Esercizi. Misti iniziali. Più variabili. 1. Data la funzione. F (x) = x3 3 + x e t2 dt. se ne studino massimi, minimi, flessi, limiti a ±.

Transcript

1 Esercizi Misti iniziali. Data la funzione se ne studino massimi, minimi, flessi, iti a ±. 2. Provare che Più variabili F x) = 3. Calcolare, se esistono, i seguenti iti a) b) c) d) x,y),) x 2 + y 2 2 x,y),) e /x +y 2 ) x,y),) x,y),y ) cosx 2 + y 2 ) x 2 + y 2 ) 2 log + x y) x x 4. Dire per quali valori di α esiste il ite x F x) = x3 3 + x e t2 dt + t) arctg t t t 2 ) dt = ox 3 ). x,y),) e/α x 2 y 2 ) 5. Se una funzione fxy) non è definita in un punto x, y ) ma è possibile definirla in modo da renderla continua, si dice che fx, y) ha in x, y ) una discontinuità einabile. Trovare in quali punti le funzioni seguenti hanno una discontinuità einabile. a) fx, y) = x y sen x sen y b) fx, y) = c) fx, y) = x y lnx y) x d) fx, y) = x2 y 2 e) fx, y) = sen y x 6. Le seguenti funzioni sono differenziabili in, )? x + y, x > a) fx, y) = x + y e x2, x b) fx, y) = x 2 + y 2 c) fx, y) = arctgy + )) x+, d) fx, y) = log y+ x + ).

2 7. Dire se la funzione è differenziabile su tutto R Dire se la funzione 3 x + 4 y se x fx, y) = 3 x + 4 y e x2 + x 2 se x < fx, y) = { 2 x y se x 2 x y x 2 log x + ) se x > è differenziabile su tutto R 2. Fino a quale ordine è differenziabile?) 9. Data la funzione e x y se x y fx, y) = x y se x = y si discuta la continuità, derivabilità e differenziabilità di fx, y) dimostrando che fx, y) ammette derivate parziali continue di ogni ordine. Si calcoli la derivata direzionale f v, ) dove v è la direzione della retta y = x 2. Si determini l equazione del piano tangente alla superficie z = fx, y) nel punto,, ).. Calcolare il ite x,y),) e x e sin y x sin y.. Provare che i piani tangenti alla superficie di equazione x + y + z = a nell insieme {x, y, z) : x, y, z } individuano lungo i tre assi coordinati 3 segmenti aventi un estremo nell origine, la cui lunghezza ha somma costante. Suggerimento: si espliciti z come funzione di x e y, e si ricordi quale è l equazione del piano tangente al grafico di z = fx, y) in un punto x, y ) con x + y a; oppure, ci si ricordi che il piano tangente alla superficie di equazione ϕx, y, z) = nel punto x, y, z ) è perpendicolare al vettore gradiente ϕx, y, z ) = ϕ x x, y, z ), ϕ y x, y, z ), ϕ z x, y, z )). 2. Si formuli il teorema del valor medio per una funzione di più variabili. Suggerimento. Sia f : A R, dotata di derivate prime continue in A e dunque anche differenziabile; siano x e x A, e il segmento che li congiunge è interno ad A; si consideri la funzione 3. Se fx, y) = ln + x 2 + y 2 ), dimostrare che t F t) = f t) x + t x ), sull intervallo [, ], fx, y ) fx 2, y 2 ) x x 2 ) 2 + y y 2 ) Se fx, y), definita su {x, y) : x 2 + y 2 < }, verifica grad fx, y) su tutto il cerchio, provare che fx, y) è costante. 5. Se fx, y) è differenziabile in un aperto connesso e grad fx, y) allora fx, y) è costante su tutto l aperto. 6. Si determini un piano tangente all ellissoide x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = in un punto del primo ottante {x, y, z) : x, y, z } in modo che il volume deitato da tale piano e dai piani coordinati sia minimo. 2

3 7. Determinare i massimi e i minimi relativi delle funzioni a) 2 ln2 + x 2 + y 2 ) x y, b) ln2 + x 2 + y 2 ) x y, c) 3 x y) 4 x2 + 2 y 2 3) d) x 3 y) 3 x y 2 4) 8. Data la funzione fx, y) = x + 3 y) e x2 y 2, se ne determinino i punti di massimo e minimo relativo e se ne deducano valori e punti di minimo e massimo assoluti. 9. Trovare massimo e minimo per la funzione fx, y) = sen 2 x cos y sull insieme [ π 2, π 2 ] [ π 2, π 2 ]. 2. Trovare massimi e minimi relativi, estremo superiore ed inferiore per i valori della funzione fx, y) = x 3 + y x y. 2. Determinare il massimo e il minimo di fx, y) = y arctgx e y ) sull insieme A = [, ] [, ]. 22. Determinare il massimo e il minimo di fx, y) = sul triangolo di vertici, ), 3, ),, 3). Per i valori massimi e minimi sul bordo, si può usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per i massimi e minimi vincolati, o parametrizzare esplicitamente i lati del triangolo. 23. Siano α, β, γ gli angoli di un triangolo. Si provi che l espressione sen α α + sen β β + sen γ γ è massima per il triangolo equilatero. Suggerimento: esplicitare γ e studiare l espressione come funzione delle variabili α e β; oppure, vedere il problema come ricerca di punti stazionari vincolati, essendo α + β + γ π = il vincolo. Esercizi su serie 24. Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche a) b) c) n= n n 2 n + 2 ) n n + 3 n ) n=2 n=2 ) n log + ) log n 25. Studiare la convergenza, assoluta e semplice, della serie n= x cos x n) Determinare il raggio di convergenza delle seguenti serie di potenze: a) b) c) n x n, n= 3 n x n, n= n= n n + 3 x 3 ) n, 3

4 d) e) f) n= n! n n xn, + 2) n ) x n e calcolarne la somma, n= n= x nn n n, 27. Dimostrare che se a n è una serie convergente, allora la serie di potenze a n x n ha raggio di convergenza maggiore o uguale a. 28. Individuare quale fra le seguenti serie ha il massimo raggio di convergenza e calcolarlo. E preferibile decidere prima quale è il più grande, rispetto a calcolarli tutti e tre. n= sen n π 2 ) x n 2 n ; n= n!) 3 x n 3 n)! ; n= n!) 3 x n2 3 n)! ; 29. Dimostrare che la serie n= n xn ) n converge uniformemente su ogni intervallo chiuso contenuto in, ) e che ha per somma ln + x). Suggerimento: si osservi che x n x n = t n dt e Trovare una serie di potenze che in un opportuno intervallo centrato in converga ed abbia per somma la funzione ln + x 2 x 2 ). 3. Determinare raggio di convergenza e somma delle serie a) b) n + )x 2n, n= n= x n n n + ), Esercizi su Teorema del Dini e massimi e minimi vincolati 32. Disegnare l insieme A = {x, y) : x e y y = }. Dire in quali punti x, y) A si può esprimere localmente la y in funzione della x. Si provi che in, ) ciò è possibile, e si verifichi che lo sviluppo di Taylor all ordine 2 di yx) è dato dal polinomio Suggerimento: si ricordi che e x + e 2 x 2. d dx yx) = xfx, yx)) fx, yx)) e dunque tale espressione può essere ulteriormente derivata rispetto a x come composizione di y x x, yx)) e x, y) x y fx, y). fx, y) 4

5 33. Data la funzione fx, y) = 8 x y 2 + logx y) 5 y + provare che il punto P = { 2, 4 ) appartiene all insieme G = {x, y) : fx, y) = } e che G in un intorno di P è grafico di y = yx) oppure di x = xy); trovare, di tale funzione, lo sviluppo di Taylor al secondo ordine. 34. Data la funzione fx, y) = x 2 y + log2 x y 2 ) + y 2 provare che il punto P = {, ) appartiene al luogo di zeri di fx, y) e che fx, y) = definisce implicitamente in un intorno di P una funzione y = yx) oppure x = xy); trovare, di tale funzione, lo sviluppo di Taylor al secondo ordine. 35. Verificare che in un intorno di, ) l equazione x 2 + y 3 + y = definisce implicitamente una funzione continua y = yx) tale che y) =. Trovare lo sviluppo di Taylor in di yx) fino al secondo ordine. 36. Verificare che in un intorno di x, y ) =, log π) l equazione e x2 +y 2 π = definisce implicitamente una funzione continua y = yx), e determinarne lo sviluppo di Taylor in fino al secondo ordine. 37. Trovare massimo e minimo di fx, y) = 4 x y x y sull insieme A = { x, y) R 2 : x 2 + y 2 4, x, y }. 38. Trovare massimo e minimo di fx, y, z) = e x2 y+z 2) sull insieme { x, y, z) R 3 : x 2 } 4 + y2 + 3 z Determinare max{a b 2 c 3 : a, b, c >, a + b + c = 6}. 4. Determinare il minimo di x 2 + x x 2 n sotto la condizione a x + a 2 x a n x n =, dove a 2 + a a 2 n > 4. Trovare il massimo di a x + a 2 x a n x n ) 2 sotto la condizione x 2 + x x 2 n =. 42. Trovare massimo e minimo assoluti della funzione fx, y, z) = x y + y z + z x sulla sfera x 2 + y 2 + z 2 =, e si determinino tutti i pounti in cui vengono assunti. 43. Trovare massimo e minimo assoluti e i punti dove vengono assunti) per la funzione fx, y) = x 3 y 2 su { x, y) : x 2 + y 2, y x x }. Ancora miscellanea 44. Determinare insieme di convergenza e somma per la serie ) n x +. 2 x2 + x + n= 45. Determinare l insieme di convergenza per la serie n= x log x) n x n, x. 5

6 46. Posto x k siny x 2 ) fx, y) = x 2 + y 2 se x, y), ) se x, y) =, ) dire al variare di k ) se la funzione in, ) è itata, continua, differenziabile. 47. Data fx, y) = log + x 2 ) log + y 2 ) se x y dire se è possibile estenderla ad una funzione continua su tutto R 2 ; discutere poi le proprietà di derivabilità di tale estensione. Suggerimento: gli esercizi su convergenza puntuale/convergenza uniforme, e anche qualcuno di quelli su integrazione o derivazione per serie, sono a volte difficili, se non viene rapidamente una idea è opportuno saltarli. 48. Dimostrare che l equazione 2 x 2 + y + x e x+y = + e x definisce implicitamente una e una sola funzione y = yx) in un intorno di x =. Dimostrare inoltre che tale funzione yx) ha un massimo locale in x = 49. Data la successione di funzioni sen 2 nx n x se x f n x) = se x = dire dove tale successione converge puntualmente e dove è convergente uniformemente. Suggerimento: Considerare prima che cosa succede su un intervallo chiuso che non contiene ) 5. Fra i parallelepipedi rettangoli degeneri e non degeneri) con facce parallele ai piani coordinati e inscritti nell ellissoide x y z 2 = 36 trovare quelli di volume massimo e minimo. 5. Il segmento [, ] viene suddiviso in n parti, x, x 2,..., x n. 52. Sia a) Provare che b) Dire quanto è il massimo di n x 2 i n. i= n x 2 i. i= fx, x 2,..., x n ) = n x i x i ). Determinare i massimi e minimi della funzione f vincolate alla porzione di iperpiano i= {x, x 2,..., x n ) n x i =, x i > }. i= 6

7 53. Studiare al variare del parametro x la convergenza della serie ) 3 + ) n + 2 x n 3 + x 2. n= 54. Risolvere in C l equazione z 4 + z 5 + z 6 + z 7 + z 8 + z 9 = e rappresentare graficamente le soluzioni trovate. 55. Discutere e calcolare il seguente integrale: + x 2 x 2 dx 56. Discutere e calcolare il seguente integrale: 3 2 x x 2 4 dx 57. Discutere e calcolare il seguente integrale: + x dx 58. Dire quale è l insieme di convergenza per la serie n= x 2 + x 2 ) n. Dire inoltre su quali sottoinsiemi A R la convergenza è uniforme. N.B. questo fatto è implicato dalla convergenza di x 2,A + x 2 ) n. n= 59. Studiare il comportamente della successione di funzioni definite da f n x) = x n2 e nx, determinando gli insiemi dove la successione converge puntualmente e quelli dove tale convergenza è uniforme. 6. Determinare su quali intervalli I R la funzione fx) = arctgx)/x è integrabile; provare che arctg x x dx = n= ) n 2n + ) Studiare il comportamento della serie e calcolarne la somma. n x e nx3 n= 7

8 62. Studiare il comportamento della serie n sen x) n n= e calcolarne la somma sull insieme di convergenza. 63. Studiare il comportamento della serie n= e calcolarne la somma sull insieme di convergenza. 64. Determinare massimo e minimo della funzione cos x) n n + 2)! fx, y) = y x x 4 + y + 2 sull insieme A = { x, y) R 2 2 x, y 2 x }. 65. Verificare che il luogo di zeri Z = { x, y) R 2 x x y + y 4 = 4 } non ha punti singolari; determinare l equazione della retta tangente a Z in, ); provare che in un intorno di, ) l insieme Z è grafico di una funzione y = gx) e determinare lo sviluppo di Taylor al secondo ordine per g in un intorno di x =. 66. Per quali α > esiste il ite x,y),) x α x 2 + y 4? 67. Calcolare massimo e minimo della funzione fx, y, z) = x e y log z sull insieme T = { x, y, z) R 3 : x, y, z /2, x + y + z }. 68. Siano date due rette r, r di R n di equazioni parametriche r : x = v + t v, t R r : x = w + s w, s R dove v, v, w, v sono vettori fissati di R n, con v = w =. Determinare la distanza fra le rette r e r, cioè il numero inf{ x x : x r, x r }. 69. Descrivere il comportamento della serie di funzioni n= e calcolarne la somma nell insieme di convergenza. 7. Determinare il massimo e il minimo della funzione n x 3n n + fx, y) = xy) x+y sull insieme E = { x, y) R 2 : 2 e 4 x y, x + y 2 e 2}. 8

9 7. Sia fx) la somma della serie n= logx n ) n! Dire dove è definita fx), se e dove è derivabile, quanto vale f 2). 72. Dimostrare che la funzione definita da cosx y) x y se x y fx, y) = se x = y è differenziabile su tutto il piano. 73. Dimostrare che l equazione y 3 e xy = definisce inplicitamente una funzione y = yx) in un intorno del punto, ); scriverne lo sviluppo di Taylor di centro x = e ordine Calcolare massimo e minimo di fx, y) = e x2 +y 2 /4) sul cerchio centrato nell origine e raggio. 75. Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità della funzione senx y 2 ) x y se x y 2 fx, y) = 2 se x = y Dire se la funzione fx, y) = può essere estesa con continuità a tutto R 2. log + x 2 ) log + y 2 ). x y ) 77. Tenendo conto dello sviluppo di Taylor in di t e t e di t cos t, scrivere lo sviluppo di Taylor al quarto ordine in, ) della funzione fx, y) = e xy cosx + y 3 ). 78. Studiare i massimi e minimi relativi e assoluti di sull insieme fx, y) = y x sint 2 ) dt {x, y) : x π, y π}. 79. Determinare il massimo e il minimo assoluto di fx, y, z, t) = x+y z t sull insieme x 2 +y 2 +z 2 +2 t 2 =. 8. Trovare massimi e minimi relativi ed assoluti di fx, y) = x 3 + y 3 3 x 2 y + 2 sull insieme 8. Studiare la differenziabilità della funzione {x, y) : y, y + x, y x }. fx, y) = x 2 + y 2 arcsenx y). 82. Trovare massimi e minimi se esistono) della funzione sulla curva x y + x + y + 4 =. fx, y) = x + y x y 83. Data la funzione fx, y) = x y) tgx y)/2, dire se l equazione fx, y) = definisce y come funzione implicita della x in un intorno del punto, ). In caso affermativo, calcolare y ) e y ). 9