Esonero di Analisi Matematica II (A)

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1 Esonero di Analisi Matematica II (A) Ingegneria Edile, 8 aprile 3. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio: + x log 3 x (x ) 3 dx.. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni: f n (x) = sin ( π xn), x [, ]. 3. Studiare massimi e minimi relativi della seguente funzione: f(x, y) = x y x y 3.

2 Esonero di Analisi Matematica II (B) Ingegneria Edile, 8 aprile 3. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio: + x log x (x ) 4 dx.. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni: f n (x) = x n e nx, x R Studiare massimi e minimi relativi della seguente funzione: f(x, y) = y x y x 3.

3 Soluzione esonero di Analisi Matematica II (A) Ingegneria Edile, 8 aprile 3. Bisogna discutere l integrabilità in un intorno dei punti, e +. Per quanto riguarda il punto, si osserva che lim x + x log 3 x/(x ) 3 = in quanto il fattore x è un infinitesimo di ordine mentre log 3 x è un infinito di ordine arbitrariamente piccolo. Pertanto la funzione è limitata in un intorno di e quindi è integrabile. Nel punto risulta analogamente x log 3 ( ) 3 x log x lim x (x ) 3 = lim = lim x x y ( ) 3 log( + y) =, (dove si è posto y = x ) e quindi anche in un intorno di la funzione è limitata e conseguentemente integrabile. Infine, per quanto riguarda il comportamento in un intorno di +, la funzione integranda è il prodotto di un infinitesimo di ordine (la funzione x/(x ) 3 ) con un infinito di ordine arbitrariamente piccolo (la funzione log 3 x). Pertanto, la funzione è un infinitesimo di ordine minore di, ma maggiore di ε per ogni < ε < ; in particolare, la funzione è un infinitesimo di ordine maggiore di 3/ e quindi, per il criterio di integrabilità sull ordine di infinitesimo, la funzione è assolutamente integrabile in un intorno di +. Si conclude che la funzione in esame è integrabile in un intorno di ciascuno dei punti, e + e quindi è integrabile in senso improprio in tutto l intervallo [, + [.. Per ogni x [, ], risulta lim n + xn = y, x ], [ ;, x = ;, x =. Conseguentemente, la successione in esame converge puntualmente in ], ] verso la funzione f :], ] R definita ponendo, per ogni x ], ], f(x) = {, x ], [ ;, x =. Poichè ogni f n è continua, mentre la funzione f non lo è nel punto, la convergenza non può essere uniforme in tutto ], ].

4 D altra parte, si ha (f n f) (x) = n π xn cos ( π xn), x ], [, e quindi l unico punto interno all intervallo ], ] in cui si annulla la derivata prima di f n f è il punto ; poichè f n () f() =, l estremo superiore di f n f viene dato dal comportamento di f n f agli estremi. Risulta, per ogni n, lim x ± f n (x) f(x) =, da cui sup x ],] f n (x) f(x) = e quindi la convergenza non può essere uniforme nell intervallo ], ]. Infine, se si considera < a <, si ha ( π sup f n (x) f(x) = max{f n ( a) f( a), f n (a) f(a)} = sin x [ a,a] an) (< + ) e conseguentemente lim n + sup x [ a,a] f n (x) f(x) = lim n + sin ( π an) =, da cui la convergenza uniforme di (f n ) n verso la funzione nulla in ogni intervallo [ a, a] ], [ (e quindi in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in ], [). 3. La funzione in esame è definita in tutto R ed è derivabile parzialmente sia rispetto alla variabile x che rispetto alla variabile y in ogni elemento di R ; per ogni (x, y) R, si ha f x (x, y) = xy y 3 e f y (x, y) = x 3xy. Poichè le derivate parziali sono definite e continue in tutto R, dal teorema del differenziale totale segue che f è differenziabile in ogni punto di R. Conseguentemente, i punti di massimo e di minimo relativo sono necessariamente punti stazionari per f. Poichè le derivate parziali di f si annullano entrambe solamente nel punto (, ), vi può essere un massimo oppure un minimo relativo per f solamente in tale punto. Osservato che f è derivabile parzialmente rispetto ad entrambe le variabili infinite volte in tutto R, dal calcolo delle derivate parziali seconde di f, si ottiene facilmente, per ogni (x, y) R f xx (x, y) = y, f xy (x, y) = x 3y, f yy (x, y) = 6xy, e quindi la matrice hessiana nel punto (, ) è la matrice nulla; pertanto, la condizione necessaria sui minori dell hessiano è soddisfatta, ma non quella sufficiente e ciò non consente di concludere nulla. Tuttavia, tenendo presente che la funzione f si annulla in (, ), un analisi diretta del segno di f in un intorno di (, ) consente di concludere che (, ) non è un punto di massimo nè di minimo relativo per f. Infatti, ad esempio, poichè f(x, y) = xy(x y ), si può osservare che se x si ha sicuramente x y e conseguentemente il segno di f è positivo nel terzo quadrante e negativo nel secondo (a causa del segno del fattore xy); pertanto, in ogni intorno di (, ) la funzione assume sia valori strettamente positivi che valori strettamente negativi e si conclude che il punto (, ) non può essere di massimo nè di minimo relativo per f. (Alternativamente, si può studiare il comportamento di f su una generica retta y = mx passante per l origine. Risulta f(x, mx) = mx 3 ( m x) e per x < /m, il segno di f dipende da quello di x e dal segno del coefficiente angolare della retta considerata, per cui si giunge alla stessa conclusione precedente.)

5 Soluzione esonero di Analisi Matematica II (B) Ingegneria Edile, 8 aprile 3. Bisogna discutere l integrabilità in un intorno dei punti, e +. Per quanto riguarda il punto, si osserva che lim x + x log x/(x ) 4 = in quanto il fattore x è un infinitesimo di ordine mentre log x è un infinito di ordine arbitrariamente piccolo. Pertanto la funzione è limitata in un intorno di e quindi è integrabile. Nel punto +, la funzione integranda è il prodotto di un infinitesimo di ordine (la funzione x /(x ) 4 ) con un infinito di ordine arbitrariamente piccolo (la funzione log x). Pertanto, la funzione è un infinitesimo di ordine minore di, ma maggiore di ε per ogni < ε < ; in particolare, la funzione è un infinitesimo di ordine maggiore di 3/ e quindi, per il criterio di integrabilità sull ordine di infinitesimo, la funzione è assolutamente integrabile in un intorno di +. Infine, nel punto la funzione è il rapporto di un infinitesimo di ordine (la funzione x log x) con un infinitesimo di ordine 4 (la funzione (x ) 4 ) e quindi è un infinito di ordine. Dal criterio sull ordine di infinito, la funzione non è integrabile in un intorno di. Non essendo verificata l integrabilità in senso improprio in un intorno di uno dei punti da discutere, si conclude che l integrale improprio in esame non è convergente.. Per ogni x [, + [, risulta ( x ) n lim n + xn e nx = lim = n + e x (infatti, per ogni x [, + [ risulta x/e x < in quanto il grafico di e x si trova al di sopra della retta di equazione y = x). Quindi la successione (f n ) n converge puntualmente in [, + [ verso la funzione f. Inoltre, per ogni n, f n f = f n e poichè f n è derivabile per ogni x [, + [ e si ha f n(x) = e nx (nx n nx n ) = nx n e nx ( x) si deduce che f n f è strettamente crescente in [, ] e strettamente decrescente in [, + [ per cui sup x [,+ [ f n (x) f(x) = f n () = e n ; poichè lim sup n + x [,+ [ f n (x) f(x) = lim n + e n =, si deduce che la successione (f n ) n converge uniformemente verso la funzione nulla in tutto l intervallo [, + [. 3. Tale esercizio si ottiene dalla traccia A scambiando le due variabili x ed y.

6 Esonero di Analisi Matematica II (A) Ingegneria Edile, 3 giugno 3. Calcolare il seguente integrale doppio: x y dx dy, dove A = C \ T con C = {(x, y) R x, y, x + y }, T = {(x, y) R x, y, x + y }.. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy: y y + y y =, y(π) =, y (π) =, y (π) =. A

7 Esonero di Analisi Matematica II (B) Ingegneria Edile, 3 giugno 3. Calcolare il seguente integrale doppio: dove A = Q \ C con A x 3 y dx dy, Q = {(x, y) R x, y }, C = {(x, y) R x, y, x + y }.. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy: y (IV ) 8y 9y =, y() =, y () =, y () =, y () =.

8 Soluzione esonero di Analisi Matematica II (A) Ingegneria Edile, 3 giugno 3. Utilizzando il cambiamento di variabili in coordinate polari, si ha π/ [ ] ρ x y dx dy = ρ 4 dρ sin 5 [ sin 3 θ θ cos θ dθ = 5 3 C inoltre, dalle formule di riduzione x y dx dy = x dx T e quindi A = x y dx dy = x ( x 3 x + x 3 x4 3 = = 6 C x y dx dy [ y y 3 dy = x 3 ) [ x dx = T ] x dx ] π/ 6 x3 3 + x4 4 x5 5 x y dx dy = 5 6 =. = 5 ;. L equazione differenziale assegnata è lineare omogenea del terzo ordine. Il polinomio caratteristico è dato da (λ )(λ + ) = e quindi la soluzione generale dell equazione omogenea è data da Tenendo presente che y = c e x + c sin x + c 3 cos x, c, c, c 3 R. y = c e x + c cos x c 3 sin x, y = 4c e x c sin x c 3 cos x, imponendo le condizioni iniziali si ottiene il sistema c e π c 3 =, c e π c =, 4c e π + c 3 =. Addizionando la prima e la terza equazione si ottiene 5c e π = da cui c = e conseguentemente anche c 3 = ; infine dalla seconda si ricava c = e pertanto la soluzione richiesta è data da y = sin x. ]

9 Soluzione esonero di Analisi Matematica II (B) Ingegneria Edile, 3 giugno 3. Dalle formule di riduzione x y dx dy = Q x 3 dx y dy = 4 = 8 ; inoltre, utilizzando il cambiamento di variabili in coordinate polari, si ha π/ [ ] ρ x 3 y dx dy = ρ 5 dρ cos 3 6 [ ] π/ θ sin θ dθ = cos4 θ = ; C e quindi A x y dx dy = Q x y dx dy C x y dx dy = 8 4 =.. L equazione differenziale assegnata è lineare omogenea del quarto ordine. Il polinomio caratteristico è dato da (λ 3)(λ + 3)(λ + ) = e quindi la soluzione generale dell equazione omogenea è data da y = c e 3x + c e 3x + c 3 sin x + c 4 cos x, c, c, c 3, c 4 R. Tenendo presente che y = 3c e 3x 3c e 3x + c 3 cos x c 4 sin x, y = 9c e 3x + 9c e 3x c 3 sin x c 4 cos x, y = 7c e 3x 7c e 3x c 3 cos x + c 4 sin x, imponendo le condizioni iniziali si ottiene il sistema c + c + c 4 =, 3c 3c + c 3 =, 9c + 9c c 4 =, 7c 7c c 3 =. Addizionando la prima e la terza equazione si ottiene c + c = e sommando la seconda e la quarta si ottiene c c = ; pertanto c = c = e conseguentemente, dalla prima e dalla seconda equazione, si ricava anche c 3 = e c 4 = 8; pertanto la soluzione richiesta è data da y = e 3x + e 3x + 8 cos x.

10 Esame di Analisi Matematica II Ingegneria Edile, 4 febbraio 3. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni: f n (x) = arctan nx + n x +.. Determinare il massimo ed il minimo assoluto della funzione: nel quadrato D di R avente vertici A (, ), B f(x, y) = log(xy) x y, ( 5, ), C ( 5, 5 ), D (, 5 ).

11 Soluzione prova scritta di Analisi Matematica II Ingegneria Edile, 4 febbraio 3. Le funzioni f n sono definite in tutto R. Per ogni x R si ha { π/4, x = ; lim f n(x) = n +, x ; quindi la successione (f n ) n é converge puntualmente in tutto R. Denotata con f la funzione limite, si osserva che f non é continua in mentre ogni f n lo é e quindi la convergenza non può essere uniforme. Più in particolare, ci si può chiedere se la convergenza é uniforme in X =], δ] [δ, + [ con δ > fissato. Per ogni x X risulta f n (x) f(x) = f n (x) e si riconosce facilmente che f n ha il massimo assoluto nei punti ±δ essendo f n(x) = ( + nx + n x + ) n(n )x ( + n x ) (quindi f n é crescente in ], δ] e decrescente in [δ, + [) e inoltre f n (±δ) = arctan nδ + n δ + ; poiché lim n + f n (±δ) =, la convergenza é uniforme in X.. La funzione é dotata di massimo e minimo assoluto in D per il teorema di Weierstrass in quanto D é chiuso e limitato ed f é continua. La funzione é differenziabile nell insieme Ω = {(x, y) R xy > } e quindi i punti di massimi e di minimo relativo interni a D sono punti stazionari per f. Annullando le derivate parziali di f si ottiene il sistema { /x =, /y =, che ha come soluzioni il punto A(, ) D, nel quale la funzione assume il valore f(, ) =. A questo punto bisogna studiare i massimi e minimi sulla frontiera di D. É sufficiente considerare i due lati s = {(x, ) x 5 } ed s = {( 5, y) y 5 } di D in quanto f é simmetrica rispetto alla bisettrice del piano cartesiano. Su s si ottiene la funzione ϕ(x) = log(x/) x /, la cui derivata é ϕ (x) = /x ; poiché quest ultima si annulla solamente per x =, i possibili massimi e minimi relativi su s si trovano nei punti (/, /), (, /) e (5/, /) nei quali la funzione assume rispettivamente i valori ( f, ) ( = log 4, f, ) = 3 ( 5 log, f, ) = 3 + log 5 4.

12 Sul lato s si ottiene la funzione ψ(y) = log(y/) y 5/, la cui derivata é ψ (y) = /y ; procedendo come nel caso precedente, i possibili massimi e minimi relativi su s si trovano nei punti (5/, /), (5/, ) e (5/, 5/) nei quali la funzione assume rispettivamente i valori f ( 5, ) = 3 + log 54 ( ) 5, f, = 7 + log 5 ( 5, f, 5 ) = 5 + log 5 4. Confrontando i valori ottenuti, si deduce che il massimo assoluto di f in D é uguale a log 4 assunto nel punto (/, /) ed il minimo assoluto é uguale a 5 + log(5/4) assunto nel punto (5/, 5/).

13 Esame di Analisi Matematica II Ingegneria Edile, 4 giugno 3. Determinare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y y + y y =.. Calcolare il seguente integrale doppio: log(xy) dx dy, nel triangolo D di R avente vertici A (, ), B (, ), C (, ). D

14 Soluzione prova scritta di Analisi Matematica II Ingegneria Edile, 4 giugno 3. L equazione differenziale è lineare omogenea del terzo ordine ed il polinomio caratteristico è λ 3 λ + λ =, che ha come soluzioni λ =, λ = ± 3i. Pertanto, la soluzione generale dell equazione differenziale assegnata è data da: y = c e x + c e x/ cos 3 x + c 3e x/ sin 3 x, c, c, c 3 R.. Il dominio di integrazione può essere considerato normale rispetto all asse x al modo seguente D = {(x, y) R x, y x} e quindi, dalle formule di riduzione per gli integrali doppi e tenendo presente che, integrando per parti, log(xy) dy = y log(xy) y + c, c R, si ricava D log(xy) dx dy = = = [ x = = x dx log(xy) dy = [y log(xy) y] x dx (x log(x ) x log x + ) dx x log x dx log x x 4 ( log + 4 = log 3. ] x dx [ x ) ] ( log x dx + dx [x log x x] + [x] ) ( log + ) + ( )

15 Esame di Analisi Matematica II Ingegneria Edile, 6 luglio 3. Studiare la convergenza semplice ed uniforme della seguente successione di funzioni: f n (x) = x n e nx, x, n.. Determinare il massimo ed il minimo assoluto della funzione: f(x, y) = cos x sin y, nel quadrato D di R avente vertici A ( π ) ( π ) ( π ),, B,, C, π, D ( π ), π.

16 Soluzione prova scritta di Analisi Matematica II. Se x =, risulta ovviamente Ingegneria Edile, 6 luglio 3 lim f n() =, n + mentre se x >, tenendo presente che < x/e x <, si ha ( x ) n lim f n(x) = lim =. n + n + e x Dunque, la successione (f n ) n converge puntualmente verso la funzione nulla f = in [, + [. Per quanto riguarda la convergenza uniforme, si osserva che sup f n f = sup f n. Poichè f n è derivabile e, per ogni x [, + [, f n(x) = nx n e nx ( x), la derivata di f n si annulla solamente in e si ha f n () = e n ; inoltre agli estremi dell intervallo [, + [, risulta f n () = e lim x + f n (x) =, per cui sup f n = e n. Allora lim sup f n (x) f(x) = lim n + x sup n + x f n (x) = e quindi la convergenza è anche uniforme in [, + [. lim n + e n =,. La funzione è continua in D che è chiuso e limitato; quindi, per il teorema di Weierstrass, esistono il massimo ed il minimo assoluto di f. Poichè f è differenziabile, è sufficiente confrontare i valori nei punti di massimo e minimo relativo interni a D con quelli assunti sulla frontiera di D. Si ha f f (x, y) = cos x sin x sin y, x y (x, y) = cos x cos y, e quindi l unico punto interno a D in cui si annullano entrambe le derivate parziali è il punto A(, π/) nel quale risulta f(, π/) =. Poichè sulla frontiera di D, la funzione è costantemente nulla, si conclude che il minimo assoluto di f è ed è assunto su tutti i punti della frontiera, mentre il massimo assoluto è ed è assunto nel punto A.