1 x 2 y 2 dxdy D. 3 (1 ρ2 ) 3/2 = 1 3. = π 12.

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1 INGEGNERIA CIVILE - AMBIENTE E TERRITORIO ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL ESERCIZIO 1 Calcolare 1 x y dxdy D dove D è il dominio piano delimitato dalla curva x + y = x e dalle semirette y = x, x e y =, x. Usando le coordinate polari si trova che: D 1 x y dxdy = / = / = 1 = 1 θ 1 ρ ρdρdθ 1 (1 ρ ) / ρ= θ dθ / ρ= (sin θ 1)dθ 1 θ θ θ = / ESERCIZIO Calcolare + V F ndσ dove V è il volume delimitato dalla superficie z + 1 = x + y e dai piani z =, z = ed F = ( x, z, z(x + y ) ). Si ha div F = x + (x + y ) e quindi, usando il teorema della divergenza e le coordinate cilindriche, 1

2 + V F ndσ = = = = x + (x + y )dxdydz V z+1 = = 5. (ρ θ + ρ )ρdρdzdθ ρ (1 + θ) ρ=1+z dzdθ ρ= 1 (1 + z)5 5 (1 + θ)dθ ESERCIZIO Sviluppare in serie di Fourier di soli seni la funzione x per x f(x) = per < x < x per x. Esaminare la convergenza della serie ottenuta e disegnare il grafico dell estensione periodica corrispondente. La funzione è discontinua e quindi la convergenza non sarà totale. Si ha: Quindi =1 b = = / x sin xdx + x x + = + sin + sin sin x / / (x ) sin xdx + sin x sin x x x + + /. sin sin x f(x) x, x /, / = /8 x = / /8 x = / ESERCIZIO Dopo aver determinato la soluzione stazionaria, risolvere il seguente problema u t 1 6 u xx = x x < x <, t >, u(x, ) = f(x) + x + x + x x, u(, t) =, u(, t) = + + t >, dove f(x) è la funzione dell esercizio precedente. soluzione stazionaria. Calcolare anche la velocità di convergenza alla

3 Si tratta di un problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore in dimensione u s = 1x 1. La soluzione stazionaria si trova risolvendo il problema + 6x, u s () =, u s () = +, la cui +, soluzione è: u s (x) = x + x + x. Ponendo v(x, t) = u(x, t) u s (x), la funzione v deve risolvere il problema: v t 1 6 v xx = < x <, t >, v(x, ) = f(x) x, v(, t) = v(, t) = t >, Quindi u(x, t) = u s (x) + v(x, t) = x + x + x + =1 Ne segue che, essendo max, f(x) = e L D = 6 si ha: + sin sin e t/6 sin x. u(x, t) u s (x) e t/6 per ogni t 6. ESERCIZIO 5 Risolvere il seguente problema di Cauchy: ut uu x = x R, t >, u(x, ) = g(x) x R, dove g(x) = x x, x x <. E richiesto il disegno delle caratteristiche e la verifica della soluzione trovata. Le caratteristiche sono: x = x + x t per x < e x = x + x t per x. Per x l equazione in forma implicita è u = x + ut, che esplicitata diventa u(x, t) = x t+1, mentre per x < essa è u = x + ut, che esplicitata diventa u(x, t) = x t+1. Notiamo che x = = x t + 1 t + 1 x= x= + e quindi la soluzione è continua in tutto il semipiano. La verifica è immediata: 8x u t uu x = (t + 1) x t + 1 t + 1 = e x t + 1 = x t= per x, x u t uu x = (t + 1) x t t + 1 = e x t + 1 = x t= per x <.

4 INGEGNERIA CIVILE - AMBIENTE E TERRITORIO ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL ESERCIZIO 1 Si consideri la forma differenziale 1. Stabilire se ω chiusa. ω = xy (1 + x ) dx x dy.. Dire se ω esatta ed in caso affermativo, determinare tutte le sue primitive.. Calcolare l integrale curvilineo γ ω, dove γ il perimetro del poligono che ha per vertici i punti O(, ) A(1, ) B(, 7) C(5, ) D(1, ). Si ha X y = x = Y (1+x ) x e quindi la forma è chiusa. Essendo l insieme di definizione tutto il piano, la forma è anche esatta. Calcolo della primitiva: si ha xy F (x, y) = (1 + x ) dx = y 1 + x + φ(y), F y = x + φ (y) e quindi, uguagliando F y con Y si ottiene x + φ (y) = x, quindi φ (y) =, cioè φ(y) = C tante. Le primitive sono dunque: F (x, y) = y + C, C R. 1 + x Per finire, l integrale richiesto vale perché la forma è esatta e il cammino è chiuso. ESERCIZIO Calcolare l integrale triplo dove W è la regione W e z (x + y ) dxdydz, W = (x, y, z) R : z x + y }. Usando le coordinate cilindriche si trova: e z (x + y ) dxdydz = W z e z ρ dρdzdθ = e z z e z dz = e z z e z + z e z 1z e z + ze z = 8 sinh + h.

5 ESERCIZIO Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier di soli seni della funzione per x / f(x) = x per / < x < / per / x. Esaminare la convergenza dello sviluppo ottenuto e disegnare il grafico dell estensione periodica corrispondente. Osserviamo preliminarmente che f è continua in, (poiché x x=/ = = x x=/ ) e che f() = = f(): le condizioni di commpatibilità sono verificate e quindi la convergenza dello sviluppo ottenuto sarà totale. Procediamo ora con il calcolo dei coefficienti. Si ha: b = e per 1,, / / x sin xdx = 1 / / sin xdx = 1 x/ / = b = = 1 = 1 = / / / / x sin xdx sin( + )x + sin( )x dx ( + )x + (+) ( + ) ( )x / / () ( ) + (+) ( + ) () + ( ) Quindi: f(x) = =1 (+) ( + ) () ( ) + (+) ( + ) () + sin x ( ) per ogni x,, con convergenza totale. Si potrebbe anche osservare che b = per pari (la funzione di partenza è pari rispetto a /) e che (1) m/ per m pari (m+1) b m+1 = (1) (m1)/ (m+1) per m dispari. ESERCIZIO Risolvere il seguente problema: E richiesta la verifica della soluzione trovata. ut u xx = x R, t >, u(x, ) = x x R. 5

6 Si tratta di un problema di Cauchy per l equazione del calore sulla retta. Si ha: u(x, t) = 1 + e s (x + s t)ds = = x + + e s (x + s t)ds + 1 e s (s t)ds + = et x + 1 e9t x. x + + e s (x + s t)ds e s (6s t)ds Verifica: u t u xx = u(x, ) = x + 1 x = x, et x 9 1 e9t x et x 9 1 e9t x =. ESERCIZIO 5 Risolvere il seguente problema: E richiesta la verifica della soluzione trovata. u xx + u yy = 1 < x + y <, u = y + xy x + y = 1, u = y + xy x + y =. Si tratta di un problema di Dirichlet per l equazione di Laplace in un anello. Si ha: y + xy x= θ,y=sin θ = sin θ + θ sin θ = sin θ + sin θ y + xy = sin θ + sin θ. x= θ,y= θ Quindi in coordinate polari il problema diventa: U rr + 1 r U r + 1 U r θθ = 1 < r <, θ, U(1, θ) = sin θ + sin θ θ, U(, θ) = sin θ + sin θ θ. Cercando la soluzione nella forma ( ) ( ) 1 U(r, θ) = C 1 r + C sin θ + C r 1 + C r r sin θ troviamo che deve essere C1 + C = C C = 1 C + C = 1 C + 1 C = e quindi C 1 =, C =, C = 1, C =. In conclusione, e tornando in coordinate cartesiane troviamo U(r, θ) = r sin θ + r sin θ r sin θ + r sin θ r sin θ = r + r sin θr θ = y x + y + xy. 6

7 Verifica. Si ha: y x + y + xy e poi u x = y x + y + xy x +y =1 x +y = = y + xy, = y + xy xy (x + y ) + y, u xx = y(x + y ) + x xy (x + y ) = y + 1x y (x + y ) u y = x y (x + y ) + x, u xx = y(x + y ) y(x y ) (x + y ) = y 1x y (x + y ), e quindi u xx + u yy =. 7

8 INGEGNERIA CIVILE - AMBIENTE E TERRITORIO ANALISI PROVA SCRITTA DEL SOLUZIONI ESERCIZIO 1 Calcolare + V F ndσ, dove V é il solido delimitato dalla superficie z = x y e dal piano z = 1 ed F = (x, y, z ). Si ha divf = + z. Applicando il teorema della divergenza troviamo: F ndσ = divf dxdydz + V = V 1 ρ = = = ( + z)ρdzdρdθ zρ + z ρ z=ρ dρ z=1 ρ + ρ 5 + ρ dρ ESERCIZIO Stabilire in quali regioni del piano la seguente forma differenziale é esatta: ω = (y x) (x y) dx + 1 (y x) 1 (y x) dy. Successivamente calcolare l integrale della forma differenziale lungo la curva parametrica seguente: t, 1. γ(t) = (t, sin(t) + t + + t), Si ha (y x) y 1 (y x) = 1 + (y x) 1 (y x) = x (x y) 1 (y x) e quindi la forma è chiusa. Inlotre essa è definita nel piano privato dei punti in cui 1 (y x) =, cioè privato delle rette y = x ± 1. Quindi la forma è esatta nei semipiani y > x + 1, y < x 1 e nella striscia x 1 < y < x + 1. Calcoliamo la primitiva: si ha f(x, y) = e la condizione f y = (y x) 1 (y x) dx = (xy) 1(yx) fornisce 1 1 (y x) d ( 1 (y x) ) = log 1 (y x) + φ(y) (x y) 1 (y x) + φ (y) = (x y) 1 (y x). Quindi possiamo prendere φ ed f(x, y) = log 1 (y x). 8

9 Lungo la curva γ abbiamo y = sin(t) + t + + t + t > 1 + t = 1 + x. Quindi la curva si trova nel sempiano y > x + 1 e il valore dell integrale è uguale alla differenza di f agli estremi, cioè ω = f(1, 5 ) f(, ) = log 5 log 5 =. γ ESERCIZIO Sviluppare in serie di Fourier di soli seni nell intervallo, la funzione x < / f(x) = 1 + x x < x esaminando la convergenza della serie ottenuta. E richiesto il disegno dell estensione periodica corrispondente. Osserviamo preliminarmente che f è discontinua nei punti e e quindi lo sviluppo convergerà puntualmente ma non totalmente. Procediamo ora con il calcolo dei coefficienti. Si ha: poiché e b = = / / = = x ( 1 + x ) sin xdx Si ha quindi, per x,, ( + 1) con convergenza solo puntuale. x x sin + sin x / / + sin per pari per dispari ( = ) = (1) sin ( = sin ) = (1) +1 sin. f(x) b sin x = =1 x, x = x = sin 9

10 ESERCIZIO Dopo aver determinato la soluzione stazionaria, risolvere il seguente problema dove u t u xx = x < x <, t >, u(x, ) = g(x) x, u(, t) = 1, u(, t) = t >, 1 + x + x x < / g(x) = + x + x + x x 1 + x + x < x Calcolare anche la velocità di convergenza alla soluzione stazionaria. Si tratta di un problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore in dimensione u s = + 1x 1. La soluzione stazionaria si trova risolvendo il problema, u s () = 1, u s () = +, la cui + 1, soluzione è: u s (x) = x + x + 1. Ponendo v(x, t) = u(x, t) u s (x), la funzione v deve risolvere il problema: v t v xx = < x <, t >, v(x, ) = f(x) x, v(, t) = v(, t) = t >, dove f è la funzione dell esercizio precedente. Quindi, se i coefficienti b sono come nella soluzione dell esercizio precedente, u(x, t) = u s (x) + v(x, t) = x + x Ne segue che, essendo max, f(x) = 1 + L ed D = si ha: b e t sin x. =1 ( u(x, t) u s (x) 1 + ) e t per ogni t. ESERCIZIO 5 Risolvere il seguente problema ut + x u x = t sin(t ) x R, t > u(x, ) = 1 + x x R. E richiesta la verifica della soluzione. Le curve caratteristiche si ottengono risolvendo il problema: x = x x() = x. Separando le variabili si ottiene: dx = dt, 1 x x iniziale, si trova C = 1 x e quindi x = ϕ(x, t) 1 = t + C, x = tc. Imponendo la condizione x 1 x t, x = ψ(x, t) 1 x xt + 1.

11 Sulle caratteristiche l equazione diventa: U = t sin(t ) U() = 1 + x. La soluzione generale è: U = (t ) + C. Imponendo la condizione iniziale si trova C = x e quindi U(x, t) = (t ) + x, u(x, t) = (t x ) + (xt + 1). Verifica. Si ha u(x, ) = 1 + x e poi u t + x u x = t sin(t ) x (xt + 1) + x x (xt + 1) x t (xt + 1) = t sin(t ). 11

12 INGEGNERIA CIVILE - AMBIENTE E TERRITORIO ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL ESERCIZIO 1 Stabilire se la seguente forma differenziale é esatta e, in caso affermativo, calcolarne la primitiva F tale che F (, ) = 1: ω = e x sin(x + y) + (x + y)dx + e x (x + y)dy. Successivamente calcolare dove γ 1 = ( t, sin t), t,. γ 1 ωdl, La forma è definita su tutto il piano. Inoltre la forma è chiusa: y ex sin(x + y) + (x + y)} = e x (x + y) sin(x + y) = x ex (x + y) e quindi anche esatta. Per calcolare la primitiva prima integriamo: F (x, y) = e x (x + y)dy = e x sin(x + y) + ϕ(x). Poi deriviamo: F x = ex sin(x + y) + e x (x + y) + ϕ (x) deve essere uguale a e x sin(x + y) + (x + y), quindi ϕ (x) = e possiamo prendere ϕ C tante. Imponendo F (, ) = 1 si trova C = 1, cioè F (x, y) = e x sin(x + y) + 1. Per finire, possiamo calcolare l integrale curvilineo usando la primitiva: γ 1 ωdl = F (1, ) F (1, ) = (e 1 + e) sin 1. ESERCIZIO Calcolare il seguente integrale triplo: dove A = Usando le coordinate sferiche: (x + y + z )dxdydz = A A (x + y + z )dxdydz (x, y, z) R : x + y + z 1, z x + y }. / 1 / = θ/ 5 / = 5. 1 ρ ρ sin θdρdθdϕ

13 ESERCIZIO Sviluppare in serie di Fourier di soli eni nell intervallo, la funzione 1 per x 1 per f(x) = < x 1 per < x 1 per < x Esaminare la convergenza della serie ottenuta e disegnare il grafico dell estensione periodica corrispondente. La funzione è discontinua e quindi la convergenza non sarà totale. Si ha a = 1, / / a = xdx xdx + / sin x / sin x / sin x / / / xdx sin x / f(x) = e poi, per xdx Quindi =1 = = sin sin sin sin + / + sin. + sin x = / / 1 x < /, / < x < / 1 / < x < /, / < x x = /, /, /. OSSERVAZIONI 1) Si ha sin = sin } = (1) +1 sin e quindi a = ( 1 + (1) +1 sin sin ). ) La funzione è dispari rispetto al punto /, e quindi i coefficienti di indice pari devono essere tutti nulli. Infatti, per = m a m = 1 + (1) m+1 sin m } m sin m = Osserviamo anche che per = m + 1 dispari si ha: (m + 1) (m + 1) a m+1 = sin sin (m + 1) ( m = sin (m + 1) + ) ( sin m + ) (m+1) 1 + (1) m/ per m pari = 1 + (1) (m1)/ per m dispari. (m+1) ESERCIZIO Risolvere il seguente problema u t u xx = < x <, t >, u(x, ) = f(x) x, u x (, t) =, u x (, t) = t >, 1

14 dove f(x) è la funzione dell esercizio precedente. Si tratta di un problema di Cauchy-Neumann per l equazione del calore in dimensione 1. La soluzione è: u(x, t) = =1 sin sin + sin e t x. ESERCIZIO 5 Risolvere il seguente problema uxx + u yy = 18(x + y ) x + y < 1 u = x y + 1 x + y = 1. E richiesta la verifica della soluzione trovata. E un problema di Dirichlet per l equazione di Poisson nel disco unitario. In coordinate polari abbiamo: 18(x + y ) = 18r, (x y + 1) x +y =1 = θ sin θ + 1 = θ 8 e quindi il problema diventa Urr + 1 r U r + 1 U r θθ = 18r < r < 1, θ U(1, θ) = θ θ. La soluzione va cercata nella forma U(r, θ) = v 1 (r) + v (r) θ. Per v 1 abbiamo il problema v r v 1 = 18r v 1 (1) = 9 8, v 1 limitata, la cui soluzione è v 1 (r) = 9 8 r. Per v abbiamo il problema v + 1 r v 16 r v = v (1) = 1 8, v limitata, la cui soluzione è v (r) = 1 8 r. Quindi la soluzione del problema iniziale è: U(r, θ) = 9 8 r 1 8 r θ = r + r θ sin θ =x + x y + y. Verifica: u x +y =1 = (x + y ) + x y x +y =1 = 1 + x y ; u xx + u yy = 1x + 6y + 6x + 1y = 18(x + y ). 1

15 INGEGNERIA CIVILE - ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL ESERCIZIO 1 Data, nel piano, la forma differenziale ( x ω = 1 + x + y x ) dx αy 1 + x + y dy, si discuta per quali valori di α R essa risulta chiusa. In tal caso: 1) si stabilisca in quali regioni del piano la forma ω risulta esatta; ) si calcoli l integrale della forma ω lungo la curva parametrica seguente: x = t γ : y = sin t t,. 15

16 Posto x X = 1 + x + y x αy Y = 1 + x + y bisogna trovare quel valore di α R tale che X y = Y x. Risulta: ( ) y xy X y = x (1 + x + y ) = (1 + x + y ) ( ) x αxy Y x = αy (1 + x + y ) = (1 + x + y ), dalle quali otteniamo che la curva è chiusa solo per α =. L insieme di definizione di ω è l intero piano R, e quindi l insieme è semplicemente connesso, proprietà che, unita alla chiusura di ω, segna l esattezza della stessa. Pertanto l integrale della forma è nullo, essendo la curva γ chiusa. ESERCIZIO Si consideri il dominio V = (x, y, z) R : (x 1) + y z y + }. Calcolare F n dσ, + V con F = ( x + e y, xy + arctan z, z + y sin x ). Si ha div F = 1 e quindi, posto D = (x, y) R : (x 1) + y y + } e usando il teorema della divergenza F n dσ = dxdydz = y + (x 1) y dxdy. + V V Il dominio D si può riscrivere come D = (x, y) R : (x 1) + (y 1) } e quindi, usando le coordinate polari decentrate nel punto (1, 1), si ottiene D (x 1) (y 1) dxdy = = D ρ ( ρ ) dρdθ ρ ( ρ ) dρ = = (8 ) = 8. ρ ρ ESERCIZIO Sviluppare in serie di Fourier di soli seni la funzione x per x f(x) = 1 per < x < x per x. 16

17 Esaminare la convergenza della serie ottenuta e disegnare il grafico dell estensione periodica corrispondente. La funzione è regolare a tratti e inoltre f() = = f(). Quindi la serie converge totalmente. Si ha poi: / x / ( ) x sin xdx Quindi b = sin xdx + = 6 x x + = 6 sin + =1 sin x 8 sin. sin / / + sin xdx + x / / / + sin sin x = + 8 x x + x x per x 1 per < x < x per x. sin x / ESERCIZIO Risolvere il seguente problema: ut + xu x tu = (1 t)x x R, t >, u(x, ) = x + x R. E richiesta la verifica della soluzione trovata. Le curve caratteristiche si ottengono risolvendo il problema: x = x x() = x. La soluzione generale è x(t) = Ce t e si trova C = x e quindi: x = ϕ(x, t) x e t, x = ψ(x, t) xe t. Sulle caratteristiche il problema diventa: U tu = (1 t)x e t U() = x +. La soluzione generale si può cercare nella forma U(t) = v(t)e t. Si ha allora U = v e t + tve t e quindi v (t) = x (1 t)e tt, v(t) = x e tt e U(t) = x e t + Ce t. Imponendo la condizione iniziale si trova C = e U(x, t) = x e t + e t. Infine, sostituendo x = e t, troviamo la soluzione: Verifica. Si ha u(x, ) = x + e poi u(x, t) = x + et. u t + xu x tu = te t + x 1 t x + et = x tx. 17

18 ESERCIZIO 5 Risolvere il seguente problema: ut u xx = x R, t > u(x, ) = sin x x R. Si tratta di un problema di Cauchy per l equazione del calore sulla retta. Si ha: u(x, t) = 1 + e s sin (x + s t)ds = = sin x + + e s sin(x + s t)ds 1 e s (s t)ds = et sin x 1 e9t sin x. sin x + + e s sin(x + s t)ds e s (6s t)ds Verifica: u(x, ) = sin x 1 sin x = sin x, u t u xx = et sin x + 9 e9t sin x et sin x + 9 e9t sin x =. 18

19 INGEGNERIA CIVILE - ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL ESERCIZIO 1 Calcolare il seguente integrale 9 x y dxdy con D = (x, y) R : y x + y 9}. D Il dominio D è la parte superiore (cioè ottenuta per y ) della zona ombreggiata nella figura seguente: y x 1 Passando in coordinate polari, le equazioni che tituiscono D diventano: ρ sin θ ρ 9. Da cui: θ,, sin θ ρ. Riscriviamo ora l integrale passando in coordinate polari: sin θ ρ 9 ρ dρdθ = 1 = 1 = 9 = 18 = 18 = 1 / ( 9 ρ ) / sin θ dθ ( 9 9 sin θ ) / dθ θ dθ (1 sin θ)d(sin θ) sin θ 1 sin θ / ESERCIZIO Calcolare l integrale V ( x + y + z ) dxdydz, 19

20 dove V è la regione al di sotto del paraboloide z = 5 x y, all interno del cilindro x + y = e al di sopra del piano xy. In coordinate cilindriche la regione si esprime con le condizioni: z 5 ρ, ρ, θ. Quindi: V ( x + y + z ) dxdydz = = = = = 5ρ 5ρ ρ ( ρ + z ) dzdρdθ ρ ( ρ + z ) dzdρ zρ + ρz 5ρ dρ (5 ρ ) ρ + ρ ( 5 ρ ) dρ 5 ρ 1 6 ρ6 + 5 ρ 5 ρ ρ6 = + 5 =6 ESERCIZIO Sviluppare in serie di Fourier di soli eni la funzione x < /6 1 /6 x / f(x) = / < x < / 1 / x 5/6 5/6 < x. Esaminare la convergenza della serie ottenuta e disegnare il grafico dell estensione periodica corrispondente. La funzione è discontinua e quindi la convergenza non sarà totale. Si ha a = 1, Quindi =1 a = sin 6 sin / /6 5/6 xdx + / + sin x /6 sin x = = sin 6 sin sin / 5/6 sin xdx / 5 + sin x = 6 + sin /6 < x < /, f(x) = e poi, per 1 / < x < 5/6, 1/ x = /6, /, 1/ x = /, 5/6, altrove.

21 OSSERVAZIONE La funzione è dispari rispetto al punto /, e quindi i coefficienti di indice pari devono essere tutti nulli. Infatti, sin ( = sin ) = (1) +1 sin sin 5 ( 6 = sin ) = (1) +1 sin 6 6 e quindi a = 1 + (1) +1 ( sin 6 sin ) pari = ( sin 6 sin ) dispari. ESERCIZIO Risolvere il seguente problema: dove f è la funzione dell esercizio precedente. u t 5u xx = < x <, t >, u(x, ) = f(x) + 1 x R, u x (, t) = u x (, t) = x R, Si tratta di un problema di Cauchy-Neumann per l equazione del calore in dimensione 1. Osserviamo che a (f + 1) = a (f) + a (1) e che a (1) =, a (1) = per 1. Alternativamente, la serie di Fourier di f(x) + 1 si ottiene aggiungendo 1 a quella di f. Quindi la soluzione è: u(x, t) = 1 + =1 sin 6 sin sin + sin 5 6 e 5t x. ESERCIZIO 5 Dopo aver calcolato e disegnato le caratteristiche, risolvere il seguente problema: ut 5uu x = x R, t >, dove u(x, ) = g(x) x R, g(x) = x x > x x <. E richiesta la verifica. Caratteristiche: x = x + x t per x >, x = x + 15x t per x <. Soluzione in forma implicita: x + 5ut x u = x + 5ut x < e quindi Verifica: per x > u t 5uu x = per x < u t 5uu x = u(x, t) = x 1+t x, x 1+15t x <. 8x (1 + t) 5 x 1 + t 5x (1 + t) 5 x 1 + t, 1 + t u(x, ) = x;, 1 + t u(x, ) = x. 1