Contents. 1. Funzioni di più variabili.

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1 RACCOLTA DI ESERCIZI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II A.A. 03/04 CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA DELL EDILIZIA, INGEGNERIA EDILE-ARCHITETTURA PROF. D. BARTOLUCCI Contents. Funzioni di più variabili.. Integrali multipli. Integrali curvilinei. Formula della divergenza. Formula di Stokes Successioni e serie di funzioni Equazioni differenziali. 7. Funzioni di più variabili. Esercizio.. Sia N = {,, 3,..} l insieme dei numeri naturali. Per i seguenti insiemi: (a) Dare una rappresentazione grafica di A e dire se è chiuso e/o itato. (b) Determinare i punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione di A. (c) Determinare A, A, A. È vero che A = A?. (e) Dire se A è un dominio. Dire se A è un dominio. A = { {(x, y) R : 4 4x + y < 9} {(x, y) R : y x} } n N {(, )} n (..0) A = {(x, y) R : x y < } {(x, y) R : y > x } (..) A = {(x, y) R : x 4 y 4 < } {(x, y) R : y } (..) Esercizio.. Per le seguenti funzioni: (a) Determinare l insieme di definizione A. (b) Dare una rappresentazione grafica di A. x (x + y ) x + y x ( x )( y ) ( log log x + y ( x + y )) + x (..) (..) (..3)

2 Esercizio.3. Per le seguenti funzioni: (a) Studiare continuità, derivabilità, differenziabilità in (x, y) = (0, 0). (b) Dire se, per ν R : ν =, vale la formula del gradiente f (0, 0) =< f(0, 0), ν >. ν x y x 3, (x, y) (0, 0) + y 0, (x, y) = (0, 0). x 3 y 5 x 4, (x, y) (0, 0) + y 3 0, (x, y) = (0, 0). x 4 3 y x, (x, y) (0, 0) + y4 0, (x, y) = (0, 0). xy, (x, y) (0, 0) x 5 + y 0, (x, y) = (0, 0). (.3.) (.3.) (.3.3) (.3.4) Esercizio.4. Per le seguenti funzioni: (a) Dare una rappresentazione grafica dell insieme D indicato. Dire se D è chiuso e/o itato. Dire se esistono max f, min f. D D (b) Determinare il carattere dei punti critici interni studiando la matrice Hessiana. (c) Determinare sup f, inf f e dire se sono max f, min f rispettivamente. D D D D + x + y, D = {(x, y) R : xy } (.4.) e (x +y ), D = {(x, y) R : x + 4y 4} (.4.) x xy + y, D = {(x, y) R : x <, y } (.4.3) e x y + y4 4, D = {(x, y) R : x, x y x } (.4.4) e x +y, D = {(x, y) R : x 4 y 4, y, x > } (.4.5) e x+y, D = {(x, y) R : y x, 0 x 8} {(x, y) R : x 3 + y 3, x > 0} (.4.6) log (4 + x y ), D = {(x, y) R : y+x, xy 0} {(x, y) R : x 3 +y 3, xy 0} (.4.7)

3 3 Esercizio.5. Sia arctan(x y ), (x, y) D = {(x, y) R : x 6 + y 6 } (.5.) (a) Dare una rappresentazione grafica dell insieme D. Dire se D è chiuso e/o itato. Dire se esistono max f, min f. D D (b) Determinare sup f, inf f e dire se sono max f, min f rispettivamente. D D D D. Integrali multipli. Integrali curvilinei. Formula della divergenza. Formula di Stokes. Esercizio.. Sia D = {(y, z) R : z + 4y 4, z + y, y 0}. Determinare il volume del solido ottenuto ruotando D di un angolo π intorno all asse y. Esercizio.. Sia D = {(x, z) R : x + z 4, x z 3x} {(x, z) R : 0 z x, x }. Determinare il volume e il baricentro del solido ottenuto ruotando D di un angolo π intorno all asse z. Esercizio.3. Sia E = {(x, y, z) R 3 : 4 x + y + z 9, x + y 3z 9(x + y ), z 0}. Calcolare volume e baricentro di E. Esercizio.4. Sia Calcolare E = {(x, y, z) R 3 : z x + y, z + x, z 0}. z 3 dxdydz. E Esercizio.5. Siano E = {(x, y, z) R 3 : x + y + z, 0 y x, z 0}, e F (x, y, z) = (x 3 + x 6, y 3, z 3 ). Calcolare il flusso di F uscente da E. Esercizio.6. Sia E = {(x, y, z) R 3 : x + (y ) + z 4, (z ) + x, y }, e F (x, y, z) = (3x + h(y), 3y + g(z), 3z + h(x)), h C (R), g C (R). Calcolare il flusso di F uscente da E.

4 4 Esercizio.7. Sia Calcolare S = {(x, y, z) R 3 : 4z + x + y = 4} {(x, y, z) R 3 : y + z x }. S 4 y 4z z da 3z + Esercizio.8. Sia Calcolare l area di E. E = {(x, y, z) R 3 : 0 x + y min{ + z, z}}. Esercizio.9. Sia D il dominio piano itato la cui frontiera è il sostegno della curva di rappresentazione parametrica (in coordinate polari): ρ(t) = (sin(t)), t [0, π ]. (a) Calcolare il volume del solido ottenuto ruotando D di un angolo π 4 intorno a uno degli assi. (b) Sia S la superficie ottenuta ruotando D di π intorno a uno degli assi. Dette (x, z) D e (x, y, z) S le coordinate cartesiane in D e S, calcolare 6 5 da. x + y + z S Esercizio.0. Sia D = {(x, y) R : x y, xy, x > 0, y > 0}. (a) Calcolare l area di D, m(d). (b) Determinare una parametrizzazione γ chiusa e semplice di D con orientamento positivo, γ = + D. (c) Verificare la formula m(d) = xdy. + D Esercizio.. Siano γ = {((3 + θ) cos(θ), (3 + θ) sin(θ)), θ [0, π ]} γ = {(( + sin(t)) cos(t), sin(t)), t [0, π ]} (a) Dimostrare che γ e γ sono semplici. (b) Dimostrare che γ γ =. (c) Sia D il dominio itato compreso tra i sostegni di γ e γ e i semiassi positivi. Calcolare l area di D. Esercizio.. Sia ω(x, y) = arcsin(y) arccos(x) dx dy. x y (a) Determinare il dominio di definizione di ω. (b) Dire se ω è chiusa.

5 5 (c) Dire se ω è esatta e in caso affermativo calcolarne un potenziale. (d) Calcolare ( cos(t), 4 sin(t)), [0, π] ω, γ = γ ( 8 sin(t), 8 8 cos(t)), [π, 3π]. Esercizio.3. Sia γ = {(t, log(t)), t [, e]} (a) Calcolare l area della superficie S ottenuta ruotando γ di un angolo π intorno all asse verticale. (b) Determinare una parametrizzazione di S e i due orientamenti possibili ν ±. (c) Calcolare il prodotto scalare < F, ν ± > dove F (x, y) = (y, x, 0). Esercizio.4. Sia γ = {( 3 sin(ψ), sin(ψ), cos(ψ)), ψ [0, π]} (a) Dimostrare che γ è semplice e chiusa. (b) Dimostrare che γ([0, π]) S := {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 4}. (c) Dimostrare che γ([0, π]) S := {(x, y, z) R 3 : 3y 3x = 0}. (d) Sia S = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 4} S. Determinare una parametrizzazione di S e i due orientamenti possibili ν ±. (e) Calcolare ω, dove ω(x, y, z) = h(x)dx + (z 3 + h(y))dy + g(z)dz, h C (R), g C (R). γ Esercizio.5. Sia γ = {(cos(ψ), sin(ψ), sin(ψ)), ψ [0, π]} (a) Dimostrare che γ è semplice e chiusa. (b) Dimostrare che γ([0, π]) S := {(x, y, z) R 3 : x + y = }. (c) Dimostrare che γ([0, π]) S := {(x, y, z) R 3 : z y = }. (d) Sia S = {(x, y, z) R 3 : x + y } S. Determinare una parametrizzazione di S e i due orientamenti possibili ν ±. (e) Calcolare ω, dove ω(x, y, z) = (z y)dx + (x z)dy + (y + z)dz. γ 3. Successioni e serie di funzioni. Esercizio 3.. Al variare di p > 0, discutere la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni f n (x) = n p x 3 e n x, x [, ]. Determinare almeno un intervallo di convergenza uniforme.

6 6 Esercizio 3.. Calcolare 4 n x n x 4 + sin(nx) dx Esercizio 3.3. Calcolare log( + e nx ) + + e nx x dx Esercizio 3.4. Discutere la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni f n (x) = e nx log(nx), x (0, + ). Determinare almeno un intervallo di convergenza uniforme. Fissati 0 < a < b < +, calcolare b a e nx log(nx) dx Esercizio 3.5. Discutere la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni f n (x) = ( x) n log(n x), x (0, + ). Determinare almeno un intervallo di convergenza uniforme. Fissati 0 < a < b <, calcolare b a ( x) n log(n x) dx Esercizio 3.6. Determinare una rappresentazione per serie dell integrale 0 e x dx x Esercizio 3.7. Determinare una rappresentazione per serie dell integrale log x 3 + x dx 0 Esercizio 3.8. Calcolare lo sviluppo in serie di Taylor e il corrispondente raggio di convergenza per la funzione log( + x) con centro x 0 =. Esercizio 3.9. Dimostrare che la serie converge totalmente in [, ]. + n= ( ) n x cos(x), + sin(x)

7 7 Esercizio 3.0. Fissati α (0, ) e M > 0 dimostrare che la serie converge totalmente in [0, M]. + n= (αe x3 3 x (n+ n )+x ) n, Esercizio 3.. Discutere la convergenza assoluta, puntale, totale e uniforme della serie di funzioni + nx n, e calcolarne la somma. n= Esercizio 3.. Discutere la convergenza assoluta, puntale, totale e uniforme della serie di funzioni + n= ( ) n 3 n n e nx. Verificare ove possibile la formula di derivazione per serie calcolando la derivata della somma e la somma della serie delle derivate. 4. Equazioni differenziali. Esercizio 4.. Studiare il grafico qualitativo della soluzione del seguente problema di Cauchy { y = y x y() = Esercizio 4.. Studiare il grafico qualitativo della soluzione del seguente problema di Cauchy { y = y x y() = Esercizio 4.3. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy { y = xy + x 3 y 4 y(0) = Esercizio 4.4. Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale y + 3y = (x 3 )e x Esercizio 4.5. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy t u + tu + 4u = (log(t)) u() =, u () = 0.

8 8 Esercizio 4.6. Determinare una rappresentazione integrale per la soluzione del seguente problema di Cauchy y = ny + n x n 4 + e x y y(0) = n. Detta y n (x) la soluzione trovata, discutere la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni f n (x) = e nx y n (x), x [0, ]. Esercizio 4.7. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy t u + 5tu + 4u = t u() =, u () =. Detta u(t) la soluzione trovata e definita la successione di funzioni calcolare f n (t) = u(nt), t [, ], n N f n (t)dt.