F 3 F 4 Consideriamo f su F Per ogni (x, y F si ha y = e x ; si ha quindi f(x, y = f(x, = x 4 x + ; sia g : [, ] R, x x 4 x + ; sia E l insieme dei punti di massimo o di minimo per g Sia x ], [ Si ha g (x = 4x 3 Si ha g (x = se e solo se 4x 3 =, cioè se e solo se x 3 =, cioè se e solo se x = 3 x E ], [ { } 3 E {,, 3 } E F {(,, (,, ( 3, } Consideriamo f su F Per ogni (x, y F si ha x = e < y ; si ha quindi f(x, y = f(, y = y y; sia g :], ] R, y y y; sia E l insieme dei punti di massimo o di minimo per g Sia y ], [ Si ha g (y = 4y Si ha g (y = se e solo se 4y =, cioè se e solo se y = 4 E ], [ { 4 } E {, 4 } E F {(,, (, 4 }

15 4 MASSIMI E MINIMI 9 Consideriamo f su F 3 Per ogni (x, y F 3 si ha x = e < y ; si ha quindi f(x, y = f(, y = + y y; sia g 3 :], ] R, y + y y; sia E 3 l insieme dei punti di massimo o di minimo per g 3 Sia y ], [ Si ha g 3(y = 4y Si ha g 3(y = se e solo se 4y =, cioè se e solo se y = 4 E 3 ], [ { 4 } E 3 {, 4 } E F 3 {(,, (, 4 } Consideriamo f su F 4 Per ogni (x, y F 4 si ha y = x 4 e < x < ; si ha quindi f(x, y = f(x, x 4 = x 4 x(x 4 x 4 = x 9 ; sia g 4 :], [ R, x x 9 ; sia E 4 l insieme dei punti di massimo o di minimo per g 4 La funzione g 4 è strettamente decrescente; si ha quindi E 4 = E F 4 = E { (,, (,, (,, ( 3,, (, 4, (,, (, } 4, (, Si ha: f(, = = 4+8 f(, = + =, f(, = + + = 4, f(, = ( = 3 f(, 4 = 6 = 5 6, 3 + = = 9 8, 3, = = 8 + f(, = =, f(, 4 = = = 8+ 8 = 7 8, f(, = + = Si ha < se e solo se 3 > 3 3, se e solo se > 3, se e solo se >, se e solo se 8 > 3 ; ciò è vero; quindi si ha < 3 3 +

16 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE max(f = 4 e min(f = 5 Esercizio Dire se esistono il massimo ed il minimo della seguente funzione: f : {(x, y, z R 3 ; x + y + z =, x, y, z } R, (x, y, z x + y + z in caso affermativo, determinarli Risoluzione Essendo f continua e definita su un compatto, f ammette massimo e minimo Il dominio D di f è un triangolo di R 3 ; ogni punto di D è punto di frontiera Sia E l insieme dei punti di massimo o di minimo per f Sia T il triangolo {(x, y R ; x + y, x, y } T Su D si ha (x, y, z = (x, y, x y e (x, y T ; si ha quindi f(x, y, z = f(x, y, x y = x + y + ( x y = x + y + xy x y + ; sia g : T R, (x, y x + y + xy x y + ; se (x, y, z E, allora (x, y è un estremante per g Sia E l insieme degli estremanti di g Consideriamo g su T Per ogni (x, y T si ha (x, y = 4x + y, g x g y (x, y = 4y + x Si ha grad g(x, y = (, se e solo se { x + y = x + y =,

17 4 MASSIMI E MINIMI cioè se e solo se ha ( 3, 3 T ; si ha quindi { 3x = 3y = ; si trova (x, y = ( 3, 3 Essendo = 3 <, si E T {( 3, 3 } Consideriamo g su Fr (T Posto S = [(,, (, ], S =](,, (, ], S 3 = ](,, (, [, si ha Fr (T = S S S 3 S S 3 S Consideriamo g su S Su S si ha (x, y = (x, e x ; si ha quindi g(x, y = g(x, = x x + ; sia h : [, ] R, x x x + ; se (x, y E S, allora x è un estremante per h Sia E, l insieme degli estremanti di h Consideriamo h su ], [; per ogni x ], [ si ha h (x = 4x ; si ha quindi h (x = se e solo se x = ; si ha quindi E, {,, }; E S {( },, (,, (, Consideriamo g su S Su S si ha (x, y = (, y e < y ; si ha quindi g(x, y = g(, y = y y + ; sia h :], ] R, y y y + ; se (x, y E S, allora y è un estremante per h Sia E, l insieme degli estremanti di h Consideriamo h su ], [; per ogni x ], [ si ha h (y = 4y ; si ha quindi h (y = se e solo se y = ; si ha quindi E, {, }; E S {(, }, (, Consideriamo g su S 3 Su S 3 si ha (x, y = (x, x e < x < ; si ha quindi g(x, y = g(x, x = x +( x +x( x x ( x+ = x x+; sia h 3 :], [ R, x x x + ; se (x, y E S 3, allora x è un estremante per h 3 Sia E,3 l insieme degli

18 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE estremanti di h 3 Per ogni x ], [ si ha h 3(x = 4x ; si ha quindi h (x = se e solo se x = ; si ha quindi E,3 { }; E S {(, } E {( 3, 3, (,, (,, (,, (,, (,, (, } E {( 3, 3, 3, (,,, (,,, (,,, (,,, (,,, (, }, Si ha: f( 3, 3, 3 = 3, f(,, = f(,, = f(,, =, f(,, = f(,,, = f(,, = max(f = e min(f = 3 43 Derivate parziali di ordine superiore 43 Derivate parziali di ordine superiore Esercizio Sia f : {(x, y R ; x > y} R, (x, y log(e x e y ; calcolare f ( f x y f x y Risoluzione Sia (x, y dom(f Si ha f x (x, y = e x e e x = ex y e x e, y f y (x, y = e x e ( e y = ey y e x e, y f x (x, y = ex (e x e y e x e x (e x e y = ex e y (e x e y, f x y (x, y = ex ( ey (e x e y, f x (x, y = ey (e x e y +e y e y (e x e y = ex e y (e x e y (e x e y = ex e y f x (x, f y y ( f (x, y (x, y x y =

19 44 DIFFERENZIABILITÀ E DERIVATA 3 ( ex e y (e x e y ( ex e y (e x e y e x e y (e x e y 4 ex e y (e x e y 4 = 44 Differenziabilità e derivata ( e x e y (e x e y = 44 Dominio, matrice jacobiana e derivata Esercizio Sia f la funzione (reale, di variabili reali definita naturalmente da (a determinare il dominio di f; f(x, y, z = (x sin z, y sin z, e z ; (b determinare la matrice jacobiana di f in un punto generico del dominio; (c determinare la trasformazione lineare derivata di f in un punto generico del dominio, esprimendola nella forma Risoluzione (a Si ha dom(f = R 3 T : V W, h T {h} (b Per ogni (x, y, z R 3 si ha f x (x, y, z = (sin z,,, f (x, y, z = (, sin z,, y f z (x, y, z = (x cos z, y cos z, zez Quindi si ha f (x, y, z = (c Per ogni (x, y, z R 3 si ha sin z x cos z sin z y cos z ze z f (x, y, z : R 3 R 3, (h, h, h 3 ((sin zh + x(cos zh 3, (sin zh + y(cos zh 3, ze z h 3 Esercizio Sia f la funzione (reale, di variabili reali definita naturalmente da f(x, y, z, t = (x sin t, y cos z, te x, z e x ; (a determinare il dominio naturale di f; (b determinare la matrice jacobiana di f in un punto generico del dominio;

20 4 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE (c determinare la trasformazione lineare derivata di f in un punto generico del dominio, esprimendola nella forma Risoluzione (a Si ha dom(f = R 4 T : V W, h T {h} (b Per ogni (x, y, z, t R 4 si ha f x (x, y, z, t = (sin t,, xte x, z e x, f y (x, y, z, t = (, cos z,,, f z (x, y, z, t = (, yz sin z,, ze z, f t (x, y, z, t = (xt cos t,, e x, Quindi si ha f (x, y, z, t = (c Per ogni (x, y, z, t R 4 si ha sin t xt cos t cos z yz sin z xte x e x z e x ze x f (x, y, z, z : R 4 R 4, (h, h, h 3, h 4 ((sin t h + x(cos t h 4, (cos z h yz(sin z h 3, xtze x h + e x h 4, z e x h + ze x h 3 3 Esercizio Sia f la funzione (reale, di variabili reali definita naturalmente da f(x, y = (x y, y x ; (a determinare il dominio naturale di f; (b determinare la matrice jacobiana di f in un punto generico del dominio; (c determinare la trasformazione lineare derivata di f in un punto generico del dominio, esprimendola nella forma Risoluzione (a Si ha (b Per ogni (x, y dom(f si ha f x (x, y = (yxy, y x log y, f y (x, y = (xy log x, xy x Quindi si ha T : V W, h T {h} dom(f = {(x, y R ; x >, y > } f (x, y = ( yx y x y log x y x log y xy x

21 44 DIFFERENZIABILITÀ E DERIVATA 5 (c Per ogni (x, y dom(f si ha f (x, y : R R, (h, h (yx y h + x y (log xh, y x (log yh + xy x h 44 Matrice jacobiana e derivata Esercizio Determinare la matrice jacobiana e la derivata della seguente funzione: f : R R 3, (x, y (x sin y, e xy, Arctg(x + y Risoluzione Per ogni (x, y R si ha sin y xy cos y f (x, y = ye xy xe xy x +(x +y +(x +y e f (x, y : R R 3, (h, k ((sin y h + xy(cos y k, ye xy h + xe xy xh k k, +(x +y + +(x +y Esercizio Sia f : R R, (x, y (e xy, x + y ; dire se f è differenziabile in (, ; in caso affermativo, determinare la derivata di f in (,, esprimendola nella forma T : V W, h T {h} Risoluzione Per ogni (x, y R si ha f x (x, y = (yexy,, f y (x, y = (xexy, ; quindi f è di classe C ; quindi f è differenziabile; in particolare f è differenziabile in (, Si ha quindi 3 Esercizio Sia ( f e e (, = ; f (, : R R, (h, k (e h + e k, h + k f : R R 3, (x, y (e x+y, sin x, cos y ; dire se f è differenziabile; in caso affermativo, per ogni (x, y R determinare la derivata di f in (x, y, esprimendola nella forma T : V W, h T {h}

22 6 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE Risoluzione Poichè f è di classe C, f è differenziabile Per ogni (x, y R si ha quindi si ha f (x, y = ex+y e x+y cos x sin y ; f (x, y : R R 3, (h, k (e x+y h + e x+y k, (cos xh, ( sin yk 4 Esercizio Sia f : R 3 R, (x, y, z (x y, e x y+z ; determinare la derivata di f in (,,, esprimendola nella forma T : V W, h T {h} Risoluzione Per ogni (x, y, z R 3 si ha f x (x, y, z = (xy,, ex y+z f y (x, y, z = (x, e x y+z ; f z (x, y, z = (, zex y+z Quindi si ha ( f 4 (,, = quindi ; f (,, : R 3 R, (h, h, h 3 (4h + h, h h + h Derivata della funzione composta Esercizio Sia g : R R differenziabile; sia f : R R, (x, y g(x e y, xy ; esprimere f f x (x, y e y (x, y attraverso le derivate parziali di g Risoluzione Per ogni (x, y R si ha f x (x, y = D g(x e y, xyxe y + D g(x e y, xyy = xe y D g(x e y, xy + yd g(x e y, xy; f y (x, y = D g(x e y, xyx ye y + D g(x e y, xyx = x ye y D g(x e y, xy + xd g(x e y, xy

23 44 DIFFERENZIABILITÀ E DERIVATA 7 Esercizio Sia g : R R differenziabile; sia f : R R, (x, y g(sin x + cos y, sin x cos y ; esprimere f f x (x, y e y (x, y attraverso le derivate parziali, D g, D g di g Risoluzione Per ogni (x, y R si ha f x (x, y = D g(sin x + cos y, sin x cos y cos x + D g(sin x + cos y, sin x cos y cos x; f y (x, y = D g(sin x + cos y, sin x cos y( sin y + D g(sin x + cos y, sin x cos y sin y = D g(sin x + cos y, sin x cos y sin y + D g(sin x + cos y, sin x cos y sin y 3 Esercizio Sia e f : R R 3, (x, y (e y, sin x, sin(x y g : R 3 R, (x, y, z (z sin x cos y, e x y+z determinare la derivata (g f (, esprimendolo nella forma T : V W, h T {h} Risoluzione Per ogni (x, y R si ha e y f (x, y = cos x, cos(x y xy cos(x y yx quindi f (, = Per ogni (x, y, z R 3 si ha ( g z (x, y, z = cos x cos y z sin x sin y z sin x cos y e x y+z e x y+z e x y+z si ha f(, = (,, ; quindi si ha g (,, = ( e e e, Si ha g (,, f (, = ( e e e ( = e e Quindi si ha (g f (, : R R, (h, k (, eh + ek

24 8 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE 444 Gradiente e differenziale Esercizio Sia f la funzione (reale, di variabili reali definita naturalmente da (a determinare il dominio di f; f(x, y = (sin x e y ; (b determinare il gradiente di f in un punto generico del dominio; (c determinare la trasformazione lineare differenziale di f in un punto generico del dominio, esprimendola nella forma T : V W, h T {h} (d esprimere il differenziale come combinazione lineare delle forme lineari dx i Risoluzione (a Si ha dom(f = R (b Per ogni (x, y R si ha f x (x, y = x(cos x e y, f y (x, y = (sin x e y (c Per ogni (x, y R si ha grad f(x, y = (x(cos x e y, (sin x e y df(x, y : R R, (h, h x(cos x e y h (sin x e y h (d Si ha df(x, y = x(cos x e y dx (sin x e y dy Esercizio Sia f la funzione (reale, di variabili reali definita naturalmente da f(x, y = (x + y sin x+sin y ; (a determinare il dominio naturale di f; (b determinare il gradiente di f in un punto generico del dominio; (c determinare la trasformazione lineare differenziale di f in un punto generico del dominio, esprimendola nella forma T : V W, h T {h} (d esprimere il differenziale come combinazione lineare delle forme lineari dx i Risoluzione

25 44 DIFFERENZIABILITÀ E DERIVATA 9 (a Si ha (b Per ogni (x, y dom(f si ha dom(f = {(x, y R ; x + y > } f(x, y = e (sinx+sin y log(x+y Per ogni (x, y dom(f si ha( quindi f x (x, y = e(sinx+sin y log(x+y cos x log(x + y + ( (x + y sinx+sin y cos x log(x + y + ; ( f y (x, y = e(sinx+sin y log(x+y (x + y sinx+sin y ( cos y log(x + y + grad f(x, y = sin x+sin y x+y cos y log(x + y + sin x+sin y x+y ((x + y sinx+sin y ( cos x log(x + y + (x + y sinx+sin y ( cos y log(x + y + (c Per ogni (x, y dom(f si ha (d Si ha sin x+sin y x+y = sin x+sin y x+y = sin x + sin y x + y df(x, y : R R, (h, h (x + y sinx+sin y ( cos x log(x + y + (x + y sinx+sin y ( cos y log(x + y + df(x, y = (x + y sinx+sin y ( cos x log(x + y + sin x + sin y x + y sin x + sin y, x + y h + sin x + sin y h x + y sin x + sin y dx+ x + y ( (x + y sinx+sin y sin x + sin y cos y log(x + y + dy x + y 3 Esercizio Determinare il differenziale della funzione: f : R 4 R, (x, y, z, t xyzt + x + y + z + t nel punto (,,,, esprimendolo nella forma T : V W, h T {h} Risoluzione Per ogni (x, y, z, t R 4 si ha grad f(x, y, z = (yzt +, xzt +, xyt +, xyz + ; quindi si ha grad f(,,, = (,,, ; quindi si ha df(,,, : R 4 R, (h, h, h 3, h 4 h + h + h 3 + h 4

26 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE 4 Esercizio Sia f : R 3 R, (x, y, z z log( + x + y ; (a determinare il gradiente di f in un punto (x, y, z del dominio; (b determinare il differenziale di f in un punto (x, y, z del dominio, esprimendolo nella forma T : V W, h T {h} ; (c esprimere il differenziale come combinazione lineare delle forme differenziali (dx, dy, dz Risoluzione (a Per ogni (x, y, z R 3 si ha ( xz grad f(x, y, z = + x + y, yz + x + y, log( + x + y (b Per ogni (x, y, z R 3 si ha (c Si ha (h, h, h 3 df(x, y, z = 45 Derivate direzionali 45 Derivate direzionali Esercizio Sia determinare la derivata direzionale df(x, y, z : R 3 R, xz + x + y h yz + + x + y h + log( + x + y h 3 xz + x + y dx + yz + x + y dy + log( + x + y dz f : R R, (x, y x y ; D (, f(, Risoluzione La funzione f è di classe C ; quindi è differenziabile D (, f(, = f (, (, = df(, (,

27 45 DERIVATE DIREZIONALI Per ogni (x, y R si ha f x (x, y = xy, f y (x, y = x grad f(x, y = (xy, x grad f(, = (, df(, : R R, (h, h h + h D (, f(, = f (, (, = + = 3 Esercizio Sia determinare la derivata direzionale f : R R, (x, y cos(xy ; D ( 3, f(, Risoluzione La funzione f è di classe C ; quindi è differenziabile Per ogni (xy R si ha f x (x, y == sin(xyy = y sin(xy, (x, y == sin(xyx = x sin(xy f y Quindi grad f(x, y = ( y sin(xy, x sin(xy Quindi Quindi grad f(, = ( sin, sin df(, : R R, (h, h (sin h (sin h 3 Esercizio Sia D ( 3, f(, = df(, ( 3, = (sin sin ( 3 f : R 3 {(,, } R, (x, y, z sia (x, y, z dom(f; determinare: 3 (sin ( = x + y + z ;

28 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE (a df(x, y, z; (b grad f(x, y, z ; (c la direzione (d la derivata direzionale e(x, y, z = grad f(x, y, z grad f(x, y, z ; D e(x,y,z f(x, y, z Risoluzione (a Si ha f x (x, y, z = x x +y +z = x, x +y +z (x +y +z 3 f y (x, y, z = y x +y +z = y, x +y +z (x +y +z 3 f z (x, y, z = z x +y +z = z x +y +z (x +y +z 3 grad f(x, y, z = ( x y z,, (x + y + z 3 (x + y + z 3 (x + y + z 3 df(x, y, z : R 3 R, (h, h, h 3 ( x y z h (x + y + z 3 h (x + y + z 3 h (x + y + z 3 3 (b Si ha x grad f(x, y, z = (x + y + z 3 + y (x + y + z 3 + z (x + y + z 3 = x + y + z (x + y + z 3 = (x + y + z = x + y + z (c Si ha ( grad f(x, y, z grad f(x, y, z = (x + y + z x y z,, = (x + y + z 3 (x + y + z 3 (x + y + z 3 ( x x + y + z, y x + y + z, z x + y + z

29 46 DIFFEOMORFISMO 3 ( x e(x, y, z = x + y + z, y x + y + z, z x + y + z (d Si ha D e(x,y,z f(x, y, z = df(x, y, z(e(x, y, z = x x ( (x + y + z 3 x + y + z y y ( (x + y + z 3 x + y + z 46 Diffeomorfismo z z ( (x + y + z 3 x + y + z = x (x + y + z + y z (x + y + z (x + y + z = x + y + z (x + y + z = x + y + z 46 Diffeomorfismo e derivata della funzione inversa Esercizio Sia f : R R, (x, y (x xy, x + y 3 ; (a determinare la matrice jacobiana di f nel punto (, ; (b determinare la derivata di f nel punto (, esprimendola nella forma φ : V W, h T {h} ; (c dire se esiste un intorno aperto U di (, tale che è un diffeomorfismo; U f(u, u f(u (d in caso affermativo, indicato ancora con f tale diffeomorfismo, si determini f(, e la trasformazione lineare (f ( f(, esprimendola nella forma Risoluzione φ : V W, k T {k}

30 4 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE (a Per ogni (x, y R si ha f x (x, y = (x y,, f y (x, y = ( x, 3y (b Si ha f (, = ( 3 f (, : R R, (h, h (h h, h + 3h (c Si ha 3 = 3 + = 4 ; quindi esiste un intorno aperto U di (, tale che U f(u, (x, y f(x, y è un diffeomorfismo (d Indichiamo ancora con f tale diffeomorfismo Si ha f(, = (, Si ha ( ( ( 3 3 (f (, = = 3 4 = 4 4 Esercizio Sia (f (, : R R, (k, k 4 f : R R, (x, y (x + y, x y 3 ; 4 ( 3 4 k + 4 k, 4 k + 4 k (a determinare la trasformazione lineare f (, esprimendola nella forma T : V W, h T {h}, esplicitando U, V e T {h} (b dire se esiste un intorno aperto U di (, tale che è un diffeomorfismo; U f(u, u f(u (c in caso affermativo, indicato ancora con f tale diffeomorfismo, si determini la trasformazione lineare (f ( f(, esprimendola nella forma sopra descritta Risoluzione (a Per ogni (x, y R si ha f x (x, y = (x, xy3, f y (x, y = (y, 3x y f (x, y = ( x y xy 3 3x 3 y ;

31 46 DIFFEOMORFISMO 5 Quindi si ha f (, = ( 3 f (, : R R, (h, h (h + h, h + 3h (b Si ha 3 = ; quindi esiste un intorno aperto U di (, tale che U f(u, (x, y f(x, y è un diffeomorfismo (c Indichiamo ancora con f tale diffeomorfismo Si ha f(, = (, Si ha ( ( ( 3 3 (f (, = = 3 = ( 3 (f (, : R R, (k, k k k, k + k 3 Esercizio Sia f : R R, (x, y (cos(xy, cos(xy ; (a determinare la trasformazione lineare f ( π, esprimendola nella forma T : V W, h T {h}, esplicitando U, V e T {h} (b dire se esiste un intorno aperto U di ( π, tale che è un diffeomorfismo; U f(u, u f(u (c in caso affermativo, indicato ancora con f tale diffeomorfismo, si determini f( π, la trasformazione lineare (f ( f( π, esprimendola nella forma sopra descritta Risoluzione (a Per ogni (x, y R si ha f x (x, y = ( sin(xyy, sin(xy y = ( y sin(xyy, y sin(xy y, f y (x, y = ( sin(xyx, sin(xy xy = ( x sin(xy, xy sin(xy ( f y sin(xy x sin(xy (x, y = y sin(xy xy sin(xy ;

32 6 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE Quindi si ha f ( π (, = π π f ( π, : R R, (h, h ( h pi h, h πh (b Si ha π π = π π = π ; quindi esiste un intorno aperto U di ( π, tale che U f(u, (x, y f(x, y è un diffeomorfismo (c Indichiamo ancora con f tale diffeomorfismo Si ha f( π, = (, Si ha ( (f π ( ( (, = π = π π π = π π ( (f (, : R R, (k, k k + k, π k π k 4 Esercizio Sia f : R 3 R 3, (x, y, z (x + y + z, x + y + z, x ; (a determinare la trasformazione lineare f (, 5, esprimendola nella forma T : V W, h T {h}, esplicitando U, V e T {h} (b dire se esiste un intorno aperto U di (, 5, tale che è un diffeomorfismo; U f(u, u f(u (c in caso affermativo, indicato ancora con f tale diffeomorfismo, si determini la trasformazione lineare (f ( f(, 5, esprimendola nella forma sopra descritta Risoluzione (a Per ogni (x, y, z R 3 si ha f x (x, y, z = (x,,, f (x, y, z = (y,,, y f z (x, y, z = (z,, f (x, y, z = x y z ;

33 47 ESTREMANTI RELATIVI 7 quindi f (, 5, = Quindi si ha f (, 5, : R 3 R 3, (h, h, h 3 (h + h, h + h + h 3, h (b Si ha = = ; quindi esiste un intorno aperto U di (, 5, tale che è un diffeomorfismo U f(u, (x, y, z f(x, y, z (c Indichiamo ancora con f tale diffeomorfismo Si ha f(, 5, = (6, 6, Si ha (f (6, 6, = = = (f (6, 6, : R 3 R 3, (k, k, k 3 ( k 3, k 5 k 3, k + k 4 5 k 3 47 Estremanti relativi 47 Estremanti relativi in R Esercizio Determinare e classificare gli estremanti relativi della seguente funzione: f : R R, (x, y x 4 + y 4 xy Risoluzione Per ogni (x, y R si ha f x (x, y = 4x3 y f y (x, y = 4y3 x

34 8 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE I punti critici di f sono le soluzioni del sistema { 4x 3 y = 4y 3 ; x = il { sistema equivale a { { y = 4x 3 y = 4x 3 y = 4x 3 4(4x 3 3 x = 8 x 9 x = x( 8 x 8 = Si ha x = e y =, oppure x = e y =, oppure x = e y = Per ogni (x, y R si ha f x (x, y = x f y (x, y = y f x y (x, y = Si ha H(f(, = ( ; quindi si ha det(h(f(, = < ; quindi (, non è un estremante relativo Si ha si ha 3 3 H(f(, = ( 3 3 ; = 8 > e 3 > ; quindi d f(, è strettamente positivo; quindi (, è un punto di minimo relativo Si ha si ha 3 3 H(f(, = ( 3 3 ; = 8 > e 3 > ; quindi d f(, è strettamente positivo; quindi (, è un punto di minimo relativo Esercizio Determinare e classificare gli estremanti relativi della seguente funzione: f : R R, (x, y x 3 y + xy y Risoluzione Per ogni (x, y R si ha f x (x, y = 3x + y (x, y = y + x f y

35 47 ESTREMANTI RELATIVI 9 I punti critici di f sono le soluzioni del sistema { 3x + y = y + x = ; { il sistema equivale a { y = 3x y = 3x ( 3x + x = 6x + x = Si ha x = ± +4 = ±5 ; quindi x = 3 o x = ; quindi (x, y = ( 3, 3 o (x, y = (, 3 4 Per ogni (x, y R si ha f x (x, y = 6x f y (x, y = f x y (x, y = Si ha H(f( 3, 3 = ( ; quindi si ha det(h(f( 3, 3 = 5 < ; quindi ( 3, 3 non è un estremante relativo Si ha si ha 3 H(f(, 3 4 = ( 3 ; = 5 > e 3 < ; quindi d f(, è strettamente negativo; quindi (, 3 4 è un punto di massimo relativo 3 Esercizio Determinare e classificare gli estremanti relativi della seguente funzione: f : R R, (x, y x y + xy + 3 Risoluzione Per ogni (x, y R si ha f x (x, y = xy + y f y (x, y = x + x I punti critici di f sono le soluzioni del sistema { xy + y = x ; + x = { il sistema equivale a { x(x + = x = o x = xy + y =, cioè a xy + y =

36 3 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE Se x = si ha y = ; si trova (, Se x = si ha y + y =, cioè y =, cioè y = ; si trova (, I punti critici di f sono quindi (, e (, Per ogni (x, y R si ha f x (x, y = y f y (x, y = f x y (x, y = x + H(f(x, y = ( y x + x + Si ha si ha H(f(, = ( = < ]; ; ; quindi (, non è un estremante relativo Si ha H(f(, = ( ; si ha = < ]; ; quindi (, non è un estremante relativo Quindi la funzione f non ammette estremanti relativi 4 Esercizio Sia f la funzione (reale, di variabili reali definita naturalmente da f(x, y = x log(x y ; (a determinare il dominio di f; (b determinare e classificare gli estremanti relativi di f Risoluzione (a Si ha dom(f = {(x, y R ; x y > }

37 47 ESTREMANTI RELATIVI 3 (b Per ogni (x, y dom(f si ha f x (x, y = log(x y + x x y f x y (x, y = x y I punti critici di f sono le soluzioni del sistema { log(x y + x x y = x x y = Dalla seconda equazione si ricava x = ; si ha quindi log(x y = ; quindi x y = ; quindi, essendo x =, si ha y = La funzione f ammette quindi un solo punto critico, dato da (, Per ogni (x, y dom(f si ha f x y + x y x (x y = x y y (x y x (x, y = f y (x, y = x( (x y = x f x y x x y (x, y = (x y = y Si ha (x y (x y H(f(, = si ha ( = < ]; ; ; quindi (, non è un estremante relativo Quindi la funzione f non ammette estremanti relativi 47 Estremanti relativi in R 3 Esercizio Determinare e classificare gli estremanti relativi della seguente funzione: f : R 3 R, (x, y, z x + y + z xy xz Risoluzione Per ogni (x, y, z R si ha f x (x, y, z = x y z f y (x, y, z = y x f z (x, y, z = z x I punti critici di f sono le soluzioni del sistema x y z = y x = z x = il sistema equivale a y = x z = x x x x = x = y = z = ;

38 3 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE Si ha un unico punto critico dato da (,, Per ogni (x, y, z R 3 si ha f x (x, y, z = f (x, y, z = x y f x z f (x, y, z = y (x, y, z = f (x, y, z = y z f z (x, y, z = Si ha H(f(,, = Si ha = + = + 3 = 4 >, = 3 >, > ; quindi d f(,, è strettamente positivo; quindi (,, è un punto di minimo relativo Esercizio Determinare e classificare gli estremanti relativi della seguente funzione f : R 3 R, (x, y, z x y xz + z Risoluzione Per ogni (x, y, z R si ha f x (x, y, z = x z f y (x, y, z = y f z (x, y, z = x + I punti critici di f sono le soluzioni del sistema il sistema equivale a x = y = z = x z = y = x + = Si ha un unico punto critico dato da (,, ;

39 47 ESTREMANTI RELATIVI 33 Per ogni (x, y, z R 3 si ha f x (x, y, z = f (x, y, z = x y f x z f (x, y, z = y (x, y, z = f (x, y, z = y z f z (x, y, z = Si ha H(f(,, = Si ha = 4 < ; quindi d f(,, non è nè semidefinito positivo nè semidefinito negativo; quindi (,, non è un estremante relativo Quindi la funzione non ammette estremanti relativi

40 34 CAPITOLO 4 CALCOLO DIFFERENZIALE

41 Capitolo 5 Forme differenziali lineari 5 Forme differenziali esatte 5 Forme differenziali esatte in R Esercizio Dire se la seguente forma differenziale è esatta e, in caso affermativo determinarne l insieme delle primitive: xy dx + (x dy Risoluzione Sia ω la forma differenziale Il dominio di ω è R Posto f : R R, (x, y x y y, per ogni (x, y R si ha f f (x, y = xy e x y (x, y = x ; quindi f è una primitiva di ω Quindi ω è esatta L insieme delle primitive di ω è {f + c; c R} Esercizio Dire se la seguente forma differenziale è esatta e, in caso affermativo, determinarne l insieme delle primitive: x y dx + (y + x dy Risoluzione Sia ω la forma differenziale Il dominio di ω è R Si ha y (x y = x e x (y + x = Quindi ω non è chiusa Quindi ω non è esatta 35

42 36 CAPITOLO 5 FORME DIFFERENZIALI LINEARI 3 Esercizio Dire se la seguente forma differenziale è esatta e, in caso affermativo determinarne l insieme delle primitive: y dx x y dy Risoluzione Sia ω la forma differenziale Il dominio di ω è l insieme A = {(x, y R ; y } Posto f : A R, (x, y x y, per ogni (x, y A si ha f x (x, y = y e f y (x, y = x y ; quindi f è una primitiva di ω Quindi ω è esatta L insieme delle primitive di ω è dato dall insieme delle funzioni della forma f + c, dove c è una funzione costante su ogni componente connessa di A, cioè su {(x, y R ; y > } e su {(x, y R ; y < } 4 Esercizio Dire se la seguente forma differenziale è esatta e, in caso affermativo, determinarne l insieme delle primitive: y + x y dx + x + x y dy Risoluzione Sia ω la forma differenziale Il dominio di ω è R Posto per ogni (x, y R si ha f x (x, y = +(xy y = e f y (x, y = +(xy x = f : R R, (x, y Arctg(xy, y +x y x +x y ; quindi f è una primitiva di ω Quindi ω è esatta L insieme delle primitive di ω è {f + c; c R} 5 Esercizio Dire se la seguente forma differenziale è esatta e, in caso affermativo, determinarne l insieme delle primitive: x + x y dx + y + x y dy Risoluzione Sia ω la forma differenziale Il dominio di ω è R Si ha y e x +x y = x x y y (+x y = x3 y xy (+x y x +x y = y (+x y = xy3 (+x y Quindi ω non è chiusa Quindi ω non è esatta

43 5 FORME DIFFERENZIALI ESATTE 37 5 Forme differenziali esatte in R 3 Esercizio Dire se la seguente forma differenziale è esatta e, in caso affermativo determinarne l insieme delle primitive: ydx + xdy + zdz Risoluzione Sia ω la forma differenziale Il dominio di ω è R 3 Posto f : R 3 R, (x, y, z xy + z, per ogni (x, y, z R3 si ha f f (x, y, z = y, x f (x, y, z = x, y quindi f è una primitiva di ω Quindi ω è esatta L insieme delle primitive di ω è {f + c; c R} (x, y, z = z ; z Esercizio Dire se la seguente forma differenziale è esatta e, in caso affermativo, determinarne l insieme delle primitive: xdx + xdy + dz Risoluzione Sia ω la forma differenziale Il dominio di ω è R 3 Si ha f (x = e y x (x = Quindi ω non è chiusa Quindi ω non è esatta 3 Esercizio Dire se la seguente forma differenziale è esatta e, in caso affermativo, determinarne l insieme delle primitive: ye xy dx + xe xy dy + dz Risoluzione Sia ω la forma differenziale Il dominio di ω è R 3 Posto per ogni (x, y, z R 3 si ha f : R 3 R, (x, y, z e xy + z, f x (x, y, z = yexy, f y (x, y, z = xexy, f (x, y, z = ; z quindi f è una primitiva di ω Quindi ω è esatta L insieme delle primitive di ω è {f + c; c R} 4 Esercizio Dire se la seguente forma differenziale è esatta e, in caso affermativo, determinarne l insieme delle primitive: xe xy dx + ye xy dy + dz

44 38 CAPITOLO 5 FORME DIFFERENZIALI LINEARI Risoluzione Sia ω la forma differenziale Il dominio di ω è R 3 Si ha y (xexy = x e xy e f x (yexy = y e xy Quindi ω non è chiusa Quindi ω non è esatta 53 Forme differenziali esatte in R N Esercizio Dire se la seguente forma differenziale è esatta e, in caso affermativo determinarne l insieme delle primitive: ydx + xdy + dz + tdt Risoluzione Sia ω la forma differenziale Il dominio di ω è R 4 Posto f : R 4 R, (x, y, z, t xy + z + t, per ogni (x, y, z, t R 4 si ha f x (x, y, z, t = y, f y (x, y, z, t = x, f z (x, y, z, t =, f t quindi f è una primitiva di ω Quindi ω è esatta L insieme delle primitive di ω è {f + c; c R} 5 Campi di vettori esatti 5 Campi di vettori esatti Esercizio Dire se il seguente campo di vettori ammette potenziale: ( F (x, y, z = yz, x zy, x yz ; in caso affermativo, determinarne l insieme delle primitive (x, y, z, t = t ; Risoluzione Il dominio di F è l insieme A = {(x, y, z R 3 ; y e z } Posto f : A R, (x, y, z x yz, per ogni (x, y, z A si ha f (x, y, z = x yz, f y (x, y, z = x zy, x (x, y, z = z yz, cioè grad f(x, y, z = F (x, y, z; quindi f è una primitiva di F esatto Quindi F è L insieme delle primitive di F è dato dall insieme delle funzioni della forma f + c, dove c è una funzione costante su ogni componente connessa di A, cioè su {(x, y, z R ; y >, z > }, su {(x, y, z R ; y >, z < }, su {(x, y, z R ; y <, z > } e su {(x, y, z R ; y <, z < }

45 53 INTEGRALE DI FORME DIFFERENZIALI SU TRAIETTORIE Integrale di forme differenziali su traiettorie 53 Integrale di forme differenziali su traiettorie Esercizio Calcolare il seguente integrale di forma differenziale su traiettoria xydx + xydy, φ dove φ : [, π ] R, t (cos t, sin t Risoluzione La funzione φ si scrive { x = cos t y = sin t, x [, π ] Si ha φ xydx + xydy = π (cos t sin t( sin t + cos t sin t cos t dt = π ( sin t cos t + cos t sin t dt = π ( sin t cos t cos t( sin t dt = [ 3 sin3 t 3 cos3 t ] pi [ = 3 sin 3 t + cos 3 t ] pi = 3 ( =

46 4 CAPITOLO 5 FORME DIFFERENZIALI LINEARI

47 Capitolo 6 Equazioni implicite 6 Problema con equazione implicita 6 Problema con equazione implicita in R Esercizio Dire se il seguente problema implicito di incognita y(x ammette in un intorno di una ed una sola soluzione φ: { sin(xy + x + y + x + y = ; y( = in caso affermativo determinare φ ( Risoluzione Sia f : R R, (x, y sin(xy + x + y + x + y Per ogni (x, y R si ha (x, y = x cos(xy + + y f y Poichè f(, = e f y (, =, esiste I intervallo aperto contenente tale che su I il problema implicito assegnato ammette una ed una sola soluzione φ Per ogni x I si ha sin(xφ(x + x + φ(x + x + (φ(x = ; quindi, derivando, per ogni x I si ha cos(xφ(x(φ(x + xφ (x + + φ (x + x + φ(xφ (x = ; per x = si ha + φ ( = ; quindi φ ( = Esercizio Assegnato il problema con equazione implicita di funzione incognita y(x { x 4 + y 4 + e x e y =, y( = 4

48 4 CAPITOLO 6 EQUAZIONI IMPLICITE (a provare che esiste un intervallo aperto su cui il problema ammette una ed una sola soluzione, (b chiamata φ tale soluzione, calcolare φ ( e φ ( Risoluzione (a Sia f : R R, (x, y x 4 + y 4 + e x e y Si ha f(, = + + = Per ogni (x, y R si ha f y (x, y = 4y3 e y f y (, = Per il teorema di Dini, esiste I intervallo aperto contenente tale che su I il problema implicito assegnato ammette una ed una sola soluzione φ (b Per ogni x I si ha x 4 + (φ(x 4 + e x e φ(x = ; quindi, derivando, per ogni x I si ha 4x 3 + 4(φ(x 3 + e x + e φ(x φ (x = ; per x =, essendo φ( =, si ha + + e + e 9 φ ( = ; quindi φ ( = ; quindi φ ( = Per ogni x I si ha x +(φ(x (φ (x +4(φ(x3φ (x+e x e φ(x (φ (x e φ(x φ (x = ; per x =, essendo φ( =, φ ( = si ha + + φ ( = ; quindi φ ( = 6 Problema con una equazione implicita in R 3 Esercizio Assegnato il problema con equazione implicita di funzione incognita z(x, y { x + yz 3 z =, z(, = (a provare che esiste un aperto connesso su cui il problema ammette una ed una sola soluzione, (b chiamata φ tale soluzione, calcolare φ φ y (, Risoluzione (a Sia f : R 3 R, (x, y, z x + yz 3 z Si ha f(,, = Si ha x φ (,, y (,, φ x (,, φ x y (,,

49 6 PROBLEMA CON EQUAZIONE IMPLICITA 43 f z (x, y, z = 3yz ; quindi si ha f z (,, = ; per il teorema di Dini, esiste un aperto connesso U su cui il problema ammette una ed una sola soluzione φ (b Per ogni (x, y U si ha x + y(φ(x, y 3 φ(x, y x + 3y(φ(x, y φ φ x (x, y x (x, y = ; quindi per (x, y = (, si ha φ x (, = ; quindi (, = φ x Per ogni (x, y U si ha (φ(x, y 3 + 3y(φ(x, y φ φ y (x, y y (x, y = ; quindi per (x, y = (, si ha φ (, = ; y quindi (, = φ y Per ogni (x, y U si ha ( + 6yφ(x, y φ x (x, y + 3y(φ(x, y φ x (x, y φ x (x, y = ; quindi per (x, y = (, si ha φ x (, = ; quindi φ x (, = Per ogni (x, y U si ha 3(φ(x, y φ φ φ x (x, y + 6yφ(x, y x (x, y y (x, y + 3y(φ(x, y φ x y (x, y (x, y = ; quindi per (x, y = (, si ha φ x y (, = ; quindi (, = φ x y φ x y Per ogni (x, y U si ha ( 3(φ(x, y φ φ y (x, y + 3(φ(x, y y (x, y + 6yφ(x, y φ y (x, y + 3y(φ(x, y φ y (x, y φ y (x, y = ; quindi per (x, y = (, si ha φ y (, = ; quindi φ y (, =

50 44 CAPITOLO 6 EQUAZIONI IMPLICITE 63 Problema con un sistema di due equazioni implicite in R 3 Esercizio Assegnato il problema con equazione implicita di funzione incognita (y(x, z(x x + y xy z = x 3 y + xz y =, y( = z( = (a provare che esiste un intervallo aperto su cui il problema ammette una ed una sola soluzione, (b chiamata φ tale soluzione, calcolare φ ( e φ ( Risoluzione (a Sia f : R 3 R, (x, y, z (x + y xy z, x 3 y + xz y Si ha f(,, = ((, Si ha f y x (y,z (x, y, z = ; y x quindi si ha ( f (y,z (,, = ; si ha = ; per il teorema di Dini, esiste un intervallo aperto I su cui il problema ammette una ed una sola soluzione φ (b Per ogni x I si ha { x + (φ (x xφ (x φ (x = x 3 (φ (x + xφ (x φ (x = ; quindi si ha { x + φ (xφ (x φ (xxφ (x φ (x = 3x φ (xφ (x + φ (x + xφ (x φ (x = ; quindi per x = si ha { φ ( = φ ( = ; quindi si ha φ ( = e φ ( =

51 Capitolo 7 Sottovarietà differenziali di R N 7 Sottovarietà differenziali di R N 7 Sottovarietà differenziale; spazio tangente, spazio normale, varietà lineare tangente, varietà lineare normale Esercizio Sia V = {(x, y, z R 3 ; y sin(x + z x cos y + π = } ; (a dimostrare che V è una sottovarietà di R 3 differenziale di dimensione ; (b dimostrare che (π,, π V ; (c determinare lo spazio normale, la retta normale, lo spazio tangente, il piano tangente a V in (π,, π, esprimendoli attraverso le equazioni parametriche o attraverso le equazioni cartesiane; (d determinare una base dello spazio tangente a V in (π,, π Risoluzione (a Sia g : R 3 R, (x, y, z y sin(x + z x cos y + π Dimostriamo che V è la sottovarietà differenziale di R 3 di dimensione di equazione cartesiana g(x, y, z = Si ha g di classe C e Si ha g(π,, = ; quindi V V = (x, y, z R 3 ; g(x, y, z = } 45

52 46 CAPITOLO 7 SOTTOVARIETÀ DIFFERENZIALI DI RN Si ha g x (x, y, z = y cos(x + z cos y, g (x, y, z = sin(x + z + x sin y, y g z (x, y, z = y cos(x + z Sia (x, y, z R 3 La matrice jacobiana di g in (x, y, z è g (x, y, z = (y cos(x + z cos y sin(x + z + x sin y y cos(x + z g (x, y, z = ( è la matrice 3 nulla se e solo se y cos(x + z cos y = sin(x + z + x sin y = y cos(x + z = Si ha rangog (x, y, z = { per g (x, y, z = per g (x, y, x Per provare che V è la sottovarietà differenziale di R 3 di dimensione di equazione cartesiana g(x, y, z = è quindi sufficiente provare che per ogni (x, y, z V si ha g (x, y, z, cioè che il sistema y cos(x + z cos y = sin(x + z + x sin y = y cos(x + z = y sin(x + z x cos y + π = non ha soluzioni Si ha y cos(x + z = se e solo se y = o cos(x + z = Se y =, dalla prima equazione si ricava = ; ciò è assurdo Supponiamo cos(x + z Dalla prima equazione si ricava cos = ; quindi ( k Z y = π + kπ Essendo cos(x + z =, si ha sin(x + z = ± Supponiamo sin(x + z = ; dalla quarta equazione si ricava quindi π + kπ + π = ; + k + = ; quindi k = 3 ; ciò è assurdo Supponiamo sin(x + z = ; dalla quarta equazione si ricava ( π + kπ( + π = ;

53 7 SOTTOVARIETÀ DIFFERENZIALI DI RN 47 quindi k + = ; quindi k = ; ciò è assurdo Il sistema non ha dunque soluzioni; ciò prova l affermazione (b Si ha g(π,, π = ; quindi (π,, π V (c Per ogni (x, y, z R 3 si ha grad g(x, y, z = (y cos(x + z cos y, sin(x + z + x sin y, y cos(x + z grad g(π,, π = (,, Una base di N (π,, π (V è quindi (,, ; un altra base è (,, Delle equazioni parametriche dello spazio normale sono quindi (x, y, z = t(,,, t R, cioè x = t y = t z =, t R Delle equazioni parametriche della retta normale sono (x, y, z = t(,, + (π,, π, t R, cioè x = t + π y = t z = π, t R Delle equazioni cartesiane dello spazio tangente sono ( (x, y, z (,, =, cioè x + y = Delle equazioni cartesiane del piano tangente sono cioè cioè ( (x, y, z (π,, π (,, =, x π + y =, x + y = π

54 48 CAPITOLO 7 SOTTOVARIETÀ DIFFERENZIALI DI RN (d Una base di N (π,, π (V è (,, I vettori (,, e (,, sono ortogonali a (,, ; quindi appartengono a T (π,, π (V Si ha rango = Quindi I vettori (,, e (,, sono linearmente indipendenti Quindi ((,,, (,, è una base di T (π,, π (V Esercizio Sia V = {(x, y R ; x = y } ; (a dimostrare che V è una sottovarietà di R differenziale di dimensione ; (b dimostrare che (, 3 V ; (c determinare lo spazio normale, la retta normale, lo spazio tangente, la retta tangente a V in (, 3, esprimendoli attraverso le equazioni parametriche o attraverso le equazioni cartesiane; Risoluzione (a Sia g : R R, (x, y x + y Si ha V e per ogni (x, y V si ha rango(g (x, y, z = rango (, y = Quindi V è la sottovarietà differenziale di R di equazioni cartesiane g(x, y = (b Si ha g(, 3 = ; quindi si ha (, 3 V (c Per ogni (x, y R si ha grad g(x, y = (, y; si ha quindi grad g(, 3 = (, 6 Una base dello spazio normale a V in (, 3 è quindi ((, 6 Delle equazioni parametriche dello spazio normale in forma vettoriale sono quindi (x, y = t(, 6, t R ; in forma scalare sono { x = t y = 6t, t R

55 7 SOTTOVARIETÀ DIFFERENZIALI DI RN 49 Delle equazioni parametriche della retta normale in forma vettoriale sono quindi (x, y, z = t(, 6 + (, 3, t R ; in forma scalare sono { x = t + y = 6t + 3, t R Delle equazioni cartesiane dello spazio tangente sono quindi ((x, y (, 6 =, cioè x + 6y = Delle equazioni cartesiane della retta tangente sono quindi ((x, y (, 3 (, 6 =, cioè cioè (x + 6(y 3 =, x + 6y 9 = 3 Esercizio Sia V = {(x, y, z R 3 ; x xy + z =, xz = } ; (a dimostrare che V è una sottovarietà di R 3 differenziale di dimensione ; (b dimostrare che (,, V ; (c determinare lo spazio normale, la retta normale, lo spazio tangente, il piano tangente a V in (,,, esprimendoli attraverso le equazioni parametriche o attraverso le equazioni cartesiane; (d determinare una base dello spazio tangente a V in (,, Risoluzione (a Sia g : R 3 R, (x, y, z (x xy + z, xz Dimostriamo che V è la sottovarietà differenziale di R 3 di dimensione di equazione cartesiana g(x, y, z = Si ha g di classe C e V = (x, y, z R 3 ; g(x, y, z = } Si ha g(,, = (, ; quindi V

56 5 CAPITOLO 7 SOTTOVARIETÀ DIFFERENZIALI DI RN Si ha g x (x, y, z = (xy y, z, g (x, y, z = ( x,, y g z (x, y, z = (z, x Sia (x, y, z R 3 La matrice jacobiana di g in (x, y, z è g (x, y, z = ( x y x z z x Si ha x z x si ha quindi = x ; x z x = se e solo se x = Per x si ha quindi rangog (x, y, z = Per x =, si ha g (x, y, z = ; quindi si ha (x, y, z V ( (x, y, z = inv rangog (x, y, z = Quindi V è la sottovarietà differenziale di R 3 di dimensione di equazione cartesiana g(x, y, z = (b Si ha g(,, = (, ; quindi (,, V (c Per ogni (x, y, z R 3 si ha grad g (x, y, z = (x y, x, z e grad g (x, y, z = (z,, x grad g (,, = (,, e grad g (,, = (,, Una base di N (,, (V è quindi ((,,, (,, Delle equazioni parametriche dello spazio normale sono quindi (x, y, z = u(,, + v(,,, u, v R, cioè x = u + v y = u z = u + v, u, v R

57 7 SOTTOVARIETÀ DIFFERENZIALI DI RN 5 Delle equazioni parametriche del piano normale sono quindi cioè (x, y, z = u(,, + v(,, + (,,, u, v R, x = u + v + y = u + z = u + v +, u, v R Delle equazioni cartesiane dello spazio tangente sono { ( x, y, z, (,, = ( x, y, z, (,, =, cioè { x y + z = x + z =, cioè { x y + z = x + y = Delle equazioni cartesiane della retta tangente sono { ( x, y, z (,,, (,, = ( x, y, z (,,, (,, =, cioè { x (y + (z = x + z =, cioè { x y + z = x + z = (d Una vettore non nullo ortogonale allo spazio tangente è dato da (,, (,,, cioè ( 9,,, = (,, Quindi una base per lo spazio tangente è (,, 4 Esercizio Sia V = {(x, y, z R 3 ; y cos(xz + y =, x y xz = 6} ; (a dimostrare che (,, V ; (b dimostrare che esiste un intorno aperto U di (,, tale che V U è una sottovarietà di R 3 differenziale di dimensione ;

58 5 CAPITOLO 7 SOTTOVARIETÀ DIFFERENZIALI DI RN (c determinare lo spazio normale, la retta normale, lo spazio tangente, il piano tangente a V in (,,, esprimendoli attraverso le equazioni parametriche o attraverso le equazioni cartesiane; (d determinare una base dello spazio tangente a V in (,, Risoluzione (a Si ha cos(( + = cos( + = cos = e ( ( = + 4 = 6 Quindi (,, V (b Sia g : R 3 R, (x, y, z (y cos(xz + y, x y xz 6 Si ha g di classe C e V = (x, y, z R 3 ; g(x, y, z = } Si ha g x (x, y, z = ( yz sin(xz + y, 4xy z, g y (x, y, z = (cos(xz + y y sin(xz + yx, x, g z (x, y, z = ( yz sin(xz + y, xz Sia (x, y, z R 3 La matrice jacobiana di g in (x, y, z è g (x, y, z = ( yz sin(xz + y cos(xz + y y sin(xz + y yx sin(xz + y 4xy z x xz g (,, = ( 8 4 Si ha 4 = 4 La funzione (x, y, z è continua e si ha α : R 3 R, cos(xz + y y sin(xz + y yx sin(xz + y x xz α(,, = 4