Analisi 4 - SOLUZIONI (17/01/2013)

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1 Corso di Laurea in Matematica Analisi 4 - SOLUZIONI 7//23 Docente: Claudia Anedda Utilizzando uno sviluppo in serie noto, scrivere lo sviluppo in serie di MacLaurin della funzione fx = 32 + x, specificando l intorno in cui è valida la formula trovata. Osservando che fx = 32 + x = 2 binomiale α + x α = n con α = e 2 x al posto di x: 6 fx = 2 n + 32 x, quindi si può sfruttare la serie x n, α R, x <, n 2 6 x, per 2 6 x <, cioé fx = 2 n 2n 4 2n x n, per 6 2 < x < Data la funzione gx, y = 3x 4 y + e x+2y, verificare che l equazione gx, y = definisce una funzione y = yx, x R \ {}. Verificare, poi, che tale funzione è negativa nel suo insieme di definizione. Essa possiede qualche punto di estremo relativo? La funzione gx, y è continua in R 2 ; calcoliamo la sua derivata rispetto alla variabile y: g y x, y = 3x 4 + 2e x+2y x, y R 2 ; anzi, in particolare si ha che g y > x, y R 2. Osserviamo che lim gx, y = + > x R, y +

2 mentre lim gx, y = < se x. y Allora, per il teorema globale sulle funzioni implicite, l equazione gx, y = definisce una e una sola funzione f : R \ {} R, tale che gx, fx = x R \ {}. Inoltre, essendo g di classe C, anche f lo è. Alla stessa conclusione si arriva ragionando in questo modo: fissato x, poniamo φy = 3x 4 y + e x+2y ; poiché φ x > x R, la funzione φx è strettamente crescente. Inoltre lim y + φy = + e lim y φy = tranne per x = in tal caso il limite vale, per il teorema degli zeri, x R \ {} è definita in modo univoco una funzione f : R \ {} R tale che gx, fx = x R \ {}. Naturalmente, non possiamo scrivere esplicitamente l espressione della funzione f definita implicitamente da gx, y = ma, per studiare qualitativamente il suo andamento, ricaviamo da gx, y = y = yx = ex+2yx 3x 4, definita per x R \ {} in questo caso si può ragionare in tal modo per la particolare forma dell equazione gx, y = ; si ha, effettivamente, yx < x R \ {}. Per cercare gli eventuali punti di estremo relativo, calcoliamo la derivata prima della funzione definita implicitamente: da cui, ricordando che y = ex+2y 3x 4 y x = g xx, y g y x, y = 2x3 y + e x+2y 3x 4 + 2e x+2y, y x = x + 4ex+2y x3x 4 + 2e x+2y. Lo stesso risultato si trova derivando y = ex+2y 3x 4 y x = x + 4 =, e ricordando che y = yx. Si ha da cui risulta che x = 4 è punto critico per la funzione definita implicitamente. Studiando il segno di y x si ricava che x = 4 è un punto di massimo relativo; oppure, dalla formula y x = g xx + 2g xy y + g yy y 2, g y 4 dal fatto che y =, g y > e g xx = 36x 2 y + 2e x+2y calcolata in x = 4 è positiva, 4 si trova y <. 2

3 Con le informazioni ottenute si potrebbe anche disegnare un grafico qualitativo della funzione definita implicitamente da 3x 4 y + e x+2y =. 3 Data la forma differenziale con ω = F dx + F 2 dy + F 3 dz + F 4 dt, F = x 3y + 4z 2t, F 2 = 3x + 7y + 8z t, F 3 = 4x + 8y + z + t, F 4 = 2x y + z + t, verificare che essa è chiusa in R 4. In generale, se le componenti F, F 2, F 3, F 4 del campo vettoriale F associato ad ω sono polinomi di primo grado in x, y, z, t, quali sono le condizioni da imporre sui coefficienti dei termini in x, y, z, t affinché la forma differenziale sia chiusa? Affinché la forma differenziale data sia chiusa occorre che F y = F 2 x, F z = F 3 x, F Effettivamente, facendo i calcoli si trova x, F 2 z = F 3 y, F 2 y, F 3 z. F y = 3 = F 2 x ; F z F 2 z dunque ω è chiusa in R 4. Ora, supponiamo che = 8 = F 3 y ; F 2 = 4 = F 3 x ; F = y ; F 3 = 2 x, = z ; F = A x + B y + C z + D t, F 2 = A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 t, F 3 = A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 t, F 4 = A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 t. Imponendo che ω debba essere chiusa si ottiene B = A 2,, C = A 3, D = A 4, C 2 = B 3, D 2 = B 4, D 3 = C 4. Come si può osservare, non c è nessuna condizione su A, B 2, C 3 e D 4, cioé sul coefficiente di x della prima componente, sul coefficiente di y della seconda componente, sul coefficiente di z della terza componente e sul coefficiente di t della quarta componente del campo F. 3

4 4 Si consideri il cilindro di equazione x 2 + y 2 2 = 9, z R, delimitato inferiormente dal piano z = e superiormente dalla superficie di equazione z 4 + x2 + y 2 2x 4y + =. Dopo averne dato una rappresentazione grafica, calcolare l area della superficie del solido così formato, verificando che si tratta di una superficie regolare a pezzi. Il cilindro ha sezione circolare; nel piano z = la sezione è la circonferenza con centro nel punto C, 2, e raggio 3. L equazione z 4 = x 2 + y 2 2 rappresenta un cono a una falda con vertice in V, 2, 4, che interseca il cilindro nel piano z =. Si trova, quindi, una superficie regolare a pezzi composta da tre facce: la circonferenza Σ di base, la parte di cilindro Σ 2 compresa tra i piani z = e z = e il cappuccio Σ 3, parte del cono. Ciascuna di queste facce è regolare; infatti Σ è una parte di piano, che è banalmente regolare; parametrizzando Σ 2 con le coordinate cilindriche x = + 3 cos ϑ rϑ, t = y = sin ϑ, ϑ 2π, t, z = t si trova e da cui e r ϑ r t = r ϑ = 3 sin ϑ, 3 cos ϑ, r t =,,, r ϑ r t = 3 cos ϑ, 3 sin ϑ, 9 cos 2 ϑ + 9 sin 2 ϑ = 3, da cui la regolarità della porzione di cilindro. Parametrizzando la parte di cono con r x, y = x, y, 4 x 2 + y 2 2, x 2 + y 2 2 9, si ha x r x =,,, x 2 + y 2 2 y 2 r y =,,, x 2 + y 2 2 x 2 r x r y = x 2 + y 2 + y x 2 + y 2 + = 2. 2 AreaΣ = 9π 4

5 si ricava direttamente dalla formula dell area del cerchio πr 2. AreaΣ 2 = r ϑ r t dϑdt = T ={ϑ,t R 2 : ϑ 2π, t } 2π 3dϑdt = 36π. Ciò è confermato anche dalla formula nota della superficie laterale di un cilindro A l = 2πrh in questo caso, r = 3 h = + = 6. 2π 3 AreaΣ 3 = 2dxdy = 2 ρ dρdϑ = 9 2π. {x,y R 2 : x 2 +y 2 2 9} Quindi, l area della superficie del solido è data da AreaΣ + AreaΣ 2 + AreaΣ 3 = 9π + 2.