Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del

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1 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche quelli della brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. punti Data la funzione i determinare il dominio; ii trovare tutti i punti critici liberi; fx, y x 4 + y 4 4x y + 3 iii trovare massimo e minimo assoluti di f ristretta all insieme D { x, y R : x + y } Suggerimento: potrebbe essere utile ricordare che cos 4 t sin 4 t sin t + Esercizio. punti Calcolare x + y dxdy con { x, y R : x, y x, x + y } Esercizio 3. punti Dato il campo di vettori Fx, y x y x +y x+y x +y i dire se è irrotazionale; ii dire se è conservativo; iii calcolare il lavoro di F lungo la curva γt 3 + log + sin t, cos t con t [, π]

2 Svolgimento Esercizio. Data la funzione fx, y x 4 + y 4 4x y + 3 i determinare il dominio; Il dominio della funzione è l insieme Dominio { x, y R : x 4 + y 4 4x y + 3 } che è il complementare della parte scurita nella figura 3 3 Figure : Il complementare del dominio di f ii trovare tutti i punti critici liberi; Bisogna trovare in punti nel dominio che annullano il gradiente. Intanto si trova fx, y e quindi ponendo f si ottengono nove punti,,,,,,,,,, x 3 4x x4 +y 4 4x y +3 y 3 y x4 +y 4 4x y +3,,,,,,, che annullano i numeratori. Imponendo che i punti siano nel dominio restano ammissibili solo tre punti che sono quindi tutti i punti critici liberi di f. P,, P,, P 3, iii trovare massimo e minimo assoluti di f ristretta all insieme D { x, y R : x + y } Suggerimento: potrebbe essere utile ricordare che cos 4 t sin 4 t sin t + Dobbiamo prendere in considerazione i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a D, sui punti critici vincolati al bordo di D, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non derivabilità della funzione.

3 L unico punto critico libero interno a D è P,. Per studiare i punti critici vincolati al bordo di D, usiamo la parametrizzazione γt cos t, sin t t [, π] per il bordo di D e sostituiamo in f, ottenendo la funzione di una variabile gt fcos t, sin t cos 4 t + sin 4 t 4 cos t sin +3 usando il suggerimento sin 4 t 4 cos t 4 sin +4 sin 4 t sin t Quindi derivando g t sin t cos t che si annulla per t, π, π, 3 π. Troviamo quindi i quattro punti critici vincolati Q,, Q,, Q 3,, Q 4, In questo caso non ci sono spigoli del bordo né punti di non derivabilità della funzione. Quindi dobbiamo confrontare i cinque valori fp 3, fq, fq, fq 3, fq 4 e concludiamo max D f 3, min D f Esercizio. Calcolare x + y dxdy con { x, y R : x, y x, x + y } L insieme su cui integrare la funzione fx, y è quello nella figura. La forma di e x +y Figure : L insieme la funzione suggeriscono di cambiare variabili nell integrale e usare le coordinate polari. Poniamo quindi 3

4 xρ, θ ρ cos θ e yρ, θ ρ, con ρ e θ [, π], e sostituendo in otteniamo che l insieme su cui integrare rispetto alle variabili ρ, θ è l insieme D dato da D { ρ, θ [, +, [, π] : cos θ,, ρ cos θ, ρ } { ρ, θ : θ π, } { cos θ ρ ρ, θ : θ θ, per un valore θ da trovare, si veda la figura 3. La restrizione da θ π } cos θ ρ a θ θ deriva dalla condizione Figure 3: L insieme D con θ in ascissa e ρ in ordinata. cos θ, che come si vede nella figura 3 è verificata solo per θ minore di un valore θ. Il valore di θ si ottiene risolvendo cos θ in, π, oppure ponendo sin θ ȳ o cos θ 5 x, dove x, ȳ, 5 è la soluzione in,, del sistema { y x Per l integrale otteniamo quindi θ x + y dxdy D x + y θ ρ ρ dρdθ cos θ 5 cos dθ θ θ θ cos θ arcsin dρ dθ + 5 Esercizio 3. Dato il campo di vettori i dire se è irrotazionale; Per un campo di vettori in R si ha Fx, y x y x +y x+y x +y rotf F x F y x + y x + yx x + y x y x yy x + y 4

5 Quindi F è irrotazionale. ii dire se è conservativo; Il dominio di F è l insieme R \ {, } che non è semplicemente connesso. Dobbiamo quindi studiare il lavoro di F lungo una curva chiusa intorno all origine, ad esempio la circonferenza Si ottiene dalla formula γt cos t, sin t t [, π] LF, γ π < Fγt, γ t > dt Quindi il campo non è conservativo. π iii calcolare il lavoro di F lungo la curva γt [cos t sin t sin t + cos t + sin t cos t] dt 3 + log + sin t, cos t con t [, π] π dt π Possiamo applicare il Teorema del Rotore o il suo corollario per campi irrotazionali se valgono le seguenti condizioni le ipotesi del teorema: il campo deve essere differenziabile; la curva deve essere chiusa, di classe C a tratti e orientata positivamente; la parte interna U della curva deve essere contenuta nel dominio del campo. Verifichiamo le condizioni nel nostro caso. Il campo è differenziabile perché le sue componenti si ottengono come composizione di funzioni differenziabili. La curva è chiusa perché γ 3 + log, γπ, è di classe C perché le sue componenti si ottengono come composizione di funzioni di classe C, e l orientazione la possiamo ignorare perché cambierebbe solo il segno, ma essendo il campo irrotazionale il lavoro sarà nullo, quindi non cambia niente nel corollario per campi irrotazionali infatti l orientazione non viene menzionata. Infine bisogna verificare che, U. Per far questo si può disegnare la curva vedi figura 4 oppure basta Figure 4: La curva γ osservare che min t xt 3 e quindi, non può essere nella parte interna della curva. Applichiamo quindi il Teorema del Rotore e concludiamo che LF, γ rotf dxdy U 5