Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 19/06/2010 A

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del 9/6/ A ) ata la funzione f(x, y) x y log( + x + y ), a) stabilire dove risulta derivabile parzialmente nel suo dominio e calcolarne le derivate parziali, b) stabilire dove risulta differenziabile nel suo dominio. ) Calcolare il lavoro del campo F (x, y, z) (z, y, x + z) lungo la curva semplice avente per sostegno l intersezione del cilindro 4x + y y con il piano z x + nella regione y. ) Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) ( x + y, z, z x + y ) uscente dalla superficie T essendo T (x, y, z) IR x + y y, z [, ]}. 4) eterminare la soluzione del problema di Cauchy y y x + ( x ) y y() 4

2 Soluzione.a) La funzione data risulta definita e continua in tutto IR. Inoltre, essendo (x y) log( + x + y ) se x y f(x, y) (y x) log( + x + y ) se x < y possiamo affermare che la funzione risulta derivabile parzialmente in ogni punto (x, y ) IR tale che x y con x (x, y ) log( + x + y) x + (x y ) + x + y e y (x, y ) log( + x + y) y + (x y ) + x + y se x > y, mentre x (x, y ) log( + x + y) x + (y x ) + x + y e y (x, y ) log( + x + y) y + (y x ) + x + y se x < y. Rimane da discutere la derivabilità nei punti della retta x y. Nell origine del piano si ha che la funzione risulta derivabile parzialmente rispetto ad x e ad y con f(h, ) f(, ) h log( + h ) (, ) lim lim x h h h h e f(, h) f(, ) (, ) lim y h h lim h h log( + h ) h La funzione non risulta invece derivabile parzialmente nei restanti punti della retta x y. Infatti, nel punto (y, y ), con y avremo che la funzione non risulta derivabile parzialmente sia rispetto ad x che ad y poichè essendo log( + 5y) non esistono i limiti e f(y + h, y ) f(y, y ) lim h h f(y, y + h) f(y, y ) lim h h lim h h log( + (y + h) + y ) h lim h h log( + (y + h) + y ) h log( + 5y) h lim h h log(+5y) h lim h h

3 .b) Per il Teorema del differenziale, essendo le derivate parziali continue in ogni punto (x, y ) con x y, la funzione risulta differenziabile in tali punti. Non risulta invece differenziabile nei punti della retta x y con y non essendo ivi derivabile parzialmente. La funzione risulta infine differenziabile nell origine del piano in quanto lim (x,y) (,) f(x, y) f(, ) (, )x (, )y x y x + y lim (x,y) (,) Infatti, passando alle coordinate polari risulta ρ cos θ ρ sin θ log( + ρ ) lim ρ + ρ uniformemente rispetto a θ, essendo per ogni θ [, π] x y log( + x + y ) x + y., θ [, π] ρ cos θ ρ sin θ log( + ρ ) cos θ sin θ log(+ρ ) log(+ρ ), per ρ +. ρ ) Osservato che 4x + y y x + (y ), 4 per ottenere una parametrizzazione della curva si possono utilizzare le coordinate polari ellittiche ponendo x cos θ, γ(θ) : y + sin θ, z + cos θ. alla limitazione y + sin θ si ottiene che θ [, π]. Ne segue che γ (θ) ( sin θ, cos θ, sin θ) e dunque che F ds F (γ(θ)) γ (θ) dθ γ sin θ( + cos θ) + cos θ( + sin θ) sin θ( + cos θ) dθ [ ( + cos θ) + ( + sin θ) + ] π ( + cos θ) 5 4 ) al Teorema della divergenza risulta F N u dσ divf dxdydz T T T x + x + y dxdydz

4 Per calcolare l integrale a secondo membro osserviamo che T T (x, y, z) IR (x, y), z [, ]} essendo (x, y) IR x + y y}. Integrando per fili si ottiene x + x + y dxdydz x + x + y dz)dxdy x + x + y dxdy. Per calcolare l ultimo integrale utilizziamo le coordinate polari x ρ cos θ Φ : y ρ sin θ ed osservato che x + y otteniamo x + y y Φ () E (ρ, θ) θ [ π 6, 5π 6 x ± y ], ρ sin θ},5,5 - -,5 - -,5,5,5 π/6 -,5 - Ne segue allora che x + x + y dxdy 5π 6 π 6 5π 6 π 6 E ( + ρ cos θ)dρdθ sin θ ( + ρ cos θ dρ) dθ 5π 6 ( cos θ sin θ + sin θ cos θ ) dθ [ sin θ cos θ + sin θ θ 4 ] 5π 6 π 6 π 6 ] sin θ [ρ + ρ cos θ ( π ). dθ

5 e dunque T F N u dσ 4( π ). 4) L equazione è equazione differenziale di Bernoulli. Per risolvere tale equazione poniamo z(x) y (x) y(x) essendo y(x) soluzione del problema proposto. Con tale posizione si ottiene y(x) z (x) e dunque y (x) z(x)z (x) e quindi che z(x) dovra soddisfare il problema di Cauchy z z + ( x x ) z() y() L equazione differenziale nell incognita z è lineare del primo ordine non omogenea, cioè del tipo z a(x)z + b(x). L integrale generale sarà allora della forma z(x) e A(x) ( b(x)e A(x) dx + c), c IR, dove A(x) è una primitiva di a(x). Essendo a(x) ed il dato iniziale in x x < scegliamo come primitiva la funzione A(x) log( x). L integrale generale dell equazione data sarà allora z(x) e log( x) ( ( x )e log( x) dx + c) ( x)( ( + x) dx + c) ( x)( x + x 4 + c), c IR. Imponendo la condizione iniziale z() si ottiene c e quindi che z(x) ( x)( x + x 4 + ). La soluzione del problema di Cauchy proposto risulta allora y(x) z (x) ( x) ( x + x 4 + ). 5

6 Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del 9/6/ B ) ata la funzione f(x, y) x y log( + x + y ), a) stabilire dove risulta derivabile parzialmente nel suo dominio e calcolarne le derivate parziali, b) stabilire dove risulta differenziabile nel suo dominio. ) Calcolare il lavoro del campo F (x, y, z) (x, z, y + z ) lungo la curva semplice avente per sostegno l intersezione del cilindro x + 9y x con il piano z y + nella regione x. ) Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) (z, x + y, z x + y ) uscente dalla superficie T essendo T (x, y, z) IR 4 x + y 4x, z [, ]}. 4) eterminare la soluzione del problema di Cauchy y y() 4 y x + (x 4)y 6

7 Soluzione.a) La funzione data risulta definita e continua in tutto IR. Inoltre, essendo (x y) log( + x + y ) se x y f(x, y) (y x) log( + x + y ) se x < y possiamo affermare che la funzione risulta derivabile parzialmente in ogni punto (x, y ) IR tale che x y con x (x, y ) log( + x + y) x + (x y ) + x + y e y (x, y ) log( + x + y) y + (x y ) + x + y se x > y, mentre x (x, y ) log( + x + y) x + (y x ) + x + y e y (x, y ) log( + x + y) y + (y x ) + x + y se x < y. Rimane da discutere la derivabilità nei punti della retta y x. Nell origine del piano si ha che la funzione risulta derivabile parzialmente rispetto ad x e ad y con f(h, ) f(, ) h log( + h ) (, ) lim lim x h h h h e f(, h) f(, ) (, ) lim y h h lim h h log( + h ) h La funzione non risulta invece derivabile parzialmente nei restanti punti della retta y x. Infatti, nel punto (x, x ), con x avremo che la funzione non risulta derivabile parzialmente sia rispetto ad x che ad y poichè essendo log( + x ) non esistono i limiti f(x + h, x ) f(x, x ) lim h h e f(x, x + h) f(x, x ) lim h h lim h h log( + (x + h) + 9x ) h lim h h log( + (x + h) + x ) h 7 log(+x h ) lim h h log( + x h ) lim h h

8 .b) Per il Teorema del differenziale, essendo le derivate parziali continue in ogni punto (x, y ) con y x, la funzione risulta differenziabile in tali punti. Non risulta invece differenziabile nei punti della retta y x distinti dall origine non essendo ivi derivabile parzialmente. La funzione risulta infine differenziabile nell origine del piano in quanto lim (x,y) (,) f(x, y) f(, ) (, )x (, )y x y x + y lim (x,y) (,) Infatti, passando alle coordinate polari risulta ρ cos θ ρ sin θ log( + ρ ) lim ρ + ρ uniformemente rispetto a θ, essendo per ogni θ [, π] x y log( + x + y ) x + y., θ [, π] ρ cos θ ρ sin θ log( + ρ ) cos θ sin θ log(+ρ ) 4 log(+ρ ), per ρ +. ρ ) Osservato che x + 9y x (x ) (y ) +, 9 per ottenere una parametrizzazione della curva si possono utilizzare le coordinate polari ellittiche ponendo x + cos θ, γ(θ) : y sin θ, z + sin θ. alla limitazione x + cos θ si ottiene che θ [ π, π]. Ne segue che γ (θ) ( sin θ, cos θ, cos θ) e dunque che γ F ds π π F (γ(θ)) γ (θ) dθ sin θ( + cos θ) + cos θ( + sin θ) + cos θ( + sin θ) dθ [ ( + cos θ) + ( + sin θ) + 4 ( + sin θ) ] π π 7 8 8

9 ) al Teorema della divergenza risulta F N u dσ divf dxdydz T Per calcolare l integrale a secondo membro osserviamo che T T (x, y, z) IR (x, y), z [, ]} T y + x + y dxdydz essendo (x, y) IR 4 x + y 4x}. Integrando per fili si ottiene y + x + y dxdydz y + ( x + y dz)dxdy y + x + y dxdy. T Per calcolare l ultimo integrale utilizziamo le coordinate polari x ρ cos θ Φ : y ρ sin θ osservato che Φ () E (ρ, θ) θ [ π, π ], ρ 4 cos θ}. π/ Si ottiene allora y + x + y dxdy π π 4 cos θ ( E ( + ρ sin θ)dρdθ + ρ sin θ dρ) dθ π ( cos θ + 4 sin θ cos θ sin θ) dθ [ sin θ 4 cos θ θ + cos θ ] π π ] 4 cos θ [ρ + ρ sin θ 4( π ) dθ 9

10 e quindi T F N u dσ 4( π ). 4) L equazione è equazione differenziale di Bernoulli. Per risolvere tale equazione poniamo z(x) y (x) y(x) essendo y(x) soluzione del problema proposto. Con tale posizione si ottiene y (x) z (x) z (x) e quindi che z(x) dovra soddisfare il problema di Cauchy z z x + (4 x ) z() y() 4 L equazione differenziale nell incognita z è lineare del primo ordine non omogenea, cioè del tipo z a(x)z + b(x). L integrale generale sarà allora della forma z(x) e A(x) ( b(x)e A(x) dx + c), c IR, dove A(x) è una primitiva di a(x). Essendo a(x) x < scegliamo come primitiva la funzione A(x) log( x). L integrale generale dell equazione data sarà allora z(x) e log( x) ( (4 x )e log( x) dx + c) ( x)( + x dx + c) ( x)(x + x + c), c IR. Imponendo la condizione iniziale z() 4 si ottiene c e quindi che z(x) ( x)(x + x + ). Si ottiene allora che la soluzione del problema di Cauchy proposto è data da y(x) z(x) ( x)(x + x + ).

11 Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del /7/ A ) ata la funzione f(x, y) x y y, a) determinare, se esistono, punti di massimo e di minimo relativi nel suo dominio, b) determinare i punti di massimo e di minimo assoluti nell insieme (x, y) IR x + y, y }. ) ata la curva ϕ(t) (t t, t ), t [, ], a) stabilire se regolare e chiusa, b) determinare versori tangente e normale in ϕ(), c) calcolare l area della regione del piano delimitata dal sostegno della curva. ) eterminare le coordinate del baricentro della superficie avente per sostegno la porzione di sfera S (x, y, z) IR x + y + z 9, x, z } di densità di massa σ(x, y, z) x. 4) ata l equazione y + y 6y 6 + e x a) determinarne l integrale generale, b) determinare, se esistono, soluzioni per le quali lim y(x) IR e y(). x +

12 Soluzione.a) La funzione risulta definita e di classe C su tutto IR. Ne segue che gli eventuali punti di massimo e minimo relativo saranno punti stazionari della funzione. I punti stazionari sono le soluzione del sistema x (x, y) xy y (x, y) x y che ammette come unica soluzione il punto O(, ). Essendo f(, y) y funzione strettamente decrescente, avremo che O(, ) non risulta ne punto di minimo ne punto di massimo relativo. Ne segue che la funzione non ammette massimi e minimi relativi nel suo dominio..b) Essendo la funzione continua sull insieme chiuso e limitato, dal Teorema di Weierstrass la funzione ammette massimo e minimo assoluto in. Per quanto provato nel precedente punto, la funzione non ammette punti stazionari interni a, dunque massimo e minimo assoluti dovranno necessariamente appartenere alla frontiera. Per studiare i punti di massimo e di minimo della funzione sull arco di ellisse x +y, y, possiamo procedere direttamente, utilizzando una parametrizzazione dell arco, oppure utilizzando il metodo di Lagrange. Nel primo caso, utilizzando le coordinate polari ellittiche x cos θ, θ [, π], y sin θ studiamo la funzione g(θ) f( cos θ, sin θ) cos θ sin θ sin θ, θ [, π]. Risulta g (θ) 4 cos θ(cos θ sin θ) se e solo se θ [, π] [ π, 5π ]. Ne segue che 6 6 max g(θ) g(π [,π] 6 ) g(5π 6 ) f(±, ) e min g(θ) g(π [,π] ) f(, ). In alternativa, considerando la simmetria della funzione rispetto all asse y, si poteva studiare la funzione h(y) f( y, y) (y 4 y ), y [, ],

13 ottenendo max h(y) h( y [,] ) f(, ) e min h(y) h() f(, ) y [,]. Utilizzando il metodo di Lagrange, posto G(x, y) x + y, determiniamo i punti stazionari della Lagrangiana Abbiamo F (x, y, λ) f(x, y) λ(g(x, y) ) x y y λ(x + y ) F x (x, y, λ) xy λy x(y λ) F y (x, y, λ) x y 4λy F (x, y, λ) λ x + y Tale sistema ammette come soluzioni x x y ±, y ± λ λ ± e x y ± λ ± unque gli unici candidati punti di massimo e di minimo per f(x, y) in Z (x, y) IR x + y, y } sono i punti (, ) e (±, ). Poichè f(, ) mentre f(±, ) ne concludiamo max f(x, y) f(± Z, ) e min Z f(x, y) f(, ). Infine, essendo f(x, ) per ogni x [, ], da quanto ottenuto sopra concludiamo max f(x, y) f(±, ) e min f(x, y) f(, ). ) La curva risulta chiusa essendo ϕ( ) ϕ() (, ). La curva risulta regolare in quanto di classe C e ϕ (t) (t, t) (, ) per ogni t (, ), infatti posto ϕ(t) (x(t), y(t)), risulta y (t) t solo se t e per tale valore x (t) t

14 risulta non nullo. Si ha che ϕ () (, ) e dunque che T () (, ) e N() (, ). Infine, detta la regione del piano delimitata dalla curva ed osservato che la curva determina un orientamento in senso orario di, dalle formule di Gauss-Green otteniamo area() dxdy ydx y(t)x (t)dt (t )(t )dt [ 5 t5 4 t + t ] 8 5 t 4 4t + dt ) Per determinare una parametrizzazione della superficie possiamo utilizzare le coordinate sferiche con ρ : x sin ϕ cos θ Φ : y sin ϕ sin θ, z cos ϕ ove, dalla limitazione x sin ϕ cos θ, si ha θ [ π, π ], mentre da z cos ϕ otteniamo ϕ [ π, π]. Posto allora [ π, π] [ π, π], essendo Φ φ Φ θ 9 sin ϕ, abbiamo m(s) x dσ ( sin ϕ cos θ)(9 sin ϕ)dϕ dθ 7 S π π sin ϕ dϕ 9 (π + ). π sin θ dθ 7 [ϕ sin ϕ cos ϕ] π π [sin θ] π π ette allora (x B, y B, z B ) le coordinate del baricentro, osserviamo che per simmetria risulta y B z B mentre x B x dσ m(s) S 9(π + ( sin ϕ cos θ) (9 sin ϕ)dϕ dθ ) π 8 π + sin ϕ dϕ π [ 9 cos π + ϕ cos ϕ π ] π 4 π cos θ dθ [θ + sin θ cos θ] π π π 4(π + ).

15 4) L equazione è equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea. Per risolvere tale equazione determiniamo innanzitutto l integrale generale dell equazione omogenea associata y + y 6y. L equazione caratteristica λ + λ 6 ammette due radici reali distinte λ e λ, quindi l integrale generale dell equazione omogenea associata è y (x) c e x + c e x, c, c IR. Cerchiamo ora una soluzione particolare dell equazione non omogenea. Come da suggerimento, cerchiamo tale soluzione della forma y p (x) A + Bxe x. erivando due volte e sostituendo nell equazione otteniamo A e B. unque, la soluzione particolare 5 cercata è y p (x) x 5 e x e per i noti teoremi sulle equazioni differenziali lineari non omogenee, l integrale generale dell equazione data è allora y(x) y (x) + y p (x) c e x + c e x x 5 e x dove c, c IR sono costanti arbitrarie. Osserviamo ora che risulta lim y(x) IR se e x + solo se c. unque le sole soluzioni che ammettono limite finito per x + sono le funzioni y(x) c e x x 5 e x, c IR. Tra tali soluzioni risulta y() se e solo se c. unque l unica soluzione soddisfacente le condizioni richieste è y(x) e x x 5 e x. 5

16 Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del /7/ B ) ata la funzione f(x, y) xy 4 x, a) determinare, se esistono, punti di massimo e di minimo relativi nel suo dominio, b) determinare i punti di massimo e di minimo assoluti nell insieme (x, y) IR 4x + y 4, x }. ) ata la curva ϕ(t) ( t, t t ), t [, ], 4 4 a) stabilire se regolare e chiusa, b) determinare versori tangente e normale e curvatura in ϕ(), c) calcolare l area della regione del piano delimitata dal sostegno della curva. ) eterminare le coordinate del baricentro della superficie avente per sostegno la porzione di sfera S (x, y, z) IR x + y + z 4, y, z } di densità di massa σ(x, y, z) y. 4) ata l equazione y y 8y 8 e x a) determinarne l integrale generale, b) determinare, se esistono, soluzioni per le quali lim y(x) IR e y(). x + 6

17 Risultati.a) La funzione non ammette massimi e minimi relativi nel suo dominio..b) Risulta max f(x, y) f(, ± ) 4 e min f(x, y) f(, ) 4. ) La curva risulta chiusa e regolare. I versori tangente e normale in ϕ() sono T () (, ) e N() (, ). etta la regione del piano delimitata dalla curva, dalle formule di Gauss-Green, si ha area() x dy ) Otteniamo una parametrizzazione della superficie utilizzando le coordinate sferiche con ρ : x sin ϕ cos θ Φ : y sin ϕ sin θ, ϕ [ π 4, π], θ [, π]. 4 z cos ϕ ette (x B, y B, z B ) le coordinate del baricentro, osserviamo che per simmetria risulta x B z B mentre y B y dσ ( sin ϕ sin θ) (4 sin ϕ)dϕdθ 5π m(s) S m(s) [ π 4, 4 π] [,π] (π + ). essendo m(s) y dσ ( sin ϕ sin θ)(4 sin ϕ)dϕdθ 4(π + ). [ π 4, 4 π] [,π] S 4) L integrale generale dell equazione è y(x) y (x) + y p (x) c e 4x + c e x + x 6 e x, c, c IR. Tra tali soluzioni l unica soddisfacente le condizioni richieste è y(x) e x + x 6 e x. 7

18 Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del /9/ ) ata la funzione f(x, y) a) Stabilire se risulta continua nel suo dominio, (x y) log(x + y ) se (x, y) (, ) se (x, y) (, ), b) Stabilire dove risulta derivabile nel suo dominio e calcolarne le derivate parziali, c) eterminare per quali versori ν IR esiste (, ). ν ) Calcolare il lavoro del campo F (x, y, z) (z, x, y) lungo la curva semplice γ avente per sostegno l intersezione del cilindro x + y 6x con il piano x + z nella regione x. ) eterminare il volume del solido ottenuto dalla rotazione del dominio attorno all asse z di un angolo pari a π. (y, z) IR z + y y} 4) ato il campo vettoriale F (x, y, z) ( z xy, y z log x, log z + y a) eterminarne il dominio, z log x ), y b) Stabilire se il campo è conservativo sul suo dominio ed in caso affermativo determinarne un potenziale. c) Calcolarne il lavoro lungo la curva ϕ(t) ( + t, t, e t ), t [, ]. 8

19 Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del 5/9/ ) ata la funzione f(x, y) x log(x + y ), a) determinarne il dominio b) determinarne, se esistono, punti di massimo e di minimo relativi nel suo dominio, c) determinarne i punti di massimo e di minimo assoluti nell insieme (x, y) IR x y }. ) ata la curva ϕ(t) (t, cosh t), t [, ], (dove si ricorda che cosh t et +e t ), a) determinare versore tangente e normale nel punto ϕ(), b) determinare la curvatura e l equazione del cerchio osculatore nel punto ϕ(), c) calcolarne la lunghezza. ) Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) (y, x, ) attraverso la superficie avente per sostegno la porzione di paraboloide ellittico S (x, y, z) IR z y + x, z }. 4) eterminare l integrale generale dell equazione y + y 4y xe x. 9

20 Soluzione.a) La funzione risulta definita nel dominio A (x, y IR x + y > }..b) Poichè la funzione risulta di classe C nel dominio aperto A ne segue che gli eventuali punti di massimo e minimo relativo saranno punti stazionari della funzione. I punti stazionari sono le soluzione del sistema (x, y) log(x + x y ) + x x+y y (x, y) xy x+y che ammette come unica soluzione i punti P ± (, ±) e Q(, ) appartenenti a A. Per determinare la natura di tali punti stazionarii valutiamo il determinante Hessiano. e Essendo risulta mentre f x + y (x, y) x (x + y ), f x y (x, y) y (x + y ) f y (x, y) x 4xy (x + y ) Hf(, ±) ± ± Hf( e, ) e ± 4 e Quindi i punti P ± (, ±) risultano punti di sella mentre Q(, ) risulta punto di minimo e relativo con f(, ). e e.c) Essendo la funzione continua sull insieme chiuso e limitato, dal Teorema di Weierstrass la funzione ammette massimo e minimo assoluto in. Per quanto provato nel precedente punto, la funzione ammette un unico punto stazionario interno a : il punto Q(, ) di minimo relativo. Cerchiamo ora dunque massimi e minimi relativi appartenenti e alla frontiera. Abbiamo che g(y) f(, y) log( + y ) risulta crescente per y e decrescente per y. unque max y [, g(y) g(± ] ) f(, ± )

21 mentre min y [, g(y) g() f( ], ) log. Per studiare i punti di massimo e di minimo della funzione sull arco di parabola x y, x [, ], possiamo procedere direttamente, utilizzando una parametrizzazione dell arco. Risulta h(x) f( y, y), dunque la funzione risulta costante ed ogni punto dell arco di parabola x y, x [, ] risulta sia punto di massimo che punto di minimo. a quanto ottenuto sopra, essendo f(, ) > e e f(, ) log ne concludiamo che risultano punti di massimo assoluto tutti i punti dell arco di parabola x y, x [, ] mentre punto di minimo assoluto risulta il punto P (, ): max f(x, y) f( y, y) e min f(x, y) f(, ) log. ) La curva risulta regolare essendo di classe C e ϕ (t) (, sinh t) (, ) per ogni t (, ), dove si ricorda che sinh t et e t. Si ha che ϕ () (, ) e dunque che T () ϕ () ϕ ()} Risulta ϕ (t) (, cosh t) e dunque (, ) e N() (, ). k() N() ϕ () ϕ () (, ) (, ). Ne segue che il raggio di curvatura è r(). unque, essendo la curvatura k() positiva, l equazione del cerchio osculatore nel punto ϕ() (, ) è x + (y ). Infine, essendo la curva di classe C, dal Teorema di rettificabiltà la lunghezza della curva è data da ϕ (t) dt + sinh t dt cosh t dt [sinh t] e e ) Per determinare una parametrizzazione della superficie possiamo utilizzare le coordinate cartesiane: x u Φ : y v, (u, v) z u + v

22 ove, dalla limitazione z, si ottiene che (u, v) IR u +y }. Essendo Φ u (u, v) (,, u) e Φ v (u, v) (,, 6v) si ottiene che Φ u (u, v) Φ v (u, v) ( u, 6v, ) e dunque, essendo F (Φ(u, v)) (v, u, ), dalla definizione di flusso di un campo si ottiene F N dσ F (Φ(u, v)), Φ u (u, v) Φ v (u, v) dudv S (v, u, ) ( u, 6v, ) dudv uv + uv dudv. Per calcolare l ultimo integrale operiamo un cambiamento di variabili utilizzando le coordinate polari ellittiche u ρ cos θ (ρ, θ) T v ρ sin θ essendo T [, ] [, π]. Otteniamo F N dσ ( ρ 4 cos θ sin θ + ρ cos θ sin θ) ρ dρdθ S T 6 ρ 5 cos θ sin θ + ρ cos θ sin θ dρdθ 6( T ρ 5 dρ cos θ sin θ dθ + In alternativa potevamo utilizzare la parametrizzazione x ρ cos θ Φ : y ρ sin θ, (ρ, θ) z ρ ρ dρ cos θ sin θ dθ) alla limitazione z, si ottiene che (ρ, θ) θ [, π], ρ [, ]}. Essendo Φ ρ (ρ, θ) ( cos θ, sin θ, 6ρ) e Φ θ (ρ, θ) ( ρ sin θ, ρ cos θ, ) si ottiene che e dunque S F N dσ 6 Φ θ (ρ, θ) Φ ρ (ρ, θ) (6ρ cos θ, 6 ρ sin θ, ρ) 6( ρ 5 cos θ sin θ + ρ cos θ sin θ dρdθ ρ 5 dρ cos θ sin θ dθ + ρ dρ cos θ sin θ dθ)

23 4) L equazione è equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea. Per risolvere tale equazione determiniamo innanzitutto l integrale generale dell equazione omogenea associata y + y 4y. L equazione caratteristica λ + λ 4 (λ )(λ + 4) ammette due radici reali distinte λ e λ 4, quindi l integrale generale dell equazione omogenea associata è y (x) c e x + c e 4x, c, c IR. Cerchiamo ora una soluzione particolare dell equazione non omogenea. Come da suggerimento, cerchiamo tale soluzione della forma y p (x) x(ax + B)e x. erivando due volte e sostituendo nell equazione otteniamo A e B. unque, la soluzione particolare 5 cercata è y p (x) x( x 5 )ex e per i noti teoremi sulle equazioni differenziali lineari non omogenee, l integrale generale dell equazione data è allora y(x) y (x) + y p (x) c e x + c e 4x + x( x 5 )ex dove c, c IR sono costanti arbitrarie.

24 Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del // ) ata la funzione f(x, y) xy, a) stabilire se risulta continua nel suo dominio; b) stabilire dove risulta derivabile parzialmente e calcolarne le derivate parziali, c) stabilire se risulta differenziabile nel suo dominio. ) Calcolare la lunghezza della curva semplice avente per sostegno la frontiera dell insieme (x, y) IR x + y 5, y x}. ) Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) (xy, yz, xz) uscente dalla superficie S frontiera del solido T (x, y, z) IR x y, z x y }. 4) eterminare la soluzione del problema di Cauchy y e x+y y() 4

25 Soluzione.a) La funzione risulta definita in tutto il piano IR dove risulta continua essendo composizione di funzioni continue..b) Essendo f(x, y) xy se xy xy se xy < possiamo affermare che la funzione risulta derivabile parzialmente in ogni punto (x, y ) IR tale che x y con x (x, y ) ± y xy e y (x, y ) ± x y xy per ± x y >. Rimane da discutere la derivabilità nei punti degli assi cartesiani. Nell origine del piano si ha che la funzione risulta derivabile parzialmente rispetto ad x e ad y con (, ) (, ) essendo f(x, ) f(, y) per ogni x, y IR. x y La funzione risulta derivabile parzialmente nei restanti punti dell asse x con (x x, ), essendo f(x, ) per ogni x IR, e y (x f(x, h) f(x, ), ) lim h h lim h x h La funzione non risulta invece derivabile parzialmente rispetto a x nei punti dell asse y diversi dall origine. Infatti, se y non esiste il limite f(h, y ) f(, y ) h lim lim y h h h h mentre, essendo f(, y) per ogni y IR, risulta (, y y )..c) Per il Teorema del differenziale, essendo le derivate parziali continue in ogni punto (x, y ) con x y, la funzione risulta differenziabile in tali punti. La funzione risulta inoltre differenziabile nell origine del piano in quanto lim (x,y) (,) f(x, y) f(, ) (, )x (, )y Infatti, passando alle coordinate polari risulta ρ4 cos θ sin θ lim ρ + ρ x y x + y lim (x,y) (,) h. xy x + y. lim ρ cos θ sin θ, θ [, π] ρ + 5

26 uniformemente rispetto a θ, essendo per ogni θ [, π], ρ cos θ sin θ ρ. Anche nei restanti punti dell asse delle ascisse la funzione risulta differenziabile essendo lim (x,y) (x,) f(x, y) f(x, ) (x x, )(x x ) (x y, )y (x x ) + y lim (x,y) (x,) Infatti, passando alle coordinate polari risulta (x + ρ cos θ)ρ sin θ lim ρ + ρ xy (x x ) + y. lim ρ (x + ρ cos θ) sin θ, θ [, π] ρ + uniformemente rispetto a θ, essendo per ogni θ [, π], ρ (x + ρ cos θ) sin θ ρ x + ρ per ρ +. Infine la funzione non risulta differenziabile nei punti dell asse y distinti dall origine non essendo ivi derivabile parzialmente. ) Osservato che la frontiera si può decomporre nell unione delle tre curve γ, γ e γ di parametrizzazione risulta γ : ϕ (t) (t, ), t [, 5], γ : ϕ (t) ( 5 cos t, 5 sin t), t [, arccos 5 ], γ : ϕ (t) (t, t), t [, ], L( ) L(γ ) + L(γ ) + L(γ ) 5 5 ϕ (t) dt + dt + arccos 5 arccos 5 ϕ (t) dt + 5 dt + t + dt arccos log( + ) ϕ (t) dt 6

27 ) al Teorema della divergenza risulta F N u dσ divf dxdydz T T T x + y + z dxdydz Per calcolare l integrale a secondo membro possiamo utilizzare le coordinate sferiche x ρ sin ϕ cos θ Φ : y ρ sin ϕ sin θ z ρ cos ϕ osservato che Φ (T ) E (ρ, θ, ϕ) ϕ [, π ], θ [π, π ], cos ϕ ρ }. Otteniamo allora F N u dσ x + y + z dxdydz T T ρ (sin ϕ(cos θ + sin θ) + sin ϕ cos ϕ) dρ dϕ dθ 4 4 E 8 π 84 6 ( π 6 cos 4 ϕ )(sin ϕ(cos θ + sin θ) + sin ϕ cos ϕ)dθdϕ ( 6 cos 4 ϕ )( sin ϕ + π sin ϕ cos ϕ)dϕ 6 sin ϕdϕ + π sin ϕ cos ϕ dϕ ( π 6 sin ϕ cos ϕ dϕ [ϕ sin ϕ cos ϕ] π + π [ sin ϕ ] π ) + π π π 64 + π 8 56 ( )(π ) 9 sin ϕ cos 4 ϕ dϕ [ tan ϕ ] π π [ 768 cos ϕ In alternativa, per calcolare l integrale triplo a secondo membro osserviamo che T (x, y, z) IR (x, y), x y } 7 ] π

28 essendo (x, y) IR x y, x + y }. Integrando per fili si ottiene 4 T x + y + z dxdydz x y ( x + y + z dz)dxdy (x + y)( x y ) + ( x y 4 ) dxdy. Per calcolare l ultimo integrale utilizziamo le coordinate polari x ρ cos θ Φ : y ρ sin θ ed osservato che otteniamo x + y 4 y x y x 4 y 4 Φ () E (ρ, θ) θ [ π, π ], ρ [, ]} Ne segue allora che F N u dσ (x + y)( x y T ) + ( x y 4 ) dxdy ρ (cos θ + sin θ)( ρ ) + ρ ( 4 ρ )dρdθ... E 4) L equazione differenziale è equazione a variabili separabili del tipo y a(x)b(y) con a(x) e x e b(y) e y. Le soluzioni dell equazione saranno date dalla formula B(y) A(x) + c, c IR, essendo B(y) una primitiva di e y e A(x) una primitiva di b(y) a(x) e x. Scelte B(y) e y e A(x) e x, le soluzioni dell equazione differenziale saranno allora implicitamente date da e y(x) c e x, c IR y(x) log(c e x ), c IR. Poichè la nostra soluzione deve soddisfare la condizione iniziale y() log(c e), avremo che c e e che la soluzione cercata sarà data da y(x) log(e e x ). 8

29 Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del 9// ) ata la funzione f(x, y) x + 4y x, a) determinarne, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativo; b) determinarne massimo e minimo assoluti nell insieme: (x, y) IR x + y, x } ) Calcolare il lavoro del campo F (x, y, z) (z, x, y) lungo la curva semplice avente per sostegno l intersezione della sfera x + y + z x con il piano x + z nella regione y e percorsa in modo tale che risulti T(,, ) (,, ). ) Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione del dominio attorno all asse z di un angolo pari a π. (y, z) IR z + y y} 4) eterminare la soluzione del problema di Cauchy y 4y sin t y() y () 9

30 Soluzione.a) La funzione risulta definita e di classe C in tutto IR. Ne segue che gli eventuali punti di massimo e minimo relativo saranno punti stazionari della funzione. I punti stazionari sono le soluzione del sistema (x, y) x x y (x, y) 8y che ammette come soluzioni i punti P ± (±, ). Per determinare la natura di tali punti stazionarioi valutiamo il determinante Hessiano. Essendo f (x, y) 6x, x f x y (x, y) e f y (x, y) 8 risulta Hf(, ) mentre Hf(, ) , Ne segue che P + (, ) è punto di minimo relativo mentre P (, ) non è né punto di massimo nè punto di minimo..b) Essendo la funzione continua sull insieme chiuso e limitato, dal Teorema di Weierstrass la funzione ammette massimo e minimo assoluto in. Per quanto provato nel precedente punto, la funzione non ammette punti stazionari interni a, dunque massimo e minimo assoluti dovranno necessariamente appartenere alla frontiera. Per studiare i punti di massimo e di minimo della funzione sull arco di circonferenza x + y, x, possiamo procedere direttamente, utilizzando una parametrizzazione dell arco, oppure applicando il metodo di Lagrange. Utilizzando le coordinate polari x cos θ, θ [ π y sin θ, π ], studiamo la funzione g(θ) f(cos θ, sin θ) cos θ+4 sin θ cos θ cos θ 4 cos θ cos θ+4, θ [ π, π ]. Risulta g (θ) sin θ( cos θ 8 cos θ )

31 ed essendo t 8t se e solo se t, per ogni θ [ π, π ], risulta cos θ 8 cos θ. Ne segue che g (θ) se e solo se sin θ e dunque se e solo se θ [, π]. Quindi g(θ) risulta decrescente in [ π, ] e crescente in [, π] e dunque max g(θ) g(± π ) f(, ±) 4 mentre min g(θ) g() f(, ). [ π, π ] [ π, π ] In alternativa, si poteva studiare la funzione ottenendo h(x) f(x, ± x ) x 4x x + 4, x [, ], max h(x) h() f(, ±) 4 e min h(x) h() f(, ). x [,] x [,] Utilizzando il metodo di Lagrange, posto G(x, y) x +y, determiniamo i punti stazionari della Lagrangiana F (x, y, λ) f(x, y) λ(g(x, y) ) x + 4y x λ(x + y ) Abbiamo F (x, y, λ) x x λx F (x, y, λ) 8y λy y F (x, y, λ) λ x + y Tale sistema ammette come soluzioni x ± y e λ x λx (4 λ)y x + y x y ± λ 4 unque l unico candidato punto di massimo o di minimo per f(x, y) in Z (x, y) IR x + y, x > } è il punto (, ) con f(, ). Poichè f(, ±) 4 ne concludiamo max Z f(x, y) f(, ±) 4 e min f(x, y) f(, ). Z Infine, essendo f(, y) 4y per ogni y [, ] e f(, ), da quanto ottenuto sopra concludiamo max f(x, y) f(, ±) 4 e min f(x, y) f(, ).

32 ) Osservato che x + y + z x x + z (x ) + y z x per ottenere una parametrizzazione della curva si possono utilizzare le coordinate polari ellittiche ponendo x + cos θ, γ(θ) : y sin θ, z cos θ. alla limitazione y sin θ si ottiene che θ [, π]. Risulta allora che (,, ) γ( π) ed essendo γ (θ) ( sin θ, cos θ, sin θ) per ogni θ (, π), otteniamo che γ ( π) (,, ) e dunque che la parametrizzazione trovata determina l orientamento richiesto della curva. Abbiamo allora F ds F (γ(θ)) γ (θ) dθ γ ( cos θ, + cos θ, sin θ) ( sin θ cos θ + cos θ + dθ sin θ, cos θ, [ 4 sin θ + sin θ + θ ] π sin θ) dt π ) al Teorema di Guldino sul volume di un solido di rotazione abbiamo che V area()l(γ B ) essendo L(γ B ) la lunghezza della curva percorsa dal baricentro della figura piana. Avremo allora V π y dydz. Per calcolare l integrale doppio utilizziamo le coordinate polari y ρ cos θ Φ : z ρ sin θ ed osservato che y + z y + z y y z ±

33 otteniamo Ne segue allora che y dydz e dunque Φ () E (ρ, θ) θ [ π, π ], ρ cos θ} π π E ρ cos θdρdθ cos θ ( ρ cos θ dρ) dθ ( 8 cos4 θ cos θ) dθ π [ ρ [sin θ cos θ + sin θ cos θ + θ ] π V π( cos θ π 6 + π). ] cos θ dθ [sin θ] π π 4 + π. 4) L equazione è equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea. Per risolvere tale equazione determiniamo l integrale generale dell equazione omogenea associata y 4y. L equazione caratteristica λ 4λ ammette due radici reali distinte λ e λ 4, quindi l integrale generale dell equazione omogenea associata è y (t) c + c e 4t, c, c IR. Cerchiamo ora una soluzione particolare dell equazione non omogenea. Come da suggerimento, cerchiamo tale soluzione della forma y p (t) A cos t + B sin t. erivando due volte e sostituendo nell equazione otteniamo A 4 e B. unque, la soluzione 7 7 particolare cercata è y p (t) (4 cos t sin t) 7 e per i noti teoremi sulle equazioni differenziali lineari non omogenee, l integrale generale dell equazione data è allora y(t) y (t) + y p (t) c + c e 4t + (4 cos t sin t) 7 dove c, c IR sono costanti arbitrarie. alle condizioni iniziali y() y () otteniamo che c 5 e c 7. unque la soluzione del problema di Cauchy è la 7 funzione y(t) e4t + (4 cos t sin t). 7

34 Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del 8// ) ata la funzione f(x, y) xy (x + y ) a) eterminarne, se esistono, massimi e minimi relativi nel suo dominio, b) eterminarne massimi e minimi assoluti nell insieme (x, y) IR x + y, y }. ) Calcolare il lavoro del campo F (x, y, z) (y, x, z ) lungo la curva semplice avente per sostegno l intersezione della sfera x +y +z x con il piano x+y nella regione z e percorsa in modo tale che risulti T(,, ) (,, ). ) Calcolare il volume del solido intersezione delle sfere S (x, y, z) IR x + y + z } e S (x, y, z) IR x + y + z z}. 4) ato il campo vettoriale F (x, y, z) ( z xy, y z log x z log x, log z+ ), determinarne y y il dominio, stabilire se il campo è conservativo sul suo dominio ed in caso affermativo determinarne un potenziale. 4