Allora esistono δ > 0 e σ > 0 tali che. f(x, y) = 0; (2) la funzione ϕ : ]x 0 δ, x 0 + δ [ R, y = ϕ(x), è derivabile e.

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1 16 42 Funzioni implicite Il seguente teorema fornisce una condizione sufficiente affinché, data un equazione della forma f(x, ) = 0, sia possibile determinare come funzione della x Teo 11 (Teorema della funzione implicita o di Dini) Data una funzione f : A R 2 R con A aperto ed f C 1 (A), sia P 0 = (x 0, 0 ) A per cui f(x 0, 0 ) = 0 e (x 0, 0 ) 0 Allora esistono δ > 0 e σ > 0 tali che (1) per ogni x ]x 0 δ, x 0 + δ [ esiste unico = ϕ(x) ] 0 σ, 0 + σ [ tale che (x, ) A e f(x, ) = 0; (2) la funzione ϕ : ]x 0 δ, x 0 + δ [ R, = ϕ(x), è derivabile e (10) ϕ (x) = Se, inoltre, f C 2 (A), allora ϕ è derivabile due volte (x, ϕ(x)) (x, ϕ(x)) x ]x 0 δ, x 0 + δ [ La funzione = ϕ(x) è detta funzione definita implicitamente dall equazione f(x, ) = 0 in un intorno di (x 0, 0 ) e, per costruzione, soddisfa f(x, ϕ(x)) = 0 x ]x0 δ, x 0 + δ [ ϕ(x 0 ) = 0 Il fatto che ϕ(x 0 ) = 0 è conseguenza dell unicità della e dell assunzione f(x 0, 0 ) = 0 Dal punto di vista geometrico il punto 1) equivale al fatto che l insieme di livello di f di quota 0 in un intorno di (x 0, 0 ) (x, ) A x x 0 < δ, 0 < σ e f(x, ) = 0} è il grafico = ϕ(x) di una funzione di una variabile Il punto 2) assicura che la funzione ϕ è derivabile e la (10) segue dalla regola di derivazione in catena poiché (11) f(x, ϕ(x)) = (x, ϕ(x)) + (x, ϕ(x))ϕ (x) = 0 x ]x 0 δ, x 0 + δ [, essendo per definizione f(x, ϕ(x)) = 0 Inoltre, la continuità di (x, ϕ(x)) ed il fatto che (x 0, ϕ(x 0 )) 0 assicurano che (x, ϕ(x)) 0 per x sufficientemente vicino a x 0 Analogamente, se f(x 0, 0 ) = 0 e (x 0, 0 ) 0, è possibile determinare x come funzione della Più precisamente, per ogni ] 0 σ, 0 +σ [ esiste unico x = ψ() ]x 0 δ, x 0 +δ [ tale che (ψ(), ) A e f(ψ(), ) = 0 Esempio 16 Sia f C 2 (A) con A aperto di R 2 e (x 0, 0 ) A tale che f(x 0, 0 ) = 0 e (x 0, 0 ) = 0 (x 0, 0 ) 0 Poichè (x 0, 0 ) 0 il teorema della funzione implicita assicura che esiste = ϕ(x) definita in I =]x 0 δ, x 0 + δ [, derivabile due volte in I e 2 f ϕ(x 0 ) = 0, ϕ (x 0 ) = 0 e ϕ (x (x 0 ) = 2 0, 0 ) (x 0, 0 ),

2 17 dove la seconda uguaglianza segue da (10) e (x 0, 0 ) = 0, mentre la terza si ottiene derivando ulteriormente la (11) e ponendo x = x 0 In particolare, se 2 f (x 2 0, 0 ) 0, x 0 è un punto di minimo o massimo relativo per ϕ Il seguente esempio mostra i problemi che insorgono se (x 0, 0 ) = 0 Esempio 17 L equazione 2 x = 0 ha come soluzione (x 0, 0 ) = (0, 0) Tuttavia, per ogni x > 0 esistono due soluzioni = x e = x, mentre per x < 0 non esiste alcuna soluzione Il teorema della funzione implicita non si può applicare: infatti, posto f(x, ) = 2 x, f(x, ) = ( 1, 2) per cui (0, 0) = 0 Tuttavia, poiché (0, 0) = 1, è possibile esplicitare x come funzione della, infatti x = 2 = ψ() per ogni R Il seguente esempio mostra i problemi che insorgono se f(x 0, 0 ) = 0 Esempio 18 L equazione 2 x 2 = 0 ha come soluzione (x 0, 0 ) = (0, 0) Tuttavia in un intorno di (0, 0) non è possibile esplicitare né la come funzione della x, né la come funzione della x poiché (x, ) R 2 2 x 2 = 0 } è la coppia di rette = x e = x che si intersecano nell origine Il teorema della funzione implicita non si può applicare: infatti, posto f(x, ) = 2 x 2, f(x, ) = ( 2x, 2) per cui (0, 0) = (0, 0) = 0 Il teorema della funzione implicita può essere utilizzato per mostrare come le soluzioni di un equazione dipendano con regolarità dai coefficienti, come mostra il seguente esempio Esempio 19 Dato a R, si consideri l equazione x 3 + ax 2 + x 1 = 0 Se a = 1, x 3 x 2 + x 1 = (x 2 + 1)(x 1) per cui l unica soluzione reale dell equazione è x = 1 Posto f(x, a) = x 3 + ax 2 + x 1, f(x, a) = (3x 2 + 2ax + 1, x 2 ), poiché f(1, 1) = 0 e (1, 1) = 2 0, il teorema della funzione implicita assicura che, per ogni a sufficientemente vicino a 1, esiste unica x a = ψ(a), sufficientemente vicina a 1, soluzione di x 3 + ax 2 + x 1 = 0 Inoltre, poiché ψ ( 1) = 1 2 < 0, per a > 1 si ha x a < 1 e per a < 1 si ha x a > 1 Il seguente teorema dà una condizione necessaria per l esistenza di estremi relativi di una funzione f su un insieme C che è espresso come insieme di livello di una funzione g Teo 12 Sia f : A R 2 R con A aperto, f C 1 (A) e dove g : A R e g C 1 (A) Sia P 0 = (x 0, 0 ) C per cui esiste δ > 0 tale che C = (x, ) A g(x, ) = 0}, f(x, ) f(x 0, 0 ) (x, ) C B(P 0, δ) [o f(x, ) f(x 0, 0 ) (x, ) C B(P 0, δ)] Se g(x 0, 0 ) 0, allora (12) ( f(x0, det 0 ) g(x 0, 0 ) g(x 0, 0 ) = 0 ) = 0 Il punto P 0 è detto punto di minimo [risp massimo] relativo di f vincolata su C Per il teorema della funzione implicita, la condizione g(p 0 ) 0 implica che l insieme C, descritto dall equazione g(x, ) = 0, è il grafico di una funzione = ϕ(x) o x = ψ(x) per i punti (x, ) sufficientemente vicini a P 0 Poiché g(p 0 ) 0, la condizione (12) equivale al fatto che esiste λ R tale che (13) f(x 0, 0 ) = λ g(x 0, 0 ), in cui λ prende il nome di moltiplicatore di Lagrange La (13) esprime il fatto che f(p 0 ) è parallelo a g(p 0 ), cioè perpendicolare alla retta tangente a C in P 0 Il seguente esempio mostra come calcolare gli autovalori di una matrice simmetrica

3 18 Esempio 20 La forma quadratica ( f(x, ) = ax 2 + 2bx + c 2 = ( x ) b c ) ( x ) (x, ) R2 ammette minimo f(x 1, 1 ) e massimo f(x 2, 2 ) assoluti sull insieme C = (x, ) R 2 x = 1 }, poiché f è continua e C è chiuso e limitato Il vincolo C è l insieme di livello di quota 0 della funzione g(x, ) = x Le funzioni f e g sono di classe C 1 (R 2 ) e f(x, ) = 2(ax + b, bx + c) = 2 ( x b c ) g(x, ) = 2(x, ) 0 (x, ) C Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange implica che i punti di minimo e massimo (x 1, 1 ) e (x 2, 2 ) sono soluzioni rispettivamente di ( x 1 x1 ) = λ b c 1 ( x 2 x2 ) = λ 1 1 b c con la condizione x = x ( = 1 In ) altre parole, (x 1, 1 ) e (x 2, 2 ) sono gli autovettori di norma 1 della matrice simmetrica I corrispondenti moltiplicatori di Lagrange sono i b c rispettivi autovalori λ 1 e λ 2 Inoltre è immediato verificare che f(x 1, 1 ) = λ 1 e f(x 2, 2 ) = λ 2, da cui segue che λ 1 f(x, ) λ 2 per ogni (x, ) C Infine, osservando che f(αx, α) = α 2 f(x, ) per ogni α R, segue che λ 1 (x ) f(x, ) λ 2 (x ) (x, ) R 2 Il seguente esempio mostra come calcolare i vertici di un ellisse Esempio 21 La funzione f(x, ) = x ammette massimo e minimo assoluti sull insieme C = (x, ) R 2 x x = 1 }, poiché f è continua e C è chiuso e limitato, dove la limitatezza segue dal fatto che x x x = 1 (x, ) C C B(O, 2) 2 Posto g(x, ) = x x 1, f e g sono di classe C 1 (R 2 ) e f(x, ) = (2x, 2) g(x, ) = (2x +, 2 + x) 0 (x, ) C Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange implica che i punti di minimo e massimo sono soluzioni del sistema 2x 2 det = 0 x 2x x 2 2 = 0 x x + x = x = 1, che ha come soluzioni 3 3 P 1 = ( 3, 3 ) f(p 1 ) = f(p 2 ) = 2 P3 = (1, 1) f(p 3 3 P 1 = ( 3, 3 ) 3 P 4 = ( 1, 1) 3 ) = f(p 4 ) = 2 Dal punto di vista geometrico P 1 e P 2 sono i punti di C che hanno distanza minore dell origine, per cui sono i vertici dell ellisse che giacciono sull asse minore, mentre P 3 e P 4 sono i punti di C che hanno

4 19 distanza maggiore dall origine, per cui sono i vertici che giacciono sull asse maggiore Ne segue che C è un ellisse con assi posti lungi le rette = x e = x 43 Trasformazioni di coordinate Il seguente teorema assicura che l inversa di una funzione differenziabile è differenziabile e fornisce una relazione tra le rispettive matrici jacobiane Teo 13 Sia  R2 R 2 Φ( x, ŷ) = (x( x, ŷ), x( x, ŷ)) una funzione di classe C 1 in  aperto Se Φ è iniettiva e det J Φ ( x, ŷ) 0 ( x, ŷ) Â, allora A = Φ(Â) è un insieme aperto, la funzione inversa Φ 1 : A R 2 Φ 1 (x, ) = ( x(x, ), ŷ(x, )) è di classe C 1 e 1 J Φ 1(x, ) = (x, ) A, J Φ ( x(x, ), ŷ(x, )) 1 dove J Φ (bx(x,),b(x,)) è la matrice inversa di J Φ( x(x, ), ŷ(x, )) Una funzione Φ che soddisfa le ipotesi del teorema è detta una trasformazione regolare di coordinate (o diffeomorfismo) tra gli aperti  ed A e si denota spesso con x = x( x, ŷ) ( x, ŷ) = x( x, ŷ) Â, analogamente la trasformazione inversa si denota con Φ 1 x = x(x, ) : ŷ = ŷ(x, ) (x, ) A Un esempio di trasformazione regolare di coordinate è la trasformazione lineare definita nell Esempio 10 Esempio 22 Sia R 2 R 2 x = a x + bŷ = c x + dŷ dove a, b, c, d R tali che ad bc 0 Come visto nell Esempio 10, Φ è una trasformazione di coordinate regolari di R 2 in R 2, la cui matrice jacobiana è data da J Φ ( x, ŷ) = ( x, ŷ) R c d 2 La trasformazione inversa Φ 1 risulta d x = Φ 1 : ad bc x + b ad bc ŷ = c ad bc x + a ad bc Un caso particolarmente interessante è quello in cui a = d = cos θ, b = sin θ e c = sin θ (per cui ad bc = 1) che rappresenta una rotazione degli assi x di un angolo θ in senso antiorario x = cos θ x sin θ ŷ x = cos θ x + sin θ = sin θ x + cos θ ŷ ŷ = sin θ x + cos θ Ad esempio, sia g(x, ) = x x, il cui insieme di livello di quota 1 è un ellisse con asse maggiore lungo la retta = x e asse minore lungo la retta = x (vedi Esempio 21) Scelto θ = π 4, g(φ( x, ŷ)) = ( x + ŷ ) 2 + ( x + ŷ ) 2 + ( x + ŷ )( x + ŷ ) = x ŷ2,

5 20 in accordo con quanto visto nell Esempio 21 A differenza delle funzioni di una variabile, l ipotesi che Φ sia iniettiva non si può togliere come mostra il seguente esempio Esempio 23 (Coordinate polari) Sia x = r cos θ = r sin θ r ]0, + [, θ R La funzione Φ non è iniettiva poichè Φ(r, θ) = Φ(r, θ + 2π), ma cos θ r sin θ det J Φ (r, θ) = det = r > 0 r ]0, + [, θ R sin θ r cos θ Tuttavia, Φ definisce una trasformazione di coordinate regolari nell aperto  =]0, + [ ] π, π[ e la trasformazione inversa è r = x Φ 1 (x, ) = θ = 2 arctan (x, ) A = R 2 \ (x, ) R 2 = 0, x 0 }, x x dove la seconda relazione segue osservando che tan θ 2 = 2 sin θ 2 cos θ 2 2 cos 2 θ 2 = sin θ 1 + cos θ = r 1 + x r θ ] π/2, π/2[ 2 e l arcotangente è l inversa della tangente in ] π/2, π/2[ La trasformazione Φ 1 non si può estendere in modo continuo al semiasse delle x negative Infatti, ad esempio, lim θ( 1, ) = lim 2 arctan 0 ± 0 ± = 2 lim arctan = ±π 0 ± La matrice jacobiana della trasformazione inversa è data da J Φ 1(x, ) = ( cos θ 1 ) = 1 r cos θ r sin θ = r sin θ r sin θ cos θ sin θ r cos θ ( x x x x x x La regola di derivazione in catena permette di calcolare come si trasformano le derivate parziali rispetto ad un cambiamento di coordinate Esempio 24 Sia z = f(x, ), (x, ) B, una funzione differenziabile nell aperto B e Φ la trasformazione di coordinate polari definita nell aperto  La funzione composta f(r, θ) = f(φ(r, θ)) = f(r cos θ, r sin θ) è la funzione f in coordinate polari con dominio Φ 1 (B)  La regola di derivazione in catena dà r θ (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) r (r, θ) + (r cos θ, r sin θ) (r cos θ, r sin θ) r = cos θ (r cos θ, r sin θ) + sin θ (r cos θ, r sin θ) (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) θ (r, θ) + (r cos θ, r sin θ) (r cos θ, r sin θ) θ = r sin θ (r cos θ, r sin θ) + r cos θ (r cos θ, r sin θ) )

6 21 Le formule precedenti hanno una interpretazione geometrica Siano n r = (cos θ, sin θ) e n θ = ( sin θ, cos θ) rispettivamente il versore radiale ed il versore angolare nel punto P = (x, ) = (r cos θ, r sin θ), allora r (r, θ) = f(p ) n r r (r, θ) = r f(p ) n θ La definizione di trasformazione regolare di coordinate ed il relativo teorema si estendono in modo naturale a R n Esempio 25 (Coordinate sferiche) Sia R 3 R 3 x = r sin θ cos ϕ Φ(r, θ, ϕ) : = r sin θ sin ϕ x = r cos θ r R, φ R, θ R La funzione Φ è di classe C 1 con matrice jacobiana sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ J Φ (r, θ, ϕ) = sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ r sin θ 0 e det J Φ (r, θ, ϕ) = r 2 sin θ La funzione Φ definisce una trasformazione regolare di coordinate tra l aperto  = ]0, + [ ]0, π[ ] π, π[ e l aperto A = Φ(Â) = R3 \ (x,, z) R 3 = 0, x 0}